আইআইডি ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্যাম্পল সর্বাধিকের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কার্যটি আপনি কীভাবে গণনা করবেন?

45

এলোমেলো পরিবর্তনশীল দেওয়া

Y = max (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

$Y = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$

যেখানে $X_i$ আইআইডি ইউনিফর্ম ভেরিয়েবল, আমি কীভাবে এর পিডিএফ গণনা করব $Y$ ?

pdf maximum

— mascarpone
সূত্র

4

যদি এটি হোমওয়ার্ক হয় তবে দয়া করে FAQ পড়ুন এবং সেই অনুযায়ী আপনার প্রশ্নটি আপডেট করুন।

— কার্ডিনাল

2 অর্ডার পরিসংখ্যানের যৌথ ক্রিয়াকলাপ দেখানোর জন্য কেউ ভ্যান্ডারমনডের পরিচয় ব্যবহার করতে পারে F_y (r) * G_y (r)?

— ল্যারি মিন্টজ

আগ্রহের বাইরে, কোর্সটি এই ধরণের সমস্যাটি কভার করে? এটি আমার ইঞ্জিনিয়ারিং সম্ভাব্যতা কোর্সে যে সমস্যার মুখোমুখি হয়েছিল তা নয়।

— অ্যালেক্স

@ অ্যালেক্স পুনরায় মডেলিংয়ের জন্য একটি পরিসংখ্যান কোর্স সম্পর্কে কী বলা যায়?

— সফটওয়্যার

65

এটা সম্ভব যে এই প্রশ্নটি হোমওয়ার্ক তবে আমি অনুভব করেছি যে এই শাস্ত্রীয় প্রাথমিক সম্ভাবনার প্রশ্নটি বেশ কয়েক মাস পরেও একটি সম্পূর্ণ উত্তর অনুপস্থিত ছিল, তাই আমি এখানে একটি উত্তর দেব।

সমস্যার বিবৃতি থেকে, আমরা এর বিতরণ চাই

Y = max {X_{1}, . . ., X_{n}}

$Y = \max \{ X_1, ..., X_n \}$

যেখানে হল id । আমরা জানি যে যদি হয় এবং কেবলমাত্র যদি নমুনার প্রতিটি উপাদান চেয়ে কম হয় । তারপর এই, যেমন @ varty এর ইঙ্গিতটি নির্দেশিত যে, আসলে সঙ্গে মিলিত এর স্বাধীন, আমাদের অনুমান করতে পারবেন $X_1, ..., X_n$ ${\rm Uniform}(a,b)$ $Y < x$ $x$ $X_i$

P (Y \leq x) = P (X_{1} \leq x, . . ., X_{n} \leq x) = \prod_{i = 1}^{n} P (X_{i} \leq x) = F_{X} (x)^{n}

$P(Y \leq x) = P(X_1 \leq x, ..., X_n \leq x) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i \leq x) = F_{X}(x)^n$

যেখানে হল ইউনিফর্ম বিতরণের সিডিএফ । সুতরাং এর CDF হ'ল $F_{X}(x)$ $Y$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = {\begin{cases} 0 & y \leq a \\ {[(y - a) / (b - a)]}^{n} & y \in (a, b) \\ 1 & y \geq b \end{cases}

$F_{Y}(y) = P(Y \leq y) = \begin{cases} 0 & y \leq a \\ \phantom{} \left[ (y-a)/(b-a) \right]^n & y\in(a,b) \\ 1 & y \geq b \\ \end{cases}$

যেহেতু একেবারে অবিচ্ছিন্ন বিতরণ রয়েছে আমরা সিডিএফকে আলাদা করে এর ঘনত্ব অর্জন করতে পারি । অতএব ঘনত্ব হয় $Y$ $Y$

p_{Y} (y) = \frac{n (y - a)^{n - 1}}{(b - a)^{n}}

$p_{Y}(y) = \frac{n(y-a)^{n-1}}{(b-a)^{n}}$

বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে , আমাদের কাছে সেই , যা এবং দিয়ে বিটা বিতরণের ঘনত্ব , যেহেতু । । $a=0,b=1$ $p_{Y}(y)=ny^{n-1}$ $\alpha=n$ $\beta=1$ ${\rm Beta}(n,1) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n)\Gamma(1)}=\frac{n!}{(n-1)!} = n$

একটি নোট হিসাবে, ক্রমটি আপনি যদি ক্রম হিসাবে আপনার নমুনা ক্রমবর্ধমান - in - অনুসারে সাজিয়ে থাকেন তবে তাকে অর্ডার পরিসংখ্যান বলা হয় । এই উত্তরের একটি সাধারণীকরণ হ'ল @ বনৌলের উত্তরে উল্লিখিত বিতরণ করা নমুনার সমস্ত আদেশের পরিসংখ্যানগুলিতে একটি বিটা বিতরণ রয়েছে । $X_{(1)}, ..., X_{(n)}$ ${\rm Uniform}(0,1)$

— ম্যাক্রো
সূত্র

এটি আসলে আমার জন্য হোমওয়ার্কের প্রশ্ন ছিল। ব্যাখ্যা করার জন্য ধন্যবাদ.

— পল প্রধানমন্ত্রী

আমার মনে হচ্ছে আমার এখানে আপনার অন্তর্দৃষ্টি নিতে এবং এই প্রশ্নের উত্তর দিতে সক্ষম হওয়া উচিত , তবে আমি কীভাবে এটি করব তা দেখছি না। তুমি কি আমাকে সাহায্য করতে পারবে? আপনি কি কোনও পাঠ্যপুস্তক বা অধ্যায়টি সুপারিশ করতে পারেন যা এই সাধারণ সমস্যাটির সাথে কথা বলে?

@ পলপিএম আগ্রহের বাইরে, কোর্সটি এই ধরণের সমস্যাটি কভার করে? এটি আমার ইঞ্জিনিয়ারিং সম্ভাব্যতা কোর্সে যে সমস্যার মুখোমুখি হয়েছিল তা নয়।

— অ্যালেক্স

6

একটি নমুনার সর্বাধিক হ'ল অর্ডার পরিসংখ্যানগুলির মধ্যে একটি বিশেষত নমুনার ম অর্ডার পরিসংখ্যান । সাধারণভাবে, উইকিপিডিয়া নিবন্ধ দ্বারা বর্ণিত হিসাবে অর্ডার পরিসংখ্যান বিতরণ গণনা করা কঠিন; কিছু বিশেষ বিতরণের জন্য, ক্রমের পরিসংখ্যানগুলি সুপরিচিত (যেমন ইউনিফর্ম বিতরণের জন্য, যার বিটা-বিতরণ আদেশের পরিসংখ্যান রয়েছে)। $n$ $X_1,\dots,X_n$

সম্পাদনা: সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন ন্যূনতম উইকিপিডিয়া নিবন্ধটিও আপনার সমস্যার সাথে আরও সহায়ক এবং আরও নির্দিষ্ট।

— bnaul
সূত্র

5

ঘনত্ব সহ বিতরণের জন্য, নির্দিষ্ট অর্ডার পরিসংখ্যানের প্রান্তিক বিতরণ গণনা করা বেশ সোজা। এটি সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চের মতো "বিশেষ" অর্ডার পরিসংখ্যানগুলির জন্য আরও সহজ।

— কার্ডিনাল

আমার ধারণা এটি মূল প্রশ্নের "গণনা" বলতে যা বোঝায় তার উপর নির্ভর করে। অবশ্যই সংখ্যাগতভাবে এটি করা সহজবোধ্য; আমি একটি বদ্ধ ফর্ম সমাধান কীভাবে সন্ধান করতে চাইছি তা জিজ্ঞাসা হিসাবে ব্যাখ্যাটি ব্যাখ্যা করেছিলাম, যা সাধারণভাবে সহজ নয়।

— বিনল

8

@ বিনাউল: আসুন একটি স্বেচ্ছাসেবীর বিতরণ ফাংশন হতে দিন এবং থেকে আইডির নমুনা হতে দিন । যাক হতে ম অর্ডার পরিসংখ্যাত। তারপরেQed ।

F (x) = P (X \leq x)

$F(x) = \mathbb P(X \leq x)$

X_{1}, \dots, X_{n}

$X_1,\ldots,X_n$

F

$F$

X_{(k)}

$\newcommand{Xk}{X_{(k)}}\Xk$

k

$k$

P (X_{(k)} \leq x) = \sum_{m = k}^{n} P (| {i : X_{i} \leq x} | = m) = \sum_{m = k}^{n} (\binom{n}{m}) F (x)^{m} (1 - F (x))^{n - m} .

$\mathbb P(\Xk \leq x) = \sum_{m=k}^n \mathbb P( |\{i: X_i \leq x\}| = m) = \sum_{m=k}^n {n \choose m} F(x)^m (1-F(x))^{n-m} \>.$

— অঙ্কবাচক

1

কার্ডিনাল উত্তরগুলি বোঝার একটি উপায় (আপনি ইউনিফর্মের জন্য অর্ডার সংক্রান্ত পরিসংখ্যান বুঝতে পেরেছেন) এই যে সিডিএফগুলি ইউনিফর্ম সিডিএফ-এর 1-থেকে -1 রূপান্তর হিসাবে, আমরা সর্বদা একটি ইউনিফর্মের ক্ষেত্রে {এক্স <a event ইভেন্টটি প্রকাশ করতে পারি র্যান্ডম ভেরিয়েবল (এই কারণেই মন্টি কার্লো কাজ করে)। সুতরাং অভিন্ন বিতরণের উপর ভিত্তি করে যে কোনও ফলাফল সহজেই অন্যান্য র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলিতে সাধারণীকরণ করবে - কেবল রূপান্তরটি প্রয়োগ করুন ।

U = F_{X} (X)

$U=F_{X}(X)$

— সম্ভাব্যতা ব্লগ

2

@ প্রোব্যাবিলিটিস্লোগিক: অন্তর্দৃষ্টিটি ভাল, যদিও মনে হচ্ছে আপনার মন্তব্যে আপনার ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবল রয়েছে। (উপরের আমার দ্বিতীয় মন্তব্যের ফলাফল, উদাহরণস্বরূপ, একটি স্বেচ্ছাসেবক বিতরণ ফাংশনের জন্য কাজ করে))

— কার্ডিনাল

1

যদি এর সিডিএফ হয় , তবে আপনি তারপরে আইডির বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করতে পারেন এবং গণনা করার জন্য অভিন্ন পরিবর্তনের সিডিএফ । $F_{Y}(y)$ $Y$

F_{Y} (y) = Prob (y > X_{1}, y > X_{2}, . . ., y > X_{n})

$F_Y(y)=\text{Prob}(y>X_1,y>X_2,...,y>X_n)$

F_{Y} (y)

$F_Y(y)$

— varty
সূত্র

-3

যথাযথভাবে স্বাভাবিক করা হলে আইআইডি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের সর্বোচ্চ সেট সাধারণত তিনটি চরম মান ধরণের একটিতে রূপান্তরিত হয়। এটি গেনিডেনকোর উপপাদ্য, চূড়ান্ততার জন্য কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যের সমতুল্য। নির্দিষ্ট ধরনের জনসংখ্যা বিতরণের লেজ আচরণের উপর নির্ভর করে। এটি জেনে আপনি সীমাবদ্ধ বিতরণ সর্বাধিকের জন্য বিতরণ আনুমানিক করতে ব্যবহার করতে পারেন।

যেহেতু [a, b] এ অভিন্ন বন্টন এই প্রশ্নের বিষয় ম্যাক্রো কোনও এন এর জন্য সঠিক বিতরণ এবং খুব সুন্দর উত্তর দিয়েছে। ফলাফল বরং তুচ্ছ। সাধারণ বিতরণের জন্য একটি সুন্দর বদ্ধ ফর্মটি সম্ভব নয় তবে যথাযথভাবে গুম্বল বিতরণ এফ (এক্স) = এক্সপ্রেস (- ই ) এ রূপান্তরিত করার জন্য সর্বাধিক স্বাভাবিক করা হয়েছে normal $^-$ $^x$

ইউনিফর্মের জন্য নরমালাইজেশনটি হ'ল (বা) -x / n এবং এফ (বাক্স / এন) = (1-এক্স / [এন (বা))) $^n$ $^n$

যা e এ রূপান্তর করে । এখানে নোট করুন যে y = বাক্স / এন। এবং F (y) 1 এ রূপান্তরিত হয় যেমন y বাতে যায়। এটি সব 0 ধরে রাখে $^-$ $^x$ $^/$ $^($ $^b$ $^-$ $^a$ $^)$ $^n$

এক্ষেত্রে সঠিক মূল্যটিকে তার অ্যাসিপোটটিক সীমাতে তুলনা করা সহজ।

— মাইকেল চেরনিক
সূত্র

4

এই উত্তরটি অনুশীলনযোগ্য হওয়ার জন্য, আপনাকে বিশদে বিশদটি উল্লেখ করতে হবে, কীভাবে একজন মূল্যবোধগুলিকে "যথাযথভাবে স্বাভাবিক করে তোলে" এবং অ্যাসিপটোটিক সূত্রটি নির্ভরযোগ্য সান্নিধ্য হওয়ার আগে আপনাকে কতটা বড় হতে হবে তা অনুমান করার কিছু উপায়ও সরবরাহ করতে হবে।

n

$n$

— whuber

@ হু হু হু করে যে কেউ সাধারণকরণ দেখতে গ্যাডেনকোর উপপাদ্যের দিকে নজর দিতে পারেন। সমানভাবে গুরুত্বপূর্ণ লেজ বৈশিষ্ট্য যা নির্ধারণ করে যে তিনটি প্রকারের মধ্যে কোনটি প্রযোজ্য। উপপাদ্য স্টোচাস্টিক প্রক্রিয়াগুলিকে সাধারণীকরণ করে। সুতরাং যে কেউ নিতম্বের কৌতুকপূর্ণ বিবরণ জানতে চান তারা লিডবেটর বইটি বা আমার পিএইচডি থিসিসটি দেখতে পারেন। যখন এন যথেষ্ট বড় হয় তখন কোনও ধরণের অ্যাসিম্পটোটিকের জন্য উত্তর দেওয়া একটি কঠিন প্রশ্ন। আমার ধারণা, বেরি-এসিন উপপাদ্যটি কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা তত্ত্বের জন্য সহায়তা করে। চরমের তুলনায় কী কী তা আমি জানি না।

— মাইকেল চেরনিক