স্লুটস্কির উপপাদ্য কি এখনও বৈধ যখন দুটি অনুক্রম উভয়ই একটি অবনমিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলে রূপান্তর করে?

12

স্লটস্কির উপপাদ্য সম্পর্কে কিছু বিবরণ নিয়ে আমি বিভ্রান্ত :

যাক , স্কালে / ভেক্টর / ম্যাট্রিক্স র্যান্ডম উপাদানের দুই সিকোয়েন্স হও। $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$

তাহলে একটি র্যান্ডম উপাদানে বিতরণে এগোয় এবং একটি ধ্রুবক থেকে সম্ভবত এগোয় , তারপর প্রদান করা হয়েছে যে বিবর্তনযোগ্য, যেখানে distribution বিতরণে রূপান্তরকে বোঝায়। $X_n$ $X$ $Y_n$ $c$
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{d}{\to} X + c \\ X_{n} Y_{n} & \overset{d}{\to} c X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{d}{\to} X / c, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ $c$ ${\xrightarrow {d}}$

যদি স্লুটস্কির উপপাদ্য উভয় অনুক্রমগুলি উভয়ই একটি অবনমিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলে রূপান্তরিত করে, তত্ত্বটি কি এখনও বৈধ, এবং যদি না (কেউ কোনও উদাহরণ দিতে পারে?), এটি বৈধ করার জন্য অতিরিক্ত শর্তগুলি কী কী?

— নিকোলাস এইচ
সূত্র

15

স্লুটস্কির উপপাদ্যটি বিতরণে র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের রূপান্তরকারী দুটি ক্রম পর্যন্ত প্রসারিত নয়। যদি তে বিতরণে রূপান্তরিত হয় , রূপান্তরিত করতে ভাল ব্যর্থ হতে পারে বা ব্যতীত অন্য কোনও কিছুতে রূপান্তর করতে পারে । $Y_n$ $Y$ $X_n+Y_n$ $X+Y$

উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত জন্য যদি , $Y_n=-X_n$ $n$ $X_n+Y_n$ দুটি পার্থক্যের সাথে হিসাবে একই বিতরণ করে না । $X$

আরেকটি পাল্টা উদাহরণ যে, যখন ক্রম এবং স্বাধীন হয় এবং উভয় একটি স্বাভাবিক বিতরণে সমকেন্দ্রি পরিবর্তনশীল, যদি এক সংজ্ঞায়িত এবং , তারপরে $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$ এই উদাহরণে আরও বিশদ জানতে উত্তর দেখুন।

\begin{aligned} X_{n} & \overset{d}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{d}{\to} X_{2} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{d}{\to} X_{1} + X_{2} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— সিয়ান
সূত্র

2

এটি প্রসারিত করার জন্য আপনার স্বাধীনতার মতো আরও কিছু প্রয়োজন।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

আমি কি এই ভেবেই ঠিক আছি যে যদি উভয় ক্রম পরিবর্তে একটি ধ্রুবকে রূপান্তরিত হয় তবে স্লটস্কি এখনও প্রয়োগ করে কারণ একটি ধ্রুবক কোনও আরভি-র একটি বিশেষ (অধঃপতন) কেস?

— অর্ধ-পাস

1

@ হাফ পাস: এটি সঠিক।

— শি'য়ান

4

$(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ , আমরা বিতরণে জোর দিয়ে বলতে পারি না । $X_n+Y_n\to X+Y$

এই উদাহরণগুলি দেখায় যে আমাদের সাধারণ এবং বিতরণে থাকতে পারে, তবে যদি আমাদের কাছে এর বিতরণ সম্পর্কিত তথ্য না থাকে তবে রূপান্তরটি ব্যর্থ হতে পারে। $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

অবশ্যই, সবকিছু ঠিক আছে যদি বন্টন (উদাহরণস্বরূপ তাহলে স্বাধীন এবং এর । সাধারণভাবে, আমরা পারি শুধুমাত্র দাবী করে যে, ক্রম টাইট (যে, প্রতিটি ইতিবাচক জন্য , আমরা জানতে পারেন যেমন যে )। এর অর্থ আমরা পূর্ণসংখ্যার একটি ক্রমবর্ধমান ক্রম খুঁজে পেতে পারেন যে যেমন যে কিছু দৈব চলক বিতরণের মধ্যে এগোয় । $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $Z$

প্রস্তাব. গাউসিয়ান এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং মতো অনুক্রম বিদ্যমান যে কোনও for এর জন্য , আমরা পূর্ণসংখ্যার ক্রমবর্ধমান ক্রমটি খুঁজে পেতে পারি যেমন বিতরণ রূপান্তর করে । $(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $N(0,\sigma^2)$

প্রুফ। এর যৌক্তিক সংখ্যার একটি গণনা এবং একটি । জন্য , নির্ধারণ একটি গসিয়ান যেমন কেন্দ্রিক ভেক্টর সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স । এই পছন্দটি দিয়ে, কেউ দেখতে পাবে যে যুক্তিযুক্ত হলে প্রস্তাবের উপসংহারটি সন্তুষ্ট হয়। সাধারণ ক্ষেত্রে একটি আনুমানিক যুক্তি ব্যবহার করুন। $(r_j)$ $[-1,1]$ $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ $(X_n,Y_n)$ $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ $\sigma$

— ডেভিড গিরাডো
সূত্র