একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অর্থ কি সর্বদা তার কোয়ান্টাইল ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য সমান হয়?

Question

আমি কেবল লক্ষ্য করেছি যে অবিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের কোয়ান্টাইল ফাংশন (বিপরীত সিডিএফ) থেকে পি = 0 থেকে পি = 1 সংহত করা চলকের গড় তৈরি করে। এই সম্পর্কের কথা আমি এর আগে শুনিনি, তাই আমি ভাবছি: সবসময় কি এমন হয়? যদি তাই হয়, তাহলে কি এই সম্পর্কটি বহুল পরিচিত?

পাইথনের উদাহরণ এখানে:

from math import sqrt
from scipy.integrate import quad
from scipy.special import erfinv

def normalPdf(x, mu, sigma):
    return 1.0 / sqrt(2.0 * pi * sigma**2.0) * exp(-(x - mu)**2.0 / (2.0 * sigma**2.0))

def normalQf(p, mu, sigma):
    return mu + sigma * sqrt(2.0) * erfinv(2.0 * p - 1.0)

mu = 2.5
sigma = 1.3
quantileIntegral = quad(lambda p: quantile(p,mu,sigma), 0.0, 1.0)[0]
print quantileIntegral # Prints 2.5.

Answer 1

যাক $F$ এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের সিডিএফ হতে $X$ , তাই সিডিএফ বিপরীত লেখা যেতে পারে $F^{-1}$ । আপনার অবিচ্ছেদে $p = F(x)$ , $dp = F'(x)dx = f(x)dx$ পেতে বিকল্পটি তৈরি করুন

$$\int_0^1F^{-1}(p)dp = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx = \mathbb{E}_F[X].$$

এটি অবিচ্ছিন্ন বিতরণের জন্য বৈধ। অন্য বিতরণগুলির জন্য যত্ন নিতে হবে কারণ একটি বিপরীত সিডিএফের অনন্য সংজ্ঞা নেই।

সম্পাদন করা

যখন ভেরিয়েবল অবিচ্ছিন্ন না থাকে, তখন এটির কোনও বিতরণ থাকে না যা লেবেসগু পরিমাপের ক্ষেত্রে একেবারে অবিচ্ছিন্ন থাকে, বিপরীতমুখী সিডিএফের সংজ্ঞাটি যত্নের প্রয়োজন হয় এবং কম্পিউটিং ইন্টিগ্রালগুলিতে যত্নের প্রয়োজন হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি পৃথক বিতরণের ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন। সংজ্ঞা অনুযায়ী, এই এক, যার সিডিএফ হয় $F$ আকারের পদক্ষেপ সঙ্গে একটি পদক্ষেপ ফাংশন $\Pr_F(x)$ সময়ে প্রতিটি সম্ভাব্য মান $x$ ।

এই চিন্তা শো একটি বের্নুলির সিডিএফ বন্টনের দ্বারা ছোটো 2 । অর্থাৎ দৈব চলক একটি সম্ভাবনা আছে 1 / 3 equaling এর 0 এবং একটি সম্ভাব্যতা equaling এর । এবং এ জাম্পের উচ্চতা তাদের সম্ভাব্যতা দেয়। এই পরিবর্তনশীলটির প্রত্যাশা স্পষ্টত সমান ।$(2/3)$$2$$1/3$$0$2 0 2 0 × ( 1 / 3 ) + + 2 × ( 2 / 3 ) = 4 /$2/3$$2$$0$$2$$0\times(1/3)+2\times(2/3)=4/3$

আমরা একটি "বিপরীত সিডিএফ" define পারে এমন পদ্ধতির মাধ্যমে$F^{-1}$

$$F^{-1}(p) = x \text{ if } F(x) \ge p \text{ and } F(x^{-}) \lt p.$$

এর অর্থ হ'ল also একটি পদক্ষেপ ফাংশন। এলোমেলো ভেরিয়েবলের যে কোনও সম্ভাব্য মান এর জন্য, length দৈর্ঘ্যের ব্যবধানের সাথে মান অর্জন করবে । সুতরাং এর অবিচ্ছেদ্য মানগুলি মাধ্যমে প্রাপ্ত , যা কেবল প্রত্যাশা।$F^{-1}$$x$$F^{-1}$$x$$\Pr_F(x)$$x\Pr_F(x)$

এটি পূর্ববর্তী উদাহরণের বিপরীত সিডিএফের গ্রাফ। সিডিএফের এবং এর জাম্পগুলি এবং সমান উচ্চতায় এই দৈর্ঘ্যের অনুভূমিক রেখায় পরিণত হয়, যার সম্ভাব্যতার সাথে মানগুলি মান। (বিপরীত সিডিএফ অন্তরালের বাইরে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি ।) এর অবিচ্ছেদ্য দুটি আয়তক্ষেত্রের সমষ্টি, উচ্চতা এবং বেস , উচ্চতা এবং বেস , মোট , আগের মত।$1/3$$2/3$$0$$2$$[0,1]$$0$$1/3$$2$$2/3$$4/3$

সাধারণভাবে, একটি অবিচ্ছিন্ন এবং একটি পৃথক বিতরণের মিশ্রণের জন্য, আমাদের এই নির্মাণের সমান্তরাল করার জন্য বিপরীত সিডিএফ সংজ্ঞায়িত করতে হবে: উচ্চতা এর প্রতিটি বিচ্ছিন্ন জাম্পে আমাদের অবশ্যই পূর্ববর্তী সূত্র অনুসারে দৈর্ঘ্যের এর একটি অনুভূমিক রেখা তৈরি করতে হবে ।$p$$p$

Comments

ভেরিয়েবলের পরিবর্তনে আপনি একটি ভুল করেছেন। এক্স কোথা থেকে আসে?

— মাস্কার্পোন

@ মাস্কারপোন দয়া করে সমীকরণের আগের পাঠ্যটি পড়ুন। ভেরিয়েবলের পরিবর্তনে কোনও ভুল আছে বলে আমি মনে করি না :-), তবে আপনি যদি মনে করেন এটি প্রকাশের বিষয়টি পরিষ্কার করে দেবে তবে আমি উল্লেখ করতে পেরে খুশি হব যে যখন , তখন । আমি কেবল এটি প্রয়োজনীয় মনে করি নি। $p=F(x)$$x=F^{-1}(p)$

— whuber

এখন আমি এটি পেয়েছি;),

— মাস্কার্পোন

+1 হুইবার: ধন্যবাদ! আপনি যে সূত্রটি দিয়েছিলেন তা ব্যবহার করার জন্য আপনি কীভাবে আরও বিস্তৃত করতে পারেন যে কীভাবে অন্যান্য বিতরণগুলির যত্ন নেবেন যার বিপরীত সিডিএফটির অনন্য সংজ্ঞা নেই?

— 18

বিপরীতমুখী, সিউডো-ইনভারসেস এবং এর মতো এবং এই মুহূর্তে একসাথে সাধারণকরণের জন্য এই জাতীয় উদ্বেগ বিবেচনাকে বাইপাস করতে এখানে দেখুন ।

— কি

Answer 2

বেঁচে থাকার বিশ্লেষণে একটি সমমানের ফলাফল সুপরিচিত : প্রত্যাশিত জীবনকাল যেখানে বেঁচে থাকার ফাংশন এস ( T ) = Pr ( টি > T ) জন্ম থেকে মাপা এ টি = 0 । (এটি টি এর নেতিবাচক মানগুলি কভার করার জন্য সহজেই বাড়ানো যেতে পারে))

$$\int_{t=0}^\infty S(t) \; dt$$ $S(t) = \Pr(T \gt t)$$t=0$$t$

সুতরাং আমরা এটিকে আবার rite ∞ t = 0 ( 1 - F ( t ) ) হিসাবে লিখতে পারি তবে এটি ∫ 1 কিউ = 0 এফ - 1 ( কিউ

$$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt$$ যেমন প্রশ্নে এলাকার বিভিন্ন প্রতিচ্ছবি দেখানো $$\int_{q=0}^1 F^{-1}(q) \; dq$$

Comments

আমি ছবিগুলি পছন্দ করি এবং সহজাতভাবে অনুভব করি যে এখানে দুর্দান্ত ধারণা জড়িত - আমি ধারণাটি পছন্দ করি - তবে আমি এই বিশেষগুলি বুঝতে পারি না। ব্যাখ্যা সহায়ক হবে। আমার ট্র্যাকগুলিতে আমাকে থামিয়ে দেওয়া একটি জিনিস হ'ল থেকে - ∞ এর অবিচ্ছেদ্য প্রসারিত করার চেষ্টা করার চিন্তাভাবনা: এটি অন্যদিকে যেতে হবে। $(1-F(t))dt$$-\infty$

— whuber

@whuber: আপনি নেতিবাচক প্রসারিত করতে চান, , আপনি পেতে ∫ ∞ টি = 0 ( 1 - এফ ( T ) $t$ । মনে রাখবেন যে এটি যদি প্রায় 0 , যেমন F ( t ) = 1 - F ( - t ) এর বিতরণ প্রতিসাম্যের জন্য রূপান্তর করেতবে প্রত্যাশা শূন্য হয় তা সহজেই দেখা যায়। পার্থক্যের চেয়ে যোগফল নেওয়া ∫ ∞ t = 0 ( 1 - এফ ( টি ) $\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt - \int_{t=-\infty}^0 F(t) \; dt$$0$$F(t)=1-F(-t)$ সম্পর্কে গড় পরম বিচ্যুতি দেয় 0 । $\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt + \int_{t=-\infty}^0 F(t) \; dt$$0$

— হেনরি

আপনি যদি ডায়াগ্রামগুলি পছন্দ করেন তবে আপনি লি এর 1988-এর এই গবেষণাপত্রে আগ্রহী হতে পারেন: ক্ষতির কভারেজের অতিরিক্ত পরিমাণে গণিতের এবং প্রত্নতাত্ত্বিক রেটিং-এ গ্রাফিকাল অ্যাপ্রোচ ।

— অব্রাহাম

Answer 3

আমরা মূল্যায়ন করছি:

ভেরিয়েবলের একটি সহজ পরিবর্তন দিয়ে চেষ্টা করি:

এবং আমরা লক্ষ্য করেছি যে পিডিএফ এবং সিডিএফ সংজ্ঞা অনুসারে:

প্রায় সবজাগায়. প্রত্যাশিত মানটির সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের রয়েছে:

Comments

চূড়ান্ত লাইনে আমি প্রত্যাশিত মানের সংজ্ঞাটি আরও স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করি। প্রায় সর্বত্র সর্বশেষের সমীকরণটিকে বোঝায়। en.wikedia.org/wiki/Almost_e Everybody

— মাস্কার্পোন

সম্পাদিত, থ্যাঙ্ক্স :)

— মাস্কার্পোন

Answer 4

$X$$F$ $F^{-1}(U)$$X$$U$$(0,1)$$X$$F^{-1}(U)$

$$E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1 F^{-1}(u)\mathrm{d}u.$$ $X \sim F^{-1}(U)$$F$$F^{-1}$$F$$F$

Answer 5

$F(x)$$P(X\le x)$ এবং এটি একটি ডান-ক্রমাগত ফাংশন। $F^{-1}$ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

$$\begin{equation} F^{-1}(p)=\min(x|F(x)\ge p). \end{equation}$$ দ্য $\min$সঠিক ধারাবাহিকতার কারণে বোঝায়। দিন$U$ চালু অভিন্ন বিতরণ $[0, 1]$। আপনি এটি যাচাই করতে পারবেন$F^{-1}(U)$ একই সিডিএফ আছে $X$, যা হলো $F$। এটির প্রয়োজন নেই$X$চলতে থাকবে. তাই,$E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1F^{-1}(p)\mathop{dp}$. The integral is the Riemann–Stieltjes integral. The only assumption we need is the mean of $X$ exists ($E|X|<\infty$).

Comments

That's the same answer as mine.

— Stéphane Laurent