যদি এবং , তাহলে ?


9

এটি হোমওয়ার্ক নয়।

X একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন । যদি E[X]=kR এবং Var[X]=0 , এটি কি that Pr(X=k)=1 ?

স্বজ্ঞাতভাবে, এটি সুস্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে, তবে আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করব তা নিশ্চিত নই। আমি একটি বাস্তবতার জন্য জানি যে অনুমানগুলি থেকে, এটি অনুসরণ করে যে E[X2]=k2 । সুতরাং

(Rx dF(x))2=Rx2 dF(x).
এটি আমার কোথাও নিয়ে যায় বলে মনে হয় না। আমি \ পাঠ্য {বর্ণ} [এক্স] = \ ম্যাথবিবি {ই} \ বাম [\ বাম (এক্স - কে \ ডান) ^ 2 \ ডান] \ পাঠ্য try চেষ্টা করতে পারি }
Var[X]=E[(Xk)2].
এখন থেকে (Xk)20 , এটি অনুসরণ করে যে E[(Xk)2]0 ও।

তবে আমি যদি সাম্যতা ব্যবহার করি তবে

E[(Xk)2]=0
তবে আমার অন্ত্র প্রবৃত্তিটি হ'ল (Xk)20 , যাতে Xk

আমি এটা কিভাবে জানব? আমি মনে করি একটি বৈপরীত্য দ্বারা প্রমাণ।

বিপরীতভাবে, সমস্ত এক্স এর জন্য এক্স \ নেক কে , তারপরে (এক্সকি) ^ 2> 0 , এবং \ ম্যাথবিবি {ই} [(এক্সকে) ^ 2]> 0 সমস্ত এক্স এর জন্য । আমাদের একটি বৈপরীত্য, তাই এক্স \ সমতুল্য কেXkX(Xk)2>0E[(Xk)2]>0XXk

আমার প্রমাণটি কী সুরক্ষিত - এবং যদি তা হয় তবে এই দাবিটি প্রমাণ করার জন্য আরও ভাল কোনও উপায় আছে কি?


@ ব্যবহারকারী 7777 আমি সেই পদ্ধতিটি মূলত চেষ্টা করেছিলাম (যেমন আপনি আমার দেখতে পাচ্ছেন সমীকরণ, তবে কীভাবে এগিয়ে যাবেন তা নিশ্চিত ছিল না।
Rx dF(x)=Rx2 dF(x)
Clarinetist

3
আমি বিশ্বাস করি চেবিশেভের বৈষম্য এই প্রশ্নের উত্তর সঙ্গে সঙ্গেই দেয়।
whuber

@ শুভঃ: কমপক্ষে উইকিপিডিয়ায় চেবিশেভের অসমতার বিবৃতি স্পষ্টভাবে ননজারো বৈচিত্রের প্রয়োজন । শূন্য বৈকল্পিক মামলার জন্য আমাদের কোনও প্রকার প্রাথমিক প্রমাণের প্রয়োজন আছে কিনা তা আমি সত্যিই দেখছি না ...
স্টিফান কোলাসা

1
@ স্টেফান আপনি সহজেই পরিসীমা সাথে যে কোনও অপ্রাপ্ত বন্টনে মিশ্রিত করতে পারেন এবং অসমতার জন্য এটি প্রয়োগ করতে পারেন যে সমস্ত জন্য এবং সমস্ত । (δ,δ)Pr(|Xk|>δ)εε>0δ>0
whuber

উত্তর:


6

এখানে কেবলমাত্র সংজ্ঞাগুলি ব্যবহার করে অন্যদের পরিপূরক করার জন্য একটি পরিমাপ তাত্ত্বিক প্রমাণ রয়েছে। আমরা একটি সম্ভাব্য স্থান । লক্ষ্য করুন যে এবং অবিচ্ছেদ্য বিবেচনা করুন । মনে করুন যে কিছু জন্য এবং তে যেমন such রয়েছে । তারপর পরিমাপক নীচের থেকে, তাই মান সংজ্ঞা দ্বারা নীচের থেকে approximating সহজ ফাংশন ইন্টেগ্রাল এর supremum হিসাবে, (Ω,F,P)Y:=(XEX)20EY:=Y(ω)P(dω)ϵ>0AFY>ϵAP(A)>0ϵIAYEY

EYϵIAP(dω)=ϵP(A)>0,
যা একটি বৈপরীত্য। সুতরাং, , । সম্পন্ন.ϵ>0P({ω:Y>ϵ})=0

5

এটি দ্বন্দ্বের দ্বারা প্রমাণ করুন। দ্বারা ভ্যারিয়েন্সের সংজ্ঞা এবং আপনার অনুমান, আপনি

0=VarX=R(xk)2f(x)dx,

যেখানে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব । মনে রাখবেন যে উভয় এবং ননজেটিভ।fX(xk)2f(x)

এখন, যদি , তবেP(X=k)<1

U:=(R{k})f1(]0,[)

শূন্য থেকে পরিমাপ বৃহত্তর, এবং আছে । কিন্তু তারপরkU

U(xk)2f(x)dx>0,

(কিছু স্টাইল যুক্তি এখানে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে) এবং তাইϵ

0=VarX=R(xk)2f(x)dxU(xk)2f(x)dx>0,

এবং আপনার দ্বন্দ্ব


2

কি ? এটি কি হিসাবে একই ?XkX=k

ইটিএ: আইর্ক, ফোরেল omeXkX(ω)=k  ωΩX=k a.s.

যাইহোক, এটা সুস্পষ্ট যে

(XE[X])20

অনুমান করা

E[XE[X])2]=0

তারপর

(XE[X])2=0 a.s.

আমি বিশ্বাস করি যে শেষ পদক্ষেপটি সম্ভাবনার ধারাবাহিকতা ... বা আপনি যা করেছেন (আপনি ঠিক বলেছেন) এর সাথে জড়িত।


থেরেসের চেবিশেভের বৈষম্য :

ϵ>0 ,

P(|Xk|ϵ)0ϵ2=0

P(|Xk|ϵ)=0

P(|Xk|<ϵ)=1

আবার ভাল কথা বলছি ।


বিটিডব্লিউ কেন এটি

Rx dF(x)=Rx2 dF(x)

?

আমার কাছে মনে হয় যখনLHS=kRHS=k2


1
হ্যাঁ, আপনি ঠিক বলেছেন। আমি পোস্টটি সম্পাদনা করেছি
Clarinetist

@ ক্লারিনেটিস্ট আমারও সম্পাদনা করেছেন: পি
বিসিএলসি
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.