সীমাবদ্ধ ডেটা সেটের জন্য পরিবর্তনের সহগের সর্বাধিক মান

17

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি গড়ের চেয়ে বেশি হতে পারে কিনা সম্পর্কে সাম্প্রতিক প্রশ্নের পরে আলোচনায় একটি প্রশ্ন সংক্ষেপে উত্থাপিত হয়েছিল তবে পুরোপুরি কখনও উত্তর দেওয়া হয়নি। সুতরাং আমি এটি এখানে জিজ্ঞাসা করছি।

একটি সেট বিবেচনা $n$ নন-নেগেটিভ সংখ্যার $x_i$ যেখানে $0 \leq x_i \leq c$ জন্য $1 \leq i \leq n$ । এটির জন্য প্রয়োজনীয় নয় যে $x_i$ আলাদা হতে পারি, অর্থাত্ সেটটি একটি মাল্টিসেট হতে পারে। সেটটির গড় এবং হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}, σ_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} = (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) - {\bar{x}}^{2}

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, ~~ \sigma_x^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \bar{x}^2$ এবং মানক চ্যুতির হয়

σ_{x}

$\sigma_x$ । নোট করুন যে সংখ্যার সেটএকটি জনসংখ্যার থেকে প্রাপ্ত নমুনানয়এবং আমরা জনসংখ্যার গড় বা জনসংখ্যার বৈকল্পিক অনুমান করছি না। তাহলে প্রশ্নটি হ'ল:

সর্বোচ্চ মান কি $\dfrac{\sigma_x}{\bar{x}}$ , প্রকরণের সহগ, এর সব পছন্দ উপর $x_i$ 'ব্যবধান গুলি $[0,c]$ ?

সর্বোচ্চ মান যে, আমি জন্য জানতে পারেন $\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$ হল $\sqrt{n-1}$ অর্জিত হয় যা যখন $n-1$ এর $x_i$ মূল্য আছে $0$ এবং অবশিষ্ট (Outlier) $x_i$ হয়েছে মান $c$ , দান

\bar{x} = \frac{c}{n}, \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} = \frac{c^{2}}{n} \Rightarrow σ_{x} = \sqrt{\frac{c^{2}}{n} - \frac{c^{2}}{n^{2}}} = \frac{c}{n} \sqrt{n - 1} .

$\bar{x} = \frac{c}{n},~~ \frac{1}{n}\sum x_i^2 = \frac{c^2}{n} \Rightarrow \sigma_x = \sqrt{\frac{c^2}{n} - \frac{c^2}{n^2}} = \frac{c}{n}\sqrt{n-1}.$ তবে এটি মোটেও

উপর নির্ভর করে না

c

$c$ এবং আমি ভাবছি যে বৃহত্তর মানগুলি সম্ভবত

n

$n$ এবং

উভয়ের উপর নির্ভরশীল

c

$c$ , অর্জন করা যায় কিনা।

কোন ধারনা? আমি নিশ্চিত যে এই প্রশ্নটি পূর্বে পরিসংখ্যান সাহিত্যে অধ্যয়ন করা হয়েছে, এবং সুতরাং উল্লেখগুলি, যদি প্রকৃত ফলাফল না হয় তবে অনেক প্রশংসা হবে।

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

আমি মনে করি আপনি সবচেয়ে বড় সম্ভাব্য মান হিসাবে সঠিক, এবং আমিও অবাক হয়েছি যে

c

$c$ কোনও গুরুত্ব নেই। কুল।

— পিটার ফ্লুম - মনিকা পুনরায়

7

c

$c$ ফলাফলকে

হিসাবে প্রভাবিত করবে না

\frac{σ_{x}}{\bar{x}}

$\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$ সব মান কোনো ইতিবাচক ধ্রুবক দ্বারা গুন করা হয়, তাহলে পরিবর্তন করে না

k

$k$ ।

— হেনরি

15

জ্যামিতি অন্তর্দৃষ্টি এবং শাস্ত্রীয় বৈষম্যগুলিকে কঠোরতায় সহজে অ্যাক্সেস সরবরাহ করে provides

জ্যামিতিক সমাধান

আমরা থেকে জানি, লিস্ট স্কোয়ার জ্যামিতি , যে $\mathbf{\bar{x}} = (\bar{x}, \bar{x}, \ldots, \bar{x})$ ডেটার ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ হয় $\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ সম্মুখের ধ্রুবক ভেক্টর $(1,1,\ldots,1)$ এবং দ্বারা উত্পাদিত লিনিয়ার উপস্পেস $\sigma_x$ $\mathbf{x}$ এবং মধ্যে (ইউক্লিডিয়ান) দূরত্বের সাথে সরাসরি আনুপাতিক $\mathbf{\bar{x}}.$ নেতিবাচকতা সীমাবদ্ধতাগুলি লিনিয়ার এবং দূরত্ব একটি উত্তল ফাংশন, যেহেতু সীমাবদ্ধতার দ্বারা নির্ধারিত শঙ্কুর প্রান্তে দূরত্বের চূড়ান্ততা অর্জন করতে হবে। এই শঙ্কু ইতিবাচক orthant হয় $\mathbb{R}^n$ এবং কোথা তা অবিলম্বে অনুসরণ করে যে সব কিন্তু এক তার প্রান্ত, তুল্য অক্ষ হয় $x_i$ শূন্য সর্বাধিক দূরত্ব এ হতে হবে। এই জাতীয় ডেটার সংকলনের জন্য, একটি প্রত্যক্ষ (সাধারণ) গণনা দেখায় $\sigma_x/\bar{x}=\sqrt{n}.$

শাস্ত্রীয় অসমতার শোষণ সমাধান

যে রূপান্তরকরণের সাথে একযোগে অনুকূলিত হয়। এর আলোকে, আসুন সর্বোচ্চ করা যাক $\sigma_x/\bar{x}$

\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} = \frac{1}{n} (\frac{n - 1}{n} {(\frac{σ_{x}}{\bar{x}})}^{2} + 1) = f (\frac{σ_{x}}{\bar{x}}) .

$\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} = \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\left(\frac{\sigma_x}{\bar{x}}\right)^2+1\right) = f\left(\frac{\sigma_x}{\bar{x}}\right).$

(জন্য সূত্র রহস্যময় যতক্ষণ না আপনি বুঝতে পারছি এটা ঠিক পদক্ষেপ এক লাগবে রেকর্ড হতে পারে algebraically সাধিত এটা একটা সহজ খুঁজছেন ফর্ম, যা বাম দিকের হয় ঢোকা।) $f$ $\sigma_x/\bar{x}$

ধারকের অসাম্য দিয়ে একটি সহজ উপায় শুরু হয় ,

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} \leq (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) max ({x_{i}}) .

$x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2 \le \left(x_1+x_2+\ldots+x_n\right)\max(\{x_i\}).$

(এই সাধারণ প্রসঙ্গে এটির কোনও বিশেষ প্রমাণের প্রয়োজন নেই: কেবলমাত্র প্রতিটি পদটির একটি ফ্যাক্টর সর্বাধিক উপাদান দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন : স্পষ্টত বর্গের যোগফল হ্রাস পাবে না F সাধারণ শব্দ বৈষম্যের ডান হাত দেয়) $x_i^2 = x_i \times x_i$ $\max(\{x_i\})$ $\max(\{x_i\})$

Because the $x_i$ are not all $0$ (that would leave $\sigma_x/\bar{x}$ undefined), division by the square of their sum is valid and gives the equivalent inequality

\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} \leq \frac{max ({x_{i}})}{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}} .

$\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} \le \frac{\max(\{x_i\})}{x_1+x_2+\ldots+x_n}.$

Because the denominator cannot be less than the numerator (which itself is just one of the terms in the denominator), the right hand side is dominated by the value $1$ , which is achieved only when all but one of the $x_i$ equal $0$ . Whence

\frac{σ_{x}}{\bar{x}} \leq f^{- 1} (1) = \sqrt{(1 \times (n - 1)) \frac{n}{n - 1}} = \sqrt{n} .

$\frac{\sigma_x}{\bar{x}} \le f^{-1}\left(1\right) = \sqrt{\left(1 \times (n - 1)\right)\frac{n}{n-1}}=\sqrt{n}.$

Alternative approach

Because the $x_i$ are nonnegative and cannot sum to $0$ , the values $p(i) = x_i/(x_1+x_2+\ldots+x_n)$ determine a probability distribution $F$ on $\{1,2,\ldots,n\}$ . Writing $s$ for the sum of the $x_i$ , we recognize

\begin{aligned} \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} & = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{s^{2}} \\ = (\frac{x_{1}}{s}) (\frac{x_{1}}{s}) + (\frac{x_{2}}{s}) (\frac{x_{2}}{s}) + \dots + (\frac{x_{n}}{s}) (\frac{x_{n}}{s}) \\ = p_{1} p_{1} + p_{2} p_{2} + \dots + p_{n} p_{n} \\ = E_{F} [p] . \end{aligned}

$\eqalign{ \frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} &= \frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{s^2} \\ &= \left(\frac{x_1}{s}\right)\left(\frac{x_1}{s}\right)+\left(\frac{x_2}{s}\right)\left(\frac{x_2}{s}\right) + \ldots + \left(\frac{x_n}{s}\right)\left(\frac{x_n}{s}\right)\\ &= p_1 p_1 + p_2 p_2 + \ldots + p_n p_n\\ &= \mathbb{E}_F[p]. }$

The axiomatic fact that no probability can exceed $1$ implies this expectation cannot exceed $1$ , either, but it's easy to make it equal to $1$ by setting all but one of the $p_i$ equal to $0$ and therefore exactly one of the $x_i$ is nonzero. Compute the coefficient of variation as in the last line of the geometric solution above.

— whuber
সূত্র

Thanks for a detailed answer from which I have learned a lot! I assume that the difference between the

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ in your answer and the

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$ that I obtained (and Henry confirmed) is due to the fact that you are using

σ_{x} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$ as the definition of

σ_{x}

$\sigma_x$ while I used

σ_{x} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} ?

$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}?$

— Dilip Sarwate

1

Yes Dilip, that's right. Sorry about the discrepancy with the question; I should have checked first and I should have defined

σ_{x}

$\sigma_x$ (which I intended to do but forgot).

— whuber

10

Some references, as small candles on the cakes of others:

Katsnelson and Kotz (1957) proved that so long as all $x_i \ge 0$ , then the coeﬃcient of variation cannot exceed $\sqrt{n − 1}$ . This result was mentioned earlier by Longley (1952). Cramér (1946, p.357) proved a less sharp result, and Kirby (1974) proved a less general result.

Cramér, H. 1946. Mathematical methods of statistics. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Katsnelson, J., and S. Kotz. 1957. On the upper limits of some measures of variability. Archiv für Meteorologie, Geophysik und Bioklimatologie, Series B 8: 103–107.

Kirby, W. 1974. Algebraic boundedness of sample statistics. Water Resources Research 10: 220–222.

Longley, R. W. 1952. Measures of the variability of precipitation. Monthly Weather Review 80: 111–117.

I came across these papers in working on

Cox, N.J. 2010. The limits of sample skewness and kurtosis. Stata Journal 10: 482-495.

which discusses broadly similar bounds on moment-based skewness and kurtosis.

— Nick Cox
সূত্র

8

With two numbers $x_i \ge x_j$ , some $\delta \gt 0$ and any $\mu$ :

(x_{i} + δ - μ)^{2} + (x_{j} - δ - μ)^{2} - (x_{i} - μ)^{2} - (x_{j} - μ)^{2} = 2 δ (x_{i} - x_{j} + δ) > 0.

$(x_i+\delta - \mu)^2 + (x_j - \delta - \mu)^2 - (x_i - \mu)^2 - (x_j - \mu)^2 = 2\delta(x_i - x_j +\delta) \gt 0.$

Applying this to $n$ non-negative datapoints, this means that unless all but one of the $n$ numbers are zero and so cannot be reduced further, it is possible to increase the variance and standard deviation by widening the gap between any pair of the data points while retaining the same mean, thus increasing the coefficient of variation. So the maximum coefficient of variation for the data set is as you suggest: $\sqrt{n-1}$ .

$c$ should not affect the result as $\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$ does not change if all the values are multiplied by any positive constant $k$ (as I said in my comment).

— Henry
সূত্র