আপনি যদি সত্যিই লগ-সম্ভাবনা বোঝাতে চান তবে উত্তরটি হ'ল: এটি সর্বদা শূন্য নয়।
উদাহরণস্বরূপ, পয়সন ডেটা বিবেচনা করুন: । জন্য লগ-সম্ভাবনা দেওয়া হয়েছে:
Y = ( y 1 , … , y n ) ℓ ( μ ; Y ) = - n ∑ i = 1 μ i + n ∑ i = 1 y i লগyi∼Poisson(μi),i=1,…,nY=(y1,…,yn)
ℓ(μ;Y)=−∑i=1nμi+∑i=1nyilogμi−∑i=1nlog(yi!).(∗)
পার্থক্য মধ্যে সম্মান সঙ্গে করুন এবং এটি সেট (এইভাবে আমরা সম্পৃক্ত মডেল জন্য MLE প্রাপ্ত হয়):
জন্য এই সমস্যার সমাধানের পেতে , বদলে ফিরে জন্য দেয় সম্পৃক্ত মডেলের লগ-সম্ভাবনা হল:
যদি খুব বিশেষ না নেয় মান।( ∗ ) μ i 0 - 1 + y iℓ(μ;Y)(∗)μi0μআমি μ আমি=Yআমি μ আমি(*)μআমিℓ( μ ;ওয়াই)=ঢ Σ আমি=1Yআমি(লগ ইন করুনYআমি-1)-এন Σ আমি=1লগ(yi!)≠0yi
−1+yiμi=0.
μiμ^i=yiμ^i(∗)μiℓ(μ^;Y)=∑i=1nyi(logyi−1)−∑i=1nlog(yi!)≠0
yi
আইটেমের অধীনে R
ফাংশনের সহায়তা পৃষ্ঠায় নথিটি এই বিষয়টিকে নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করেছে:glm
deviance
deviance
একটি ধ্রুবক পর্যন্ত, সর্বাধিক লগ সম্ভাবনা দ্বিগুণ। যেখানে বোধগম্য, ধ্রুবকটি এমনভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে যাতে কোনও স্যাচুরেটেড মডেলের বিচ্যুতি শূন্য থাকে।
লক্ষ্য করুন যে এটি উল্লেখ করেছে যে স্যাচুরেটেড মডেলের লগ-সম্ভাবনার পরিবর্তে বিচ্যুতি শূন্য হতে বেছে নেওয়া হয়েছে।
সম্ভবত, আপনি যা সত্যই নিশ্চিত করতে চেয়েছিলেন তা হ'ল " স্যাচুরেটেড মডেলের বিচ্যুতি সর্বদা শূন্য হিসাবে দেওয়া হয়", যা সত্য, বিচ্যুতি থেকে সংজ্ঞা অনুসারে ( অ্যালান দ্বারা বিভাগীয় ডেটা অ্যানালাইসিসের ২ য় সংস্করণ দেখুন (২ য় সংস্করণ) অ্যাগ্রেস্তি) স্যাচুরেটেড মডেলের নির্দিষ্ট জিএলএমের সম্ভাবনা অনুপাতের পরিসংখ্যান। constant
আর ডকুমেন্টেশনে উপরোক্ত আসলে সম্পৃক্ত মডেলের দুইবার maximized লগ-সম্ভাবনা নেই।
আপনার বক্তব্য প্রসঙ্গে "তা সত্ত্বেও, পথ বক্রতা জন্য সূত্র দেওয়া হয় বলে যে কখনও কখনও এই পরিমাণ অ শূন্য।", এটি সম্ভবত শব্দটি ব্যবহার অপব্যবহার কারণে বক্রতা । উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, আর দুই তুলনা সম্ভাবনা অনুপাত পরিসংখ্যাত নির্বিচারে (নেস্টেড) মডেলের এবং এছাড়াও বক্রতা, যা আরো স্পষ্ট করে বলা যেতে করবে উল্লেখ করা হয় পার্থক্য এর বক্রতা মধ্যে এবং বক্রতা , যদি আমরা অ্যাগ্রেস্টির বইয়ে দেওয়া সংজ্ঞাটি নিবিড়ভাবে অনুসরণ করেছিল।এম 2 এম 1 এম 2M1M2M1M2
উপসংহার
স্যাচুরেটেড মডেলের লগ-সম্ভাবনা সাধারণত শূন্য নয়।
স্যাচুরেটেড মডেলের বিচ্যুতি (তার মূল সংজ্ঞায়) শূন্য।
বক্রতা যেমন আসলে অন্য কিছু (deviances মধ্যে পার্থক্য) মানে সফটওয়্যার থেকে আউটপুট (যেমন আর হিসাবে) সাধারণ নন-জিরো হয়।
নিম্নলিখিত সাধারণ ক্ষতিকারক-পারিবারিক কেস এবং অন্য একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ জন্য ডেরাইভেশন। ধরুন যে ডেটা সূচকীয় পরিবার থেকে আসা (দেখুন এস সঙ্গে আধুনিক ফলিত পরিসংখ্যান , অধ্যায় ):
যেখানে পূর্বে ওজন ও পরিচিত হয় বিচ্ছুরণ / স্কেলের মাপদণ্ড হয় (যেমন দ্বিপদ এবং পইসন যেমন অনেক ক্ষেত্রে জন্য, এই প্যারামিটার হয়, পরিচিত যখন যেমন স্বাভাবিক এবং গামা যেমন অন্যান্য ক্ষেত্রে জন্য, এই প্যারামিটার অজানা হয় না)। তারপরে লগ-সম্ভাবনা দেওয়া হয়েছে:
7
f(yi;θi,φ)=exp[Ai(yiθi−γ(θi))/φ+τ(yi,φ/Ai)].(1)
Aiφℓ(θ,φ;Y)=∑i=1nAi(yiθi−γ(θi))/φ+∑i=1nτ(yi,φ/Ai).
পোইসন উদাহরণ হিসাবে, স্যাচুরেটেড মডেলের প্যারামিটারগুলি নিম্নলিখিত
স্কোর ফাংশনটি সমাধান করে অনুমান করা যায় :
0=U(θi)=∂ℓ(θ,φ;Y)∂θi=Ai(yi−γ′(θi))φ
উপরের সমীকরণের সমাধানটিকে , তারপরে স্যাচুরেটেড মডেলের লগ-সম্ভাবনার সাধারণ রূপটি (স্কেল প্যারামিটারটিকে ধ্রুবক হিসাবে বিবেচনা করুন):
θ^i
ℓ(θ^,φ;Y)=∑i=1nAi(yiθ^i−γ(θ^i))/φ+∑i=1nτ(yi,φ/Ai).(∗∗)
আমার পূর্ববর্তী উত্তরে, আমি ভুলভাবে বলেছি যে এর ডানদিকে প্রথম শব্দটি সর্বদা শূন্য, উপরের পোইসন ডেটা উদাহরণটি প্রমাণ করে যে এটি ভুল। আরও জটিল উদাহরণের জন্য পরিশিষ্টে দেওয়া গামা বিতরণ ।(∗∗)Γ(α,β)
স্যাচুরেটেড গামা মডেলটির লগ-সম্ভাবনার ক্ষেত্রে প্রথম পদটির প্রমাণ অ-শূন্য : প্রদত্ত
আমাদের অবশ্যই প্রথমে পুনঃনির্ধারণ করতে হবে যাতে এর ক্ষতিকারক পারিবারিক রূপ । যদি দেওয়া হয় তা যাচাই করা যায়
তবে এর প্রতিনিধিত্ব রয়েছে:
যেখানে
f(y;α,β)=βαΓ(α)e−βyyα−1,y>0,α>0,β>0,
f(1)φ=1α,θ=−βα,
ff(y;θ,φ)=exp[θy−(−log(−θ))φ+τ(y,φ)],
τ(y,φ)=−logφφ+(1φ−1)logy−logΓ(φ−1).
অতএব, স্যাচুরেটেড মডেলের MLEs হয় । অতএব
যদি না খুব বিশেষ মান না নেয়।
θ^i=−1yi∑i=1n1φ[θ^iyi−(−log(−θ^i))]=∑i=1n1φ[−1−log(yi)]≠0,
yi