বৈকল্পিকের রৈখিকতা

16

আমি মনে করি নিম্নলিখিত দুটি সূত্র সত্য:

V a r (a X) = a^{2} V a r (X)

$\mathrm{Var}(aX)=a^2 \mathrm{Var}(X)$ যখন একটি একটি ধ্রুবক সংখ্যা

V a r (X + Y) = V a r (X) + V a r (Y)

$\mathrm{Var}(X + Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)$ যদি

X

$X$ ,

Y

$Y$ স্বাধীন

তবে নীচের সাথে কী ভুল তা আমি নিশ্চিত নই:

যা সমান নয়, অর্থাৎ ।

V a r (2 X) = V a r (X + X) = V a r (X) + V a r (X)

$\mathrm{Var}(2X) = \mathrm{Var}(X+X) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(X)$

2^{2} V a r (X)

$2^2 \mathrm{Var}(X)$

4 V a r (X)

$4\mathrm{Var}(X)$

যদি ধরে নেওয়া হয় যে একটি জনসংখ্যার থেকে নেওয়া নমুনা, আমি মনে করি আমরা সর্বদা অন্য এর থেকে স্বতন্ত্র বলে ধরে নিতে পারি । $X$ $X$ $X$

তাহলে আমার বিভ্রান্তিতে কী ভুল?

variance linearity fallacy

— lanselibai
সূত্র

8

ভেরিয়েন্স লিনিয়ার নয় - আপনার প্রথম বিবৃতিটি এটি দেখায় (যদি এটি হয়ে থাকে তবে আপনার কাছে

ছিল the অন্যদিকে কোভারিয়ান্স হ'ল বিলিনার

V a r (a X) = a V a r (X)

$Var(aX) = a Var(X)$

— ব্যাটম্যান

33

$\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}$ $\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}$ $\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$

আপনার যুক্তির লাইনটি সমস্যা

"আমি মনে করি আমরা সবসময় অন্য এস থেকে স্বাধীন হতে অনুমান করতে পারি " " $X$ $X$

স্বাধীন নয় । প্রতীক এখানে একই দৈব চলক নির্দেশ করতে ব্যবহার করা হচ্ছে। আপনার সূত্রে প্রদর্শিতপ্রথম মানটি একবার জানলেএটি দ্বিতীয় এর উপস্থিতিটির মানও স্থির করে। আপনি যদি এগুলি স্বতন্ত্র (এবং সম্ভাব্য স্বতন্ত্র) র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি উল্লেখ করতে চান তবে আপনাকে তাদের আলাদা আলাদা অক্ষরের (যেমন এবং ) বা সাবস্ক্রিপ্টগুলি (যেমন এবং )ব্যবহার করেবোঝাতে হবে; পরেরটি প্রায়শই (তবে সর্বদা নয়) একই বন্টন থেকে আঁকা ভেরিয়েবল বোঝাতে ব্যবহৃত হয়। $X$ $X$ $X$ $X$ $X$ $X$ $Y$ $X_1$ $X_2$

দুটি ভেরিয়েবল যদি এবং তারপর স্বাধীন হিসাবে একই : মান বুদ্ধিমান আমাদের মান সম্পর্কে কোন অতিরিক্ত তথ্য দেয় না । তবে হ'ল যদি এবং অন্যথায়: এর মান জেনে $X$ $Y$ $\Pr(X=a|Y=b)$ $\Pr(X=a)$ $Y$ $X$ $\Pr(X=a|X=b)$ $1$ $a=b$ $0$ $X$ আপনাকে এর মান সম্পর্কে সম্পূর্ণ তথ্য দেয় । [আপনি এই অনুচ্ছেদে সম্ভাব্যতাগুলি মূলত একই প্রভাবের জন্য ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনগুলি দ্বারা, বা যেখানে উপযুক্ত, সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে পারেন]] $X$

কিছু এইজন্য আরেকটি উপায় হল তারপর তারা শূন্য পারস্পরিক সম্পর্ক আছে দুটি ভেরিয়েবল স্বাধীন হলে (যদিও শূন্য পারস্পরিক সম্পর্ক স্বাধীনতা পরোক্ষভাবে না !) কিন্তু হয় পুরোপুরি নিজেই সঙ্গে সম্পর্কিত, তাই স্বাধীন হতে পারে না নিজেই নোট যে যেহেতু সহভেদাংক দেওয়া হয় $X$ $\Corr(X,X)=1$ $X$ , তারপরে $\Cov(X,Y)=\Corr(X,Y)\sqrt{\Var(X)\Var(Y)}$

Cov (X, X) = 1 \sqrt{Var (X)^{2}} = Var (X)

$\Cov(X,X)=1\sqrt{\Var(X)^2}=\Var(X)$

দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের পরিবর্তনের জন্য আরও সাধারণ সূত্র

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 Cov (X, Y)

$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y) + 2 \Cov(X,Y)$

বিশেষত, , তাই $\Cov(X,X) = \Var(X)$

Var (X + X) = Var (X) + Var (X) + 2 Var (X) = 4 Var (X)

$\Var(X+X) = \Var(X) + \Var(X) + 2\Var(X) = 4\Var(X)$

যা আপনি বিধি প্রয়োগ করতে ব্যয় করেছেন ঠিক তেমনই

Var (a X) = a^{2} Var (X) ⟹ Var (2 X) = 4 Var (X)

$\Var(aX) = a^2 \Var(X) \implies \Var(2X) = 4\Var(X)$

আপনি যদি লিনিয়ারিতে আগ্রহী হন, তবে আপনারা হয়তো প্রচারের দ্বি - দ্বি নিয়ে আগ্রহী । র্যান্ডম ভেরিয়েবল জন্য , , এবং (কিনা নির্ভরশীল বা স্বাধীন) এবং ধ্রুবক , , এবং আমরা আছে $W$ $X$ $Y$ $Z$ $a$ $b$ $c$ $d$

Cov (a W + b X, Y) = a Cov (W, Y) + b Cov (X, Y)

$\Cov(aW + bX, Y) = a \Cov(W,Y) + b \Cov(X,Y)$

Cov (X, c Y + d Z) = c Cov (X, Y) + d Cov (X, Z)

$\Cov(X, cY + dZ) = c \Cov(X,Y) + d \Cov(X,Z)$

এবং সামগ্রিকভাবে,

Cov (a W + b X, c Y + d Z) = a c Cov (W, Y) + a d Cov (W, Z) + b c Cov (X, Y) + b d Cov (X, Z)

$\Cov(aW + bX, cY + dZ) = ac \Cov(W,Y) + ad \Cov(W,Z) + bc \Cov(X,Y) + bd \Cov(X,Z)$

তারপরে আপনি এটি আপনার পোস্টে লিখেছেন যে বৈকল্পিকের জন্য (অ-রৈখিক) ফলাফলগুলি প্রমাণ করতে এটি ব্যবহার করতে পারেন:

Var (a X) = Cov (a X, a X) = a^{2} Cov (X, X) = a^{2} Var (X)

$\Var(aX) = \Cov(aX, aX) = a^2 \Cov(X,X) = a^2 \Var(X)$

\begin{aligned} Var (a X + b Y) & = Cov (a X + b Y, a X + b Y) \\ = a^{2} Cov (X, X) + a b Cov (X, Y) + b a Cov (X, Y) + b^{2} Cov (Y, Y) \\ Var (a X + b Y) & = a^{2} Var (X) + b^{2} Var (Y) + 2 a b Cov (X, Y) \end{aligned}

$\begin{align} \Var(aX + bY) &= \Cov(aX + bY, aX + bY) \\ &= a^2 \Cov(X,X) + ab \Cov(X,Y) + ba \Cov (X,Y) + b^2 \Cov(Y,Y) \\ \Var(aX + bY) &= a^2 \Var(X) + b^2 \Var(Y) + 2ab \Cov(X,Y) \end{align}$

পরেরটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে যখন , $a=b=1$

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 Cov (X, Y)

$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y) + 2 \Cov(X,Y)$

যখন $X$ এবং অসংরক্ষিত থাকে (যার মধ্যে তারা স্বতন্ত্র ক্ষেত্রে যেখানে এটি অন্তর্ভুক্ত থাকে), তখন এটি কমে যায় । সুতরাং আপনি যদি একটি "রৈখিক" উপায়ে (যা বীজগণিতভাবে কাজ করার জন্য বেশিরভাগ সময় দুর্দান্ত উপায়) রূপান্তর করতে চান, তবে পরিবর্তে সমবায়ীয়দের সাথে কাজ করুন এবং তাদের দ্বি-দ্বি দ্বিচারটি কাজে লাগান। $Y$ $\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

— Silverfish
সূত্র

1

হ্যাঁ! আমি মনে করি আপনি শুরুতে পিনপাইসড করেছেন যে বিভ্রান্তিটি মূলত একটি ননেশনাল one যখন আমি একটি বইতে (খুব স্পষ্টভাবে, কিছু লোক কঠোরভাবে বলতে পারে) একটি সম্ভাব্য বক্তব্য মূল্যায়নের ব্যাখ্যা এবং বিধিগুলি ব্যাখ্যা করেছিল (তখন, উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি

অর্থ বোঝাতে চেয়েছেন

আমি খুব সহায়ক হয়েছিলাম যেখানে

, আপনি প্রযুক্তিগতভাবে ভুল যদি আপনি

একটি

নিক্ষেপ করার কথা ভাবছেন (এবং

Pr (X + X = n)

$\Pr (X+X=n)$

X \sim Uniform (1..6)

$X \sim \text{Uniform}(1..6)$

n

$n$

X + X = 2 X

$X+X=2X$ কখনও বিজোড় রোল দেয় না);

আইডি ব্যবহার করে ইভেন্টটি সঠিকভাবে প্রকাশ করা হবে )।

X_{1}, X_{2}

$X_1,X_2$

— ভ্যান্ডারমনডে

1

এই বিপরীতে আছে (এবং আমি আমার ভুল অর্থে গ্রহণ থেকে পক্ষপাতিত্ব হতে পারে মনে করি) কিভাবে 2+PRNG(6)+PRNG(6)প্রায়ই হয় কিভাবে আপনি উপরের এবং / অথবা স্বরলিপি / নিয়মাবলী যেমন যেমন পাশা শিরসঁচালন হবে

যা বিভিন্ন দৃষ্টান্ত সত্যি সত্যি উদ্দেশ্যে হয় স্বাধীন হতে।

2 d 6 = d 6 + d 6

$2 \text{d}6 = \text{d}6 + \text{d}6$

— ভ্যান্ডারমনডে

X

$X$

2 X

$2X$

0

$2X \neq X + X$

$2X$ এর ফলাফলের মূল্য দ্বিগুণ হবে $X$ যখন, $X + X$ দুটি পরীক্ষার অর্থ হবে $X$ । অন্য কথায়, এটি একবার ডাই রোল করা এবং ফলাফল দ্বিগুণ করার মধ্যে পার্থক্য vs

— বেঞ্জামিন
সূত্র

+1 এটি পুরোপুরি পরিষ্কার এবং সঠিক উত্তর। আমাদের সাইটে আপনাকে স্বাগতম!

— শুক্রবার

ধন্যবাদ @ শুভ!

— বেনিয়ামিন