অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার উপর পৃথক বিতরণ থেকে নমুনা কিভাবে?

10

আমি নিম্নলিখিত বিচ্ছিন্ন বিতরণ আছে, যেখানে $\alpha,\beta$ পরিচিত ধ্রুবক:

p (x; α, β) = \frac{বিটা (α + + 1, β + + এক্স)}{বিটা (α, β)} জন্য এক্স = 0, 1, 2, ...

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

এই বিতরণ থেকে দক্ষতার সাথে নমুনার জন্য কিছু পন্থা কী কী?

— jII
সূত্র

9

এটি প্যারামিটার সহ একটি বিটা নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণ $r=1$ আপনার ক্ষেত্রে, উইকিপিডিয়া স্বরলিপি ব্যবহার করে। এটি যখন বিটা-পাস্কেল বিতরণের নাম দিয়েছে $r$ একটি পূর্ণসংখ্যা যেমনটি আপনি একটি মন্তব্যে উল্লেখ করেছেন, এটি সাফল্যের সম্ভাবনার পূর্বে কনজিগেট বিটা সহ বায়সিয়ান নেগেটিভ দ্বিপদী মডেলটির ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণ।

সুতরাং আপনি এটি নমুনা দ্বারা নমুনা করতে পারেন $\text{Beta}(\alpha,\beta)$ পরিবর্তনশীল $u$ এবং তারপরে একটি নেতিবাচক দ্বিপদী ভেরিয়েবল নমুনা $\text{NB}(r,u)$ (সঙ্গে $r=1$ আপনার ক্ষেত্রে, এটি জ্যামিতিক বিতরণ বলতে বলা হয়)।

এই প্যাকেজটি আর প্যাকেজে কার্যকর করা হয়েছে brr। স্যাম্পলারের নাম রয়েছে rbeta_nbinom, পিএমএফের নাম রয়েছে dbeta_nbinomইত্যাদি উল্লেখ রয়েছে $a=r$ , $c=\alpha$ , $d=\beta$ । পরীক্ষা করে দেখুন:

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

কোডটি দেখে, কেউ দেখতে পাবে এটি আসলে প্যাকেজ ghyperবিতরণের পরিবারটিকে (জেনারেলাইজড হাইপারজেমেট্রিক) কল করে SuppDists:

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

ইনড, বিএনবি বিতরণ একটি ধরণের IV সাধারণীকরণের হাইপারজিমিট্রিক বিতরণ হিসাবে পরিচিত । এর সহায়তা দেখুন ghyperমধ্যে SuppDistsপ্যাকেজ। আমি বিশ্বাস করি এটি জনসন ও আল-এর বই ইউনিভারিয়েট ডিস্ক্রিট ডিস্ট্রিবিউশনগুলিতেও পাওয়া যাবে ।

— স্টাফেন লরেন্ট
সূত্র

এই উত্তরটি দুর্দান্ত, তবে এটি আরও ভাল হবে যদি আপনি প্রমাণ করেন যে ওপেন পোস্ট করা ঘনত্বটি নেতিবাচক দ্বিপদী ঘনত্বের সমান।

— সাইকোরাক্স মনিকাকে

1

@ ইউজার 777 আমি মনে করি ওপি-র লেখক জিয়ান এর উত্তরের মন্তব্য সম্পর্কে (এটি পূর্বে একটি সংক্ষিপ্ত বিটা সহ নেতিবাচক দ্বিপদী মডেলের উত্তরোত্তর বন্টন) প্রমাণ করেছেন himself

— স্টাফেন লরেন্ট 21

10

দেত্তয়া আছে

\frac{বিটা (α + + 1, β + + এক্স)}{বিটা (α, β)} = \frac{α}{α + + β + + এক্স} \frac{β + + এক্স - 1}{α + + β + + এক্স - 1} \dots \frac{β}{α + + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$ কমে যাচ্ছে

x

$x$ , আমি অভিন্ন বৈকল্পিক উত্পন্ন করার পরামর্শ দিচ্ছি

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$ এবং জমে থাকা অঙ্কগুলি গণনা করা

{এস}_{ট} = Σ_{এক্স = 0}^{ট} \frac{বিটা (α + + 1, β + + এক্স)}{বিটা (α, β)}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$ পর্যন্ত

{এস}_{ট} > তোমার দর্শন লগ করা

$S_k>u$ অনুধাবন তখন সংশ্লিষ্টটির সমান

k

$k$ । থেকে

\begin{aligned} {আর}_{এক্স} & = \frac{বিটা (α + + 1, β + + এক্স)}{বিটা (α, β)} \\ = \frac{α}{α + + β + + এক্স} \frac{β + + এক্স - 1}{α + + β + + এক্স - 1} \dots \frac{β}{α + + β} \\ = \frac{α + + β + + এক্স - 1}{α + + β + + এক্স} \frac{β + + এক্স - 1}{α + + β + + এক্স - 1} {আর}_{এক্স - 1} \\ = \frac{β + + এক্স - 1}{α + + β + + এক্স} {আর}_{এক্স - 1} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$ এবং

{এস}_{ট} = {এস}_{ট} - 1 + + {আর}_{ট}

$S_k=S_k-1+R_k$ গণনা সম্পূর্ণরূপে গামা ফাংশন ব্যবহার এড়াতে পারে।

— সিয়ান
সূত্র

1

(+1) ব্যবহার করা হচ্ছে

S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$ কাজ ব্যাপকভাবে ত্বরান্বিত করবে।

— শুক্র

1

সম্পাদনাটি পুনরায়: আমি সন্দেহ করি যে গামা ফাংশনগুলি শোষণ তবুও এর সমাধানের ক্ষেত্রে সহায়ক হবে

k

$k$ শর্তে

u

$u$ ,

α

$\alpha$ , এবং

β

$\beta$ । উদাহরণস্বরূপ, কেউ এর সাথে প্রাথমিক প্রায় সন্ধান করতে পারে

u

$u$ মূল্যায়নের ক্ষেত্রে স্টার্লিংয়ের সূত্র ব্যবহার করে

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$ এবং

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$ এবং তারপরে কয়েকটি নিউটন-র‌্যাফসন পদক্ষেপের সাহায্যে এটি পলিশ করে। যাদের লগ গ্যামা এবং এর ডেরাইভেটিভের মূল্যায়ন প্রয়োজন। অবশ্যই যদি

α

$\alpha$ এবং

β

$\beta$ উভয়ই অবিচ্ছেদ্য তবে সমাধানটি একটি বহুবর্ষের মূল - তবে তবুও গামা ব্যবহার করা এখনও যাওয়ার উপায় হতে পারে।

— হোবার

1

দুর্দান্ত উত্তর! আমি এসএল দ্বারা প্রদত্ত উত্তরটি গ্রহণ করেছিলাম কারণ এটি আমার নজরে একটি মূল পয়েন্টটি নিয়েছে (মূল প্রশ্নের অংশ নয়), যে পূর্ববর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক থেকে নমুনা পোস্টারিয়র থেকে প্যারামিটার স্যাম্পল করার সমতুল্য, তারপরে সম্ভাবনা থেকে ডেটা নমুনা দেওয়ার সমান। বিশেষত, উপরে বিতরণ ফাংশনটি প্যারামিটারের আগে বিটা সহ জ্যামিতিক ডেটার উত্তরীয় ভবিষ্যদ্বাণীমূলক

p

$p$ ।

— jII