দুটি স্বতন্ত্র ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে অনুপাতের বিতরণ


17

সাপ্পস এবং প্রমিত এ সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে এবং তারা স্বতন্ত্র, পিডিএফ কী ?XY[0,1]Z=Y/X

কিছু সম্ভাবনা তত্ত্বের পাঠ্যপুস্তকের উত্তর হ'ল

fZ(z)={1/2,if 0z11/(2z2),if z>10,otherwise.

আমি ভাবছি, দ্বারা, উচিত নয় ? উপরের পিডিএফ অনুযায়ী এটি নয়।fZ(1/2)=fZ(2)


X এবং ডোমেন কী Y?
সোবি


2
আপনি কেন এটি সত্য বলে আশা করবেন? ঘনত্ব ফাংশন আপনি বলে কিভাবে শক্তভাবে বস্তাবন্দী সম্ভাব্যতা একটি বিন্দু আশেপাশে, এবং এটা স্পষ্টভাবে আরো কঠিন জন্য Z কাছাকাছি হতে 2 চেয়ে 1/2 (উদাহরণস্বরূপ যে জন্য বিবেচনা Z সবসময় হতে পারে 1/2 কোন ব্যাপার কি X , কিন্তু Z<2 যখন X>1/2 )।
dsaxton


3
আমি মনে করি না এটি একটি সদৃশ, সেই প্রশ্নটি পিডিএফ সন্ধান করছে, এখানে আমার পিডিএফ রয়েছে, আমি কেবল এর সঠিকতা নিয়ে প্রশ্ন করছি (সম্ভবত বরং নির্লজ্জভাবে)।
কেয়েড

উত্তর:


19

সঠিক যুক্তিটি হ'ল স্বাধীন , জেড = ওয়াই সহX,YU(0,1) এবং জেড-1=এক্সZ=YX এর সমানবিতরণএবং তাই0<z<1 P { Y এর জন্যZ1=XY0<z<1 যেখানে সিডিএফগুলির সাথে সমীকরণটি এই সত্যটি ব্যবহার করে যেওয়াই

P{YXz}=P{XYz}=P{YX1z}FZ(z)=1FZ(1z)
একটি ক্রমাগত দৈব চলক এবং তাইপি{জেডএকটি}=পি{জেড>একটি}=1-এফজেড(একটি)। এর অত: পর পিডিএফটু Zসন্তুষ্ট জেড(z- র)=z- র-2জেড(z- র-1),YXP{Za}=P{Z>a}=1FZ(a)Z এইভাবে
fZ(z)=z2fZ(z1),0<z<1.
, এবংএফজেড(1)নয়fZ(12)=4fZ(2) যেমনটি আপনি ভেবেছিলেন এটি হওয়া উচিত।fZ(12)=fZ(2)

14

এই বন্টন হয় প্রতিসম - আপনি এটা সঠিক ভাবে দেখুন।

আপনার প্রতিসাম্য (সঠিকভাবে) পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে যে এবং এক্স / ওয়াই = 1 / ( ওয়াই / এক্স ) অবশ্যই অভিন্নভাবে বিতরণ করতে হবে। অনুপাত এবং ক্ষমতা নিয়ে কাজ করার সময়, আপনি সত্যিই ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যাগুলির গুণক গোষ্ঠীর মধ্যে কাজ করছেন । অবস্থান পরিবর্তিত পরিমাপ এনালগ λ = এক্স উপর যুত বাস্তব সংখ্যার আর হয় স্কেল পরিবর্তিত পরিমাপ μ = এক্স গুণনশীল দলের উপর আরY/XX/Y=1/(Y/X)dλ=dxR dμ=dx/xR ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যার। এটিতে এই পছন্দসই বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

  1. ধনাত্মক ধ্রুবক a : d μ ( a x ) = d ( a x ) এর জন্যরূপান্তর x a x এর অধীনে d μ অদৃশ্যdμxaxa

    dμ(ax)=d(ax)ax=dxx=dμ.
  2. হয় covariant রূপান্তর অধীনে এক্স এক্স অশূন্য সংখ্যার জন্য :μ ( এক্স ) = ( এক্স )dμxxbb

    dμ(xb)=d(xb)xb=bxb1dxxb=bdxx=bdμ.
  3. রূপান্তরিত হয়λ সূচকীয় মাধ্যমে:μ ( এক্স ) = এক্সdμdλ একইভাবে,dλআবারdto এ রূপান্তরিত হয়μ

    dμ(ex)=dexex=exdxex=dx=dλ.
    dλdμ লগারিদম মাধ্যমে।

(3) পরিমাপ করা গোষ্ঠীগুলির এবং ( আর , , ডি μ ) মধ্যে একটি আইসোমরফিজম স্থাপন করে । সংযোজিত জায়গার প্রতিফলিত x - x গুণিত স্থানের বিপরীত x 1 / x এর সাথে মিলে যায়, কারণ - x = 1 / এক্স(R,+,dλ)(R,,dμ)xxx1/xex=1/ex

আসুন সম্ভাবনা উপাদান লিখে এই পর্যবেক্ষণ আবেদন পরিপ্রেক্ষিতে μ (পরোক্ষভাবে বুঝতে যে z- র > 0 ) বদলে λ :Z=Y/Xdμz>0dλ

fZ(z)dz=gZ(z)dμ=12{1dz=zdμ,if 0z11z2dz=1zdμ,if z>1.

অর্থাৎ পিডিএফ পরিবর্তিত পরিমাপ থেকে সম্মান সঙ্গে dμ হয় , সমানুপাতিক করতে z- র যখন 0 < z- র 1 এবং 1 / z- র যখন 1 z- র , বন্ধ আপনি কি আশা করেছিলো।gZ(z)z0<z11/z1z


এটি নিছক এক-অফ ট্রিক নয়। ভূমিকা বোঝা অনেক সূত্র সহজ এবং আরো প্রাকৃতিক বর্ণন তোলে। উদাহরণস্বরূপ, প্যারামিটার কে , এক্স কে - 1 দিয়ে গামা ফাংশনের সম্ভাব্যতা উপাদানdμk হয়ে যায় এক্স কে এক্স ডি μ । এটা দিয়ে কাজ করা আরো সহজμ সঙ্গে তুলনায়λ যখন রূপান্তর এক্স rescaling, ক্ষমতা গ্রহণ, বা exponentiating দ্বারা।xk1exdxxkexdμdμdλx

The idea of an invariant measure on a group is far more general, too, and has applications in that area of statistics where problems exhibit some invariance under groups of transformations (such as changes of units of measure, rotations in higher dimensions, and so on).


3
Looks like a very insightful answer. It's a pity I don't understand it at the moment. I will check back later.
qed

4

If you think geometrically...

In the X-Y plane, curves of constant Z=Y/X are lines through the origin. (Y/X is the slope.) One can read off the value of Z from a line through the origin by finding its intersection with the line X=1. (If you've ever studied projective space: here X is the homogenizing variable, so looking at values on the slice X=1 is a relatively natural thing to do.)

Consider a small interval of Zs, (a,b). This interval can also be discussed on the line X=1 as the line segment from (1,a) to (1,b). The set of lines through the origin passing through this interval forms a solid triangle in the square (X,Y)U=[0,1]×[0,1], which is the region we're actually interested in. If 0a<b1, then the area of the triangle is 12(10)(ba), so keeping the length of the interval constant and sliding it up and down the line X=1 (but not past 0 or 1), the area is the same, so the probability of picking an (X,Y) in the triangle is constant, so the probability of picking a Z in the interval is constant.

However, for b>1, the boundary of the region U turns away from the line X=1 and the triangle is truncated. If 1a<b, the projections down lines through the origin from (1,a) and (1,b) to the upper boundary of U are to the points (1/a,1) and (1/b,1). The resulting area of the triangle is 12(1a1b)(10). From this we see the area is not uniform and as we slide (a,b) further and further to the right, the probability of selecting a point in the triangle decreases to zero.

Then the same algebra demonstrated in other answers finishes the problem. In particular, returning to the OP's last question, fZ(1/2) corresponds to a line that reaches X=1, but fZ(2) does not, so the desired symmetry does not hold.


3

Just for the record, my intuition was totally wrong. We are talking about density, not probability. The right logic is to check that

1kfZ(z)dz=1/k1fZ(z)=12(11k)
,

and this is indeed the case.


1

Yea the link Distribution of a ratio of uniforms: What is wrong? provides CDF of Z=Y/X. The PDF here is just derivative of the CDF. So the formula is correct. I think your problem lies in the assumption that you think Z is "symmetric" around 1. However this is not true. Intuitively Z should be a skewed distribution, for example it is useful to think when Y is a fixed number between (0,1) and X is a number close to 0, thus the ratio would be going to infinity. So the symmetry of distribution is not true. I hope this help a bit.

আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.