দুটি স্বতন্ত্র ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে অনুপাতের বিতরণ

17

সাপ্পস এবং প্রমিত এ সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে এবং তারা স্বতন্ত্র, পিডিএফ কী ? $X$ $Y$ $[0, 1]$ $Z = Y / X$

কিছু সম্ভাবনা তত্ত্বের পাঠ্যপুস্তকের উত্তর হ'ল

f_{Z} (z) = {\begin{cases} 1 / 2, & if 0 \leq z \leq 1 \\ 1 / (2 z^{2}), & if z > 1 \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$f_Z(z) = \begin{cases} 1/2, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ 1/(2z^2), & \text{if } z > 1 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

আমি ভাবছি, দ্বারা, উচিত নয় ? উপরের পিডিএফ অনুযায়ী এটি নয়। $f_Z(1/2) = f_Z(2)$

probability derived-distributions

— Qed
সূত্র

X

$X$ এবং

ডোমেন কী

Y

$Y$ ?

— সোবি

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

— kjetil খ halvorsen

2

আপনি কেন এটি সত্য বলে আশা করবেন? ঘনত্ব ফাংশন আপনি বলে কিভাবে শক্তভাবে বস্তাবন্দী সম্ভাব্যতা একটি বিন্দু আশেপাশে, এবং এটা স্পষ্টভাবে আরো কঠিন জন্য

Z

$Z$ কাছাকাছি হতে

2

$2$ চেয়ে

1 / 2

$1/2$ (উদাহরণস্বরূপ যে জন্য বিবেচনা

Z

$Z$ সবসময় হতে পারে

1 / 2

$1/2$ কোন ব্যাপার কি

X

$X$ , কিন্তু

Z < 2

$Z < 2$ যখন

X > 1 / 2

$X > 1/2$ )।

— dsaxton

2

ইউনিফর্মের অনুপাতের বিতরণের

— শি'য়ান

3

আমি মনে করি না এটি একটি সদৃশ, সেই প্রশ্নটি পিডিএফ সন্ধান করছে, এখানে আমার পিডিএফ রয়েছে, আমি কেবল এর সঠিকতা নিয়ে প্রশ্ন করছি (সম্ভবত বরং নির্লজ্জভাবে)।

— কেয়েড

19

সঠিক যুক্তিটি হ'ল স্বাধীন , $X, Y \sim U(0,1)$ এবং $Z=\frac YX$ এর সমানবিতরণএবং তাই $Z^{-1} =\frac XY$ $0 < z < 1$ যেখানে সিডিএফগুলির সাথে সমীকরণটি এই সত্যটি ব্যবহার করে যে

\begin{aligned} P {\frac{Y}{X} \leq z} & = P {\frac{X}{Y} \leq z} \\ = P {\frac{Y}{X} \geq \frac{1}{z}} \\ F_{Z} (z) & = 1 - F_{Z} (\frac{1}{z}) \end{aligned}

$\begin{align} P\left\{\frac YX \leq z\right\} &= P\left\{\frac XY \leq z\right\}\\ &= P\left\{\frac YX \geq \frac 1z \right\}\\ \left.\left.F_{Z}\right(z\right) &= 1 - F_{Z}\left(\frac 1z\right) \end{align}$

একটি ক্রমাগত দৈব চলক এবং তাই

। এর অত: পর পিডিএফ

সন্তুষ্ট

\frac{Y}{X}

$\frac YX$

P {Z \geq a} = P {Z > a} = 1 - F_{Z} (a)

$P\{Z \geq a\} = P\{Z > a\} = 1-F_Z(a)$

Z

$Z$

এইভাবে

f_{Z} (z) = z^{- 2} f_{Z} (z^{- 1}), 0 < z < 1.

$f_Z(z) = z^{-2}f_Z(z^{-1}), \quad 0 < z < 1.$

, এবং

নয়

f_{Z} (\frac{1}{2}) = 4 f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = 4f_Z(2)$

যেমনটি আপনি ভেবেছিলেন এটি হওয়া উচিত।

f_{Z} (\frac{1}{2}) = f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = f_Z(2)$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

14

এই বন্টন হয় প্রতিসম - আপনি এটা সঠিক ভাবে দেখুন।

আপনার প্রতিসাম্য (সঠিকভাবে) পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে যে এবং অবশ্যই অভিন্নভাবে বিতরণ করতে হবে। অনুপাত এবং ক্ষমতা নিয়ে কাজ করার সময়, আপনি সত্যিই ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যাগুলির গুণক গোষ্ঠীর মধ্যে কাজ করছেন । অবস্থান পরিবর্তিত পরিমাপ এনালগ উপর যুত বাস্তব সংখ্যার হয় স্কেল পরিবর্তিত পরিমাপ গুণনশীল দলের উপর $Y/X$ $X/Y = 1/(Y/X)$ $d\lambda=dx$ $\mathbb{R}$ $d\mu = dx/x$ $\mathbb{R}^{*}$ ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যার। এটিতে এই পছন্দসই বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

ধনাত্মক ধ্রুবক : জন্যরূপান্তর অধীনে অদৃশ্য $d\mu$ $x\to ax$ $a$
$d μ (a x) = \frac{d (a x)}{a x} = \frac{d x}{x} = d μ .$ $d\mu(ax) = \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} = d\mu.$
হয় covariant রূপান্তর অধীনে অশূন্য সংখ্যার জন্য : $d\mu$ $x\to x^b$ $b$
$d μ (x^{b}) = \frac{d (x^{b})}{x^{b}} = \frac{b x^{b - 1} d x}{x^{b}} = b \frac{d x}{x} = b d μ .$ $d\mu(x^b) = \frac{d(x^b)}{x^b} = \frac{b x^{b-1} dx}{x^b} = b\frac{dx}{x} = b\, d\mu.$
রূপান্তরিত হয় সূচকীয় মাধ্যমে: $d\mu$ $d\lambda$ একইভাবে,আবারto এ রূপান্তরিত হয়
$d μ (e^{x}) = \frac{d e^{x}}{e^{x}} = \frac{e^{x} d x}{e^{x}} = d x = d λ .$ $d\mu(e^x) = \frac{de^x}{e^x} = \frac{e^x dx}{e^x} = dx = d\lambda.$ $d\lambda$ $d\mu$ লগারিদম মাধ্যমে।

(3) পরিমাপ করা গোষ্ঠীগুলির এবং মধ্যে একটি আইসোমরফিজম স্থাপন করে । সংযোজিত জায়গার প্রতিফলিত গুণিত স্থানের বিপরীত সাথে মিলে যায়, কারণ $(\mathbb{R}, +, d\lambda)$ $(\mathbb{R}^{*}, *, d\mu)$ $x \to -x$ $x \to 1/x$ $e^{-x} = 1/e^x$ ।

আসুন সম্ভাবনা উপাদান লিখে এই পর্যবেক্ষণ আবেদন পরিপ্রেক্ষিতে (পরোক্ষভাবে বুঝতে যে ) বদলে : $Z=Y/X$ $d\mu$ $z \gt 0$ $d\lambda$

f_{Z} (z) d z = g_{Z} (z) d μ = \frac{1}{2} {\begin{cases} 1 d z = z d μ, & if 0 \leq z \leq 1 \\ \frac{1}{z^{2}} d z = \frac{1}{z} d μ, & if z > 1. \end{cases}

$f_Z(z)\,dz = g_Z(z)\,d\mu = \frac{1}{2}\begin{cases} 1\,dz = z\, d\mu, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ \frac{1}{z^2}dz = \frac{1}{z}\, d\mu, & \text{if } z > 1. \end{cases}$

অর্থাৎ পিডিএফ পরিবর্তিত পরিমাপ থেকে সম্মান সঙ্গে $d\mu$ হয় , সমানুপাতিক করতে যখন এবং যখন , বন্ধ আপনি কি আশা করেছিলো। $g_Z(z)$ $z$ $0\lt z \le 1$ $1/z$ $1 \le z$

এটি নিছক এক-অফ ট্রিক নয়। ভূমিকা বোঝা অনেক সূত্র সহজ এবং আরো প্রাকৃতিক বর্ণন তোলে। উদাহরণস্বরূপ, প্যারামিটার , দিয়ে গামা ফাংশনের সম্ভাব্যতা উপাদান $d\mu$ $k$ হয়ে যায় । এটা দিয়ে কাজ করা আরো সহজ সঙ্গে তুলনায় যখন রূপান্তর rescaling, ক্ষমতা গ্রহণ, বা exponentiating দ্বারা। $x^{k-1}e^x\,dx$ $x^k e^x d\mu$ $d\mu$ $d\lambda$ $x$

The idea of an invariant measure on a group is far more general, too, and has applications in that area of statistics where problems exhibit some invariance under groups of transformations (such as changes of units of measure, rotations in higher dimensions, and so on).

— whuber
সূত্র

3

Looks like a very insightful answer. It's a pity I don't understand it at the moment. I will check back later.

— qed

4

If you think geometrically...

In the $X$ - $Y$ plane, curves of constant $Z = Y/X$ are lines through the origin. ( $Y/X$ is the slope.) One can read off the value of $Z$ from a line through the origin by finding its intersection with the line $X=1$ . (If you've ever studied projective space: here $X$ is the homogenizing variable, so looking at values on the slice $X=1$ is a relatively natural thing to do.)

Consider a small interval of $Z$ s, $(a,b)$ . This interval can also be discussed on the line $X=1$ as the line segment from $(1,a)$ to $(1,b)$ . The set of lines through the origin passing through this interval forms a solid triangle in the square $(X,Y) \in U = [0,1]\times[0,1]$ , which is the region we're actually interested in. If $0 \leq a < b \leq 1$ , then the area of the triangle is $\frac{1}{2}(1-0)(b-a)$ , so keeping the length of the interval constant and sliding it up and down the line $X=1$ (but not past $0$ or $1$ ), the area is the same, so the probability of picking an $(X,Y)$ in the triangle is constant, so the probability of picking a $Z$ in the interval is constant.

However, for $b>1$ , the boundary of the region $U$ turns away from the line $X = 1$ and the triangle is truncated. If $1 \leq a < b$ , the projections down lines through the origin from $(1,a)$ and $(1,b)$ to the upper boundary of $U$ are to the points $(1/a,1)$ and $(1/b,1)$ . The resulting area of the triangle is $\frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(1-0)$ . From this we see the area is not uniform and as we slide $(a,b)$ further and further to the right, the probability of selecting a point in the triangle decreases to zero.

Then the same algebra demonstrated in other answers finishes the problem. In particular, returning to the OP's last question, $f_Z(1/2)$ corresponds to a line that reaches $X=1$ , but $f_Z(2)$ does not, so the desired symmetry does not hold.

— Eric Towers
সূত্র

3

Just for the record, my intuition was totally wrong. We are talking about density, not probability. The right logic is to check that

\int_{1}^{k} f_{Z} (z) d z = \int_{1 / k}^{1} f_{Z} (z) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{k})

$\int_1^k f_Z(z) dz = \int_{1/k}^1 f_Z(z) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{k})$ ,

and this is indeed the case.

— qed
সূত্র

1

Yea the link Distribution of a ratio of uniforms: What is wrong? provides CDF of $Z=Y/X$ . The PDF here is just derivative of the CDF. So the formula is correct. I think your problem lies in the assumption that you think Z is "symmetric" around 1. However this is not true. Intuitively Z should be a skewed distribution, for example it is useful to think when Y is a fixed number between $(0,1)$ and X is a number close to 0, thus the ratio would be going to infinity. So the symmetry of distribution is not true. I hope this help a bit.

— lzstat
সূত্র