যদি এবং , তাহলে ?

9

এটি হোমওয়ার্ক নয়।

$X$ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন । যদি $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ এবং $\text{Var}[X] = 0$ , এটি কি that $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

স্বজ্ঞাতভাবে, এটি সুস্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে, তবে আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করব তা নিশ্চিত নই। আমি একটি বাস্তবতার জন্য জানি যে অনুমানগুলি থেকে, এটি অনুসরণ করে যে $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ । সুতরাং

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ এটি আমার কোথাও নিয়ে যায় বলে মনে হয় না। আমি

try চেষ্টা করতে পারি

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ এখন থেকে

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , এটি অনুসরণ করে যে

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ ও।

তবে আমি যদি সাম্যতা ব্যবহার করি তবে

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ তবে আমার অন্ত্র প্রবৃত্তিটি হ'ল

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , যাতে

X \equiv k

$X \equiv k$ ।

আমি এটা কিভাবে জানব? আমি মনে করি একটি বৈপরীত্য দ্বারা প্রমাণ।

বিপরীতভাবে, সমস্ত জন্য , তারপরে , এবং সমস্ত । আমাদের একটি বৈপরীত্য, তাই । $X \neq k$ $X$ $(X-k)^2 > 0$ $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ $X$ $X \equiv k$

আমার প্রমাণটি কী সুরক্ষিত - এবং যদি তা হয় তবে এই দাবিটি প্রমাণ করার জন্য আরও ভাল কোনও উপায় আছে কি?

probability

— Clarinetist
সূত্র

@ ব্যবহারকারী 7777 আমি সেই পদ্ধতিটি মূলত চেষ্টা করেছিলাম (যেমন আপনি আমার দেখতে পাচ্ছেন সমীকরণ, তবে কীভাবে এগিয়ে যাবেন তা নিশ্চিত ছিল না।

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Clarinetist

3

আমি বিশ্বাস করি চেবিশেভের বৈষম্য এই প্রশ্নের উত্তর সঙ্গে সঙ্গেই দেয়।

— whuber

@ শুভঃ: কমপক্ষে উইকিপিডিয়ায় চেবিশেভের অসমতার বিবৃতি স্পষ্টভাবে ননজারো বৈচিত্রের প্রয়োজন । শূন্য বৈকল্পিক মামলার জন্য আমাদের কোনও প্রকার প্রাথমিক প্রমাণের প্রয়োজন আছে কিনা তা আমি সত্যিই দেখছি না ...

— স্টিফান কোলাসা

1

@ স্টেফান আপনি সহজেই পরিসীমা সাথে যে কোনও অপ্রাপ্ত বন্টনে মিশ্রিত করতে পারেন এবং অসমতার জন্য এটি প্রয়োগ করতে পারেন যে সমস্ত জন্য এবং সমস্ত ।

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

এখানে কেবলমাত্র সংজ্ঞাগুলি ব্যবহার করে অন্যদের পরিপূরক করার জন্য একটি পরিমাপ তাত্ত্বিক প্রমাণ রয়েছে। আমরা একটি সম্ভাব্য স্থান । লক্ষ্য করুন যে এবং অবিচ্ছেদ্য বিবেচনা করুন । মনে করুন যে কিছু জন্য এবং তে যেমন such রয়েছে । তারপর পরিমাপক নীচের থেকে, তাই মান সংজ্ঞা দ্বারা নীচের থেকে approximating সহজ ফাংশন ইন্টেগ্রাল এর supremum হিসাবে, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ যা একটি বৈপরীত্য। সুতরাং, , । সম্পন্ন.

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— ekvall
সূত্র

5

এটি দ্বন্দ্বের দ্বারা প্রমাণ করুন। দ্বারা ভ্যারিয়েন্সের সংজ্ঞা এবং আপনার অনুমান, আপনি

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

যেখানে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব । মনে রাখবেন যে উভয় এবং ননজেটিভ। $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

এখন, যদি , তবে $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

শূন্য থেকে পরিমাপ বৃহত্তর, এবং আছে । কিন্তু তারপর $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(কিছু স্টাইল যুক্তি এখানে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে) এবং তাই $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

এবং আপনার দ্বন্দ্ব

— স্টিফান কোলাসা
সূত্র

2

কি ? এটি কি হিসাবে একই ? $X \equiv k$ $X = k$

ইটিএ: আইর্ক, ফোরেল ome $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

যাইহোক, এটা সুস্পষ্ট যে

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

অনুমান করা

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

তারপর

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

আমি বিশ্বাস করি যে শেষ পদক্ষেপটি সম্ভাবনার ধারাবাহিকতা ... বা আপনি যা করেছেন (আপনি ঠিক বলেছেন) এর সাথে জড়িত।

থেরেসের চেবিশেভের বৈষম্য :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

আবার ভাল কথা বলছি ।

বিটিডব্লিউ কেন এটি

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

আমার কাছে মনে হয় যখন $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
সূত্র

1

হ্যাঁ, আপনি ঠিক বলেছেন। আমি পোস্টটি সম্পাদনা করেছি

— Clarinetist

@ ক্লারিনেটিস্ট আমারও সম্পাদনা করেছেন: পি

— বিসিএলসি