ট্রান্সফর্মিং অর্ডার পরিসংখ্যান

ধরুন এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি এবং স্বতন্ত্র এবং -বিযুক্ত দেখাও একটি হয়েছে বিতরণ। $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

আমি এই সমস্যাটি সেট করে এই সমস্যাটি শুরু করেছি $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ তারপরে $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ যেমন বিতরণ করা হবে $(\frac{z}{a})^{2n}$ এবং $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ যেমন বিতরণ করা হবে $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ ঘনত্বগুলি সহজেই $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ এবং $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

এখান থেকে এখন কোথায় যেতে হবে তা জানার জন্য আমার খুব কষ্ট হচ্ছে these আমি ভাবছি এটি রূপান্তরের সাথে কিছু করতে হবে তবে আমি নিশ্চিত নই ...

self-study data-transformation order-statistics

— সুসান
সূত্র

নিশ্চয়ই ছাড়াও অনুমান করা প্রয়োজন যে না শুধুমাত্র হয়

X_{i}

$X_i$ এবং

Y_{i}

$Y_i$ IID, কিন্তু

X_{i}

$X_i$ স্বাধীন

Y_{j}

$Y_j$ । এটি দিয়ে, আপনি সরাসরি

সাথে কাজ করার কথা

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ ?

— শুক্র

@ আপনার মন্তব্য থেকে আমার চিন্তাভাবনাটি এমন একটি রূপান্তর স্থাপন করা হবে যেখানে আমি এন * লগ (জেড

_{i}

$_i$ ) এর ঘনত্বটি সমাধান করি ?

— সুসান

আমি কিছুটা পুনরায় ফর্ম্যাটিং করেছি (বিশেষত এবং এবং রূপান্তর ) তবে এটি যদি আপনার পছন্দ না হয় তবে আপনি পূর্ববর্তী সংস্করণে ফিরে যেতে পারেন ("সম্পাদিত <x> পূর্বে" লিঙ্কটিতে ক্লিক করে) আপনার পোস্টের নীচে আমার মহাভাটারের উপরে) এবং তারপরে আপনার পূর্ববর্তী সংস্করণটির উপরে "রোল ব্যাক" লিঙ্কটি ক্লিক করুন।

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

সুসান, আপনি প্রশ্নটির ভুল ব্যাখ্যা করেছেন / ভুল পড়েছেন বলে মনে হচ্ছে। প্রশ্নটি এর অনুপাত চায় ডিনোমিনেটরকে বোঝায় কোথায় সর্বোচ্চ অর্ডার পরিসংখ্যাত হয় s, এবং সর্বোচ্চ অর্ডার পরিসংখ্যাত হয় গুলি। অন্য কথায়, সর্বনিম্ন (ম্যাক্সএক্স, ম্যাক্সওয়াই) চায়, সমস্ত এস এবং সর্বনিম্ন নয় , তাই আপনি আপনার জেড ট্রিক ব্যবহার করতে পারবেন না সমস্ত এক্স এবং ওয়াইয়ের মানকে সমতল / একত্রিত করতে। .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

— নেকড়ে

যে কোনও ইভেন্টে এবং পৃথক বিষয় হিসাবে, of এর ঘনত্ব গণনা করা এবং আলাদাভাবে এর ঘনত্ব গণনা করার কোনও বিন্দু নেই ( কারণ সাধারণত স্বাধীন। এর অনুপাত খুঁজতে , প্রথমে যৌথ পিডিএফ সন্ধান করতে হবে , যদি সমস্যা হত হাতের কাছে (যা তা নয়)

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

— নেকড়ে

উত্তর:

এই সমস্যাটি একা সংজ্ঞা থেকে সমাধান করা যেতে পারে: একমাত্র অগ্রণী গণনাটি একক সংখ্যার অবিচ্ছেদ্য।

প্রাথমিক পর্যবেক্ষণ

ভেরিয়েবল সঙ্গে চলো কাজে নেমে পরি এবং সর্বত্র: এই পরিবর্তন না কিন্তু এটা তোলে ইউনিফর্ম সঙ্গে IID ডিস্ট্রিবিউশন, সব বিক্ষেপী চেহারাগুলো দূর গণনার হবে। সুতরাং আমরা সাধারণতার কোনও ক্ষতি ছাড়াই ধরে নিতে পারি । $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

নোট করুন যে এর স্বাধীনতা এবং তাদের অভিন্ন বিতরণ বোঝায় যে যে কোনও সংখ্যক জন্য , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

জন্য একটি অভিন্ন ফলাফলের হোল্ডিং সঙ্গে । ভবিষ্যতের রেফারেন্সের জন্য, এটি আমাদের গণনা করতে দেয় $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

সমাধান

যাক একটি ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা হতে। এর বিতরণ , এর সংজ্ঞাটি স্থির করুন এবং ফলাফলের বৈষম্যকে সহজ করুন: $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

বা দুটির চেয়ে ছোট কিনা এবং (এবং তাদের ছেদটি, শূন্যতার সম্ভাবনা সহ, উপেক্ষা করা যেতে পারে) তার উপর নির্ভর করে এই ইভেন্টটি দুটি উপযোগী কেসে বিভক্ত হয়। সুতরাং আমাদের কেবলমাত্র এর মধ্যে একটির সম্ভাবনা গণনা করতে হবে (বলুন যেখানে smaller ছোট) এবং এটি দ্বিগুণ করে। যেহেতু , , আমাদের ( চরিত্রে অভিনয় করার অনুমতি দিচ্ছে এর ) প্রাথমিক বিভাগে কম্পিউটেশন প্রয়োগ করতে: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

বিতরণ করার অর্থ । $Z_n$ $(1)$

— whuber
সূত্র

আমি সমাধানটি স্কেচ করব, এখানে একটি কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেমটি ব্যবহার করে নিতির কৌতুকগুলি করতে ...

সমাধান

তাহলে আকারের একটি নমুনা পিতা বা মাতা উপর , তারপর নমুনা সর্বোচ্চ পিডিএফ হল: এবং একইভাবে জন্য । $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

পদ্ধতির 1: যৌথ পিডিএফ সন্ধান করুন $(X_{(n)},Y_{(n)})$

যেহেতু এবং স্বতন্ত্র, সুতরাং দুটি নমুনা সর্বাধিক এর যৌথ পিডিএফ কেবল 2 পিডিএফ এর পণ্য, : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

প্রদত্ত । তারপরে, এর সিডিএফ হল হ'ল: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

যেখানে আমি ম্যাথমেটিকাকে স্বয়ংক্রিয় করার জন্য ম্যাথস্ট্যাটিকা প্যাকেজ Probথেকে ফাংশনটি ব্যবহার করছি । সিডিএফ পার্থক্য করা এর স্ট্যান্ডার্ড হিসাবে দেয়। $z$ $Z_n$

পদ্ধতির 2: অর্ডার পরিসংখ্যান

আমরা সর্বোচ্চ এবং ন্যূনতম ক্রিয়াকলাপ মোকাবেলা করার যান্ত্রিকতাকে 'বাই-পাস' করতে অর্ডার পরিসংখ্যানগুলি ব্যবহার করতে পারি।

আবার যদি আকারের একটি নমুনা পিতা বা মাতা উপর , তারপর নমুনা সর্বোচ্চ পিডিএফ হয়, বলুন, : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

সর্বোচ্চ নমুনা এবং এই বিতরণ থেকে মাত্র দুটি স্বতন্ত্র অঙ্কন ; যেমন এবং অর্ডার পরিসংখ্যান (আকার 2 এর নমুনায়) আমরা যা খুঁজছি ঠিক তেমনটি: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

যৌথ পিডিএফ, 2 মাপের নমুনায়, : $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

প্রদত্ত । তারপরে, এর সিডিএফ হল হ'ল: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

এই পদ্ধতির সুবিধাটি হ'ল সম্ভাবনার গণনাটিতে সর্বাধিক / মিনিট ফাংশন জড়িত না, যা ডেরাইভেশনটি (বিশেষত হাতে দ্বারা) প্রকাশ করতে কিছুটা সহজ করে তুলতে পারে।

অন্যান্য

উপরের আমার মতামত অনুসারে, মনে হচ্ছে আপনি প্রশ্নের ভুল ব্যাখ্যা করেছেন ...

আমাদের সন্ধান করতে বলা হয়:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

যেখানে ডিনোমিনেটর নূন্যতম (এক্সম্যাক্স, ওয়াইম্যাক্স), ... সমস্ত এবং সর্বনিম্ন নয় । $X$ $Y$

— wolfies
সূত্র

আপনার স্কেচ অনুসরণ করে আমি বুঝতে পারি যে আমি কীভাবে প্রশ্নের ভুল ব্যাখ্যা করেছি। আমি বুঝতে পারি যে কীভাবে দুটি নমুনা সর্বাধিকের যৌথ পিডিএফ গণনা করতে হবে, তবে আমি এখনও নিশ্চিত নই যে আমরা সর্বোচ্চ / মিনিটের অনুপাতটি কীভাবে ব্যাখ্যা করব।

— সুসান

আমি অর্ডার পরিসংখ্যানগুলি ব্যবহার করে একটি বিকল্প ডেরাইভেশন যুক্ত করেছি, যা সর্বাধিক / মিনিটকে 'আটকায়'।

— নেকড়ে

আপনি যদি সুসানের ডেটা লগ দিয়ে শুরু করে থাকেন তবে আপনি অনুপাতের চেয়ে অর্ডার পরিসংখ্যানের পার্থক্যগুলি দেখছেন ।

— শুক্রবার

আমি অনুমিত নই যে কম্পিউটারের আনুষ্ঠানিক গণনাগুলি অনুপাতটি কেন এক্সপ (1) র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কারণটি ব্যাখ্যা করার সেরা উপায়।

— শি'য়ান

ভাল কথা ... ওপি বাদে কারণ জিজ্ঞাসা করে না ... তবে এটি দেখায় এটি এক্সপ [1]। এটি হোমওয়ার্ক (বা কোনও অ্যাসাইনমেন্ট) কিনা তা সম্পর্কে আমিও অনিশ্চিত ... এবং এটি আসলে কম্পিউটার ব্যবহারের একটি দুর্দান্ত সুবিধা: একটি অনুসরণ করার পদক্ষেপ সরবরাহ করে, ফলাফলটি যাচাই করে, যাতে কারও কাছে সঠিক পন্থা থাকে , কিন্তু যান্ত্রিকগুলি এখনও ওপিতে ছেড়ে গেছে। শুরুতে লগ নেওয়ার বিষয়ে কেউ কেউ @ whuber এর পরামর্শটি অন্বেষণ করতে পছন্দ করবেন।

— নেকড়ে