আমি কি আরওসি বক্ররেখার বিশ্লেষণের জন্য কেবল একটি বায়সিয়ান পদ্ধতি আবিষ্কার করেছি?

Question

প্রস্তাবনা

এটি একটি দীর্ঘ পোস্ট। আপনি যদি এটি পুনরায় পড়ছেন, দয়া করে নোট করুন যে আমি প্রশ্নের অংশটি সংশোধন করেছি, যদিও ব্যাকগ্রাউন্ডের উপাদানগুলি একই রয়েছে। অতিরিক্ত হিসাবে, আমি বিশ্বাস করি যে আমি সমস্যার একটি সমাধান তৈরি করেছি। সমাধানটি পোস্টের নীচে উপস্থিত হয়। ক্লিফএবকে ধন্যবাদ জানাতে যে আমার মূল সমাধানটি (এই পোস্টটির বাইরে সম্পাদিত; সেই সমাধানের সম্পাদনার ইতিহাস দেখুন) অগত্যা পক্ষপাতদুষ্ট অনুমান উত্পাদন করেছে।

সমস্যা

মেশিন লার্নিং শ্রেণিবদ্ধকরণ সমস্যাগুলিতে, মডেল পারফরম্যান্স মূল্যায়নের একটি উপায় হ'ল আরওসি বক্ররেখা বা আরওসি বক্ররেখার (এওসি) এর অধীনে অঞ্চলকে তুলনা করা। যাইহোক, এটি আমার পর্যবেক্ষণ যে আরওসি বক্ররেখাগুলির পরিবর্তনশীলতা বা এটিউ এর অনুমান সম্পর্কে মূল্যবান সামান্য আলোচনা আছে; এটি হ'ল এগুলি ডেটা থেকে অনুমান করা পরিসংখ্যান, এবং এর সাথে কিছু ত্রুটি যুক্ত রয়েছে। এই অনুমানগুলিতে ত্রুটি চিহ্নিতকরণ বৈশিষ্ট্যযুক্ত করতে সহায়তা করবে, উদাহরণস্বরূপ, একজন শ্রেণিবদ্ধকারী আসলেই অন্যজনের চেয়ে উচ্চতর কিনা।

আমি এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য নিম্নলিখিত পদ্ধতির বিকাশ করেছি, যাকে আমি আরওসি বক্ররেখাগুলির বায়েসিয়ান বিশ্লেষণ বলি। সমস্যাটি সম্পর্কে আমার চিন্তাভাবনায় দুটি মূল পর্যবেক্ষণ রয়েছে:

1. আরওসি বক্ররেখাগুলি ডেটা থেকে আনুমানিক পরিমাণের সমন্বয়ে গঠিত হয়, এবং এটি বায়সিয়ান বিশ্লেষণে কার্যকর।

   আরওসি বক্ররেখা মিথ্যা পজিটিভ রেট বিপরীতে সত্য পজিটিভ রেট প্লট করে তৈরি করা হয়েছে, যার প্রতিটিই তথ্য থেকে অনুমান করা হয়। আমি বিবেচনা এবং কার্যাবলী (ক লজিস্টিক রিগ্রেশনে একটি র্যান্ডম বনে গাছ ভোট, SVM একটি hyperplane থেকে দূরত্ব, পূর্বাভাস সম্ভাব্যতা, ইত্যাদি), সিদ্ধান্ত থ্রেশহোল্ড সাজানোর বর্গ বি থেকে ব্যবহার করা। সিদ্ধান্ত থ্রেশহোল্ড মান তারতম্য বিভিন্ন অনুমান ফিরে আসবে এবং । তদুপরি, আমরা can বিবেচনা করতে পারিএফ পি আর ( θ ) টি পি আর এফ পি আর θ θ টি পি আর এফ পি আর টি পি আর ( θ $TPR(\theta)$$FPR(\theta)$$TPR$$FPR$$\theta$$\theta$$TPR$$FPR$$TPR(\theta)$বার্নোল্লি ট্রায়ালের ক্রম সাফল্যের সম্ভাবনার একটি অনুমান হতে। আসলে, টিপিআরটিকে as হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এটি সাফল্য এবং মোট পরীক্ষার ক্ষেত্রে একটি পরীক্ষায় দ্বিপদী সাফল্যের সম্ভাবনার এমএলইও হয়।টিপিটিপি+এফএন>$\frac{TP}{TP+FN},$$TP$$TP+FN>0$

   সুতরাং এবং এর আউটপুটটিকে এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করে আমরা দ্বিপাক্ষিক পরীক্ষার সাফল্য সম্ভাবনা অনুমান করার সমস্যার মুখোমুখি হয়েছি যেখানে সাফল্য এবং ব্যর্থতার সংখ্যাটি সঠিকভাবে জানা (প্রদত্ত দ্বারা , , এবং , যা আমি অনুমান সব ঠিক করা হয়েছে)। প্রচলিতভাবে, কেউ কেবল এমএলই ব্যবহার করে এবং ধরে নেয় যে টিপিআর এবং এফপিআর নির্দিষ্ট মানগুলির জন্য স্থির করা হয়েছেএফ পি আর ( θ ) টি পি এফ পি ফ এন টি এন এন $TPR(\theta)$$FPR(\theta)$$TP$$FP$$FN$$TN$$\theta$। তবে আরওসি বক্ররেখা সম্পর্কে আমার বয়েসীয় বিশ্লেষণে, আমি আরওসি বক্ররেখার পূর্ববর্তী সিমুলেশনগুলি আঁকছি, যা আরওসি বক্ররেখাগুলির উপরের উত্তরোত্তর বিতরণ থেকে নমুনা আঁকতে প্রাপ্ত হয়। এই সমস্যার জন্য একটি আদর্শ বায়সান মডেল হ'ল সাফল্যের সম্ভাবনার আগে বিটা সহ দ্বিপাক্ষিক সম্ভাবনা; সাফল্যের সম্ভাবনার উপর পরবর্তী বিতরণটিও বিটা, সুতরাং প্রতিটি- , আমাদের টিপিআর এবং এফপিআর মানগুলির উত্তরোত্তর বিতরণ রয়েছে have এটি আমাদের দ্বিতীয় পর্যবেক্ষণে নিয়ে আসে।$\theta$

2. আরওসি বক্ররেখা কমছে না। সুতরাং একবার এবং এর কিছু মান স্যাম্পল করলে, নমুনা বিন্দুর "দক্ষিণপূর্ব" আরওসি স্পেসে একটি বিন্দু নমুনার সম্ভাবনা শূন্য থাকে। তবে আকার-সীমাবদ্ধ নমুনা দেওয়া একটি কঠিন সমস্যা।এফ পি আর ( θ $TPR(\theta)$$FPR(\theta)$

বায়েশিয়ান পদ্ধতির একক সংখ্যক প্রাক্কলন থেকে বিপুল সংখ্যক এটিসি অনুকরণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 20 টি সিমুলেশন মূল ডেটার তুলনায় এ জাতীয় চেহারা look

এই পদ্ধতিটির অনেকগুলি সুবিধা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি মডেলের এওসি অপরটির চেয়ে বেশি হওয়ার সম্ভাবনাটি তাদের পরবর্তী সিমুলেশনের এউসি তুলনা করে সরাসরি অনুমান করা যায়। বৈকল্পিকতার অনুমানগুলি সিমুলেশনের মাধ্যমে পাওয়া যায়, যা পুনরায় মডেলিং পদ্ধতির তুলনায় সস্তা এবং এই অনুমানগুলি পুনঃনির্মাণের পদ্ধতিগুলি থেকে উদ্ভূত পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত নমুনাগুলির সমস্যা নিয়ে আসে না।

সমাধান

আমি উপরের দুটি ছাড়াও সমস্যার প্রকৃতি সম্পর্কে তৃতীয় এবং চতুর্থ পর্যবেক্ষণ করে এই সমস্যার সমাধান সমাধান করেছি।

3. এফ পি আর ( θ $TPR(\theta)$ এবং প্রান্তিক ঘনত্ব রয়েছে যা অনুকরণের জন্য উপযুক্ত$FPR(\theta)$

   তাহলে (সহ ) একটি বেটা-বিতরণ পরামিতি সঙ্গে র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এবং (সহ এবং ), আমরা বিবেচনা করতে পারেন কি TPR ঘনত্ব বিভিন্ন মান ধরে গড় যা আমাদের বিশ্লেষণের সাথে মিলে যায়। তা হ'ল, আমরা একটি শ্রেণিবিন্যাস প্রক্রিয়া বিবেচনা করতে পারি যেখানে আমাদের নমুনা বহির্ভূত মডেল পূর্বাভাস দ্বারা প্রাপ্ত মান সংগ্রহের মধ্য দিয়ে একটি নমুনা , এবং তারপরে মান de । ফলাফলের নমুনাগুলির উপরে বিতরণএফ পি আর ( θ ) টি পি এফ এন এফ পি টি এন θ ~ θ θ টি পি আর ( ~ θ ) টি পি আর ( ~ θ ) θ টি পি আর ( θ ) গ θ 1 /$TPR(\theta)$$FPR(\theta)$$TP$$FN$$FP$$TN$$\theta$$\tilde{\theta}$$\theta$$TPR(\tilde{\theta})$$TPR(\tilde{\theta})$মানগুলি সত্যিকারের ইতিবাচক হারের একটি ঘনত্ব নিজেই শর্তহীনযেহেতু আমরা জন্য একটি বিটা মডেল ধরে , ফলস্বরূপ বিতরণটি হ'ল বিটা বিতরণের একটি মিশ্রণ, আমাদের সংখ্যার equal আকারের সমান সংখ্যক উপাদান এবং মিশ্রণ সহগের সমষ্টি ।$\theta$$TPR(\theta)$$c$$\theta$$1/c$

   এই উদাহরণে, আমি টিপিআরতে নিম্নলিখিত সিডিএফ পেয়েছি। উল্লেখযোগ্যভাবে, বিটা বিতরণের অবক্ষয়ের কারণে যেখানে প্যারামিটারগুলির মধ্যে একটি শূন্য, মিশ্রণের কয়েকটি উপাদান 0 বা 1 এ ডায়ারাক ডেল্টা ফাংশন This এটি 0 এবং 1 এ হঠাৎ স্পাইকগুলির কারণ হয়ে থাকে causes এই "স্পাইক" বোঝায় যে এই ঘনত্বগুলি অবিচ্ছিন্ন বা বিযুক্ত নয়। উভয় প্যারামিটারে ইতিবাচক যা পূর্বের একটি পছন্দ এই হঠাৎ স্পাইকগুলিকে "স্মুথিং" এর প্রভাব ফেলবে (দেখানো হয়নি), তবে ফলিত আরওসি বক্ররেখা পূর্বের দিকে টানা হবে। এফপিআর এর জন্যও এটি করা যেতে পারে (দেখানো হয়নি)। প্রান্তিক ঘনত্ব থেকে নমুনা আঁকাই বিপরীত রূপান্তর নমুনার একটি সহজ প্রয়োগ।

4. আকৃতি-সীমাবদ্ধতার প্রয়োজনীয়তা সমাধানের জন্য, আমাদের কেবল স্বাধীনভাবে টিপিআর এবং এফপিআর বাছাই করতে হবে।

   অ-হ্রাসকারী প্রয়োজনীয়তা টিপিআর এবং এফপিআর থেকে প্রান্তিক নমুনাগুলি স্বাধীনভাবে বাছাই করা প্রয়োজনের সমান - যা আরওসি বক্ররেখাটির আকারটি সম্পূর্ণরূপে প্রয়োজনীয়তার দ্বারা নির্ধারিত হয় যে ক্ষুদ্রতম টিপিআর মানকে ক্ষুদ্রতম এফপিআরের সাথে যুক্ত করা যায় by মান এবং এই জাতীয়, যার অর্থ একটি আকার-সীমাবদ্ধ এলোমেলো নমুনার নির্মাণ এখানে তুচ্ছ। পূর্বে অনুচিত , সিমুলেশনগুলি প্রমাণ দেয় যে এই পদ্ধতিতে একটি আরওসি বক্ররেখা তৈরি করে গড় এওসি সমেত নমুনা তৈরি করে যা সংখ্যার নমুনার সীমাতে মূল এওসিতে রূপান্তর করে। নীচে 2000 সিমুলেশনগুলির একটি কে.ডি.$\text{Beta}(0,0)$

বুটস্ট্র্যাপের সাথে তুলনা

@ অ্যাডমো (ধন্যবাদ, অ্যাডামো!) এর সাথে দীর্ঘ আড্ডার আলোচনায় তিনি উল্লেখ করেছিলেন যে দুটি আরওসি বক্ররেখার তুলনা করার জন্য বা একক আরওসি বক্ররেখার পরিবর্তনশীলতা চিহ্নিত করার জন্য কয়েকটি প্রতিষ্ঠিত পদ্ধতি রয়েছে যার মধ্যে বুটস্ট্র্যাপ রয়েছে। সুতরাং একটি পরীক্ষা হিসাবে, আমি আমার উদাহরণটিকে বুটস্ট্র্যাপ করার চেষ্টা করেছি যা হোল্ডআউট সেটটিতে পর্যবেক্ষণ হিসাবে এবং ফলাফলকে বায়েশিয়ান পদ্ধতির সাথে তুলনা করে। ফলাফলগুলি নীচে তুলনা করা হয়েছে (বুটস্ট্র্যাপ বাস্তবায়ন এখানে সাধারণ বুটস্ট্র্যাপ - এলোমেলোভাবে মূল নমুনার আকারের প্রতিস্থাপনের সাথে নমুনা। বুটস্ট্র্যাপে কার্সারি রিডিং পুনরায় স্যাম্পলিং পদ্ধতিতে আমার জ্ঞানের উল্লেখযোগ্য ফাঁকগুলি উন্মোচিত করে, তাই সম্ভবত এটি একটি নয়) উপযুক্ত পদ্ধতি।)$n=20$

এই প্রদর্শনটি দেখায় যে বুটস্ট্র্যাপের গড়টি মূল নমুনার নীচে পক্ষপাতদুষ্ট, এবং বুটস্ট্র্যাপের কে-ডি-ই ভালভাবে সংজ্ঞায়িত "হাম্পস" ফলন করে। এই কুঁচকির জেনিসিস খুব কমই রহস্যজনক - আরওসি বক্ররেখা প্রতিটি পয়েন্টের অন্তর্ভুক্তির জন্য সংবেদনশীল হবে এবং একটি ছোট নমুনার প্রভাব (এখানে, এন = ২০) হ'ল অন্তর্নিহিত পরিসংখ্যান প্রতিটিটির অন্তর্ভুক্তিতে আরও সংবেদনশীল বিন্দু। (জোর দিয়ে, এই প্যাটার্নিংটি কার্নেল ব্যান্ডউইথের কোনও নিদর্শন নয় - রাগ প্লটটি লক্ষ্য করুন note প্রতিটি স্ট্রাইপ একাধিক বুটস্ট্র্যাপের প্রতিরূপ যা একই মান। বুটস্ট্র্যাপে 2000 টি প্রতিলিপি রয়েছে, তবে স্বতন্ত্র মানগুলির সংখ্যা স্পষ্টতই অনেক কম We উপসংহারে পৌঁছতে পারে যে কুঁচিগুলি বুটস্ট্র্যাপ পদ্ধতির একটি অভ্যন্তরীণ বৈশিষ্ট্য)) বিপরীতে এর অর্থ, বায়েশিয়ান এউসি অনুমানগুলি মূল অনুমানের খুব কাছাকাছি থাকে,

প্রশ্ন

আমার সংশোধিত প্রশ্নটি হল আমার সংশোধিত সমাধানটি ভুল কিনা। একটি উত্তরের উত্তর প্রমাণ করবে (বা অস্বীকার করবে) যে আরওসি বক্ররেখার ফলে প্রাপ্ত নমুনাগুলি পক্ষপাতদুষ্ট, বা একইভাবে এই পদ্ধতির অন্যান্য গুণাবলী প্রমাণ বা অস্বীকার করবে।

Comments

আমি মনে করি আপনি আরওসি বক্ররেখায় খুব বেশি বিশ্বাস রাখছেন। আমি এমন একটি মামলাও দেখিনি যেখানে তারা অন্তর্দৃষ্টি নিয়ে যায়। আমি অনেকগুলি ক্ষেত্রে দেখেছি যেখানে তারা থ্রেশোল্ডিংয়ের দিকে নিয়ে যায় যা সত্যই খারাপ ধারণা।

— ফ্র্যাঙ্ক হ্যারেল

@ ফ্র্যাঙ্কহারেল নোটের জন্য ধন্যবাদ, ডঃ হ্যারেল। তবে আমার ক্লায়েন্টদের জন্য, আমি বিকাশমান ক্লাসিফায়ারদের উপর দায়িত্ব অর্পণ করেছি যা খুব বড় ডেটা সেটগুলিতে স্বায়ত্তশাসিত সিদ্ধান্ত নেবে। আমি প্রশংসা করি যে একটি চিকিত্সা প্রসঙ্গে, এটি অত্যন্ত অনুৎপর উত্পাদনমূলক, তবে প্রতিটি পর্যবেক্ষণের জন্য বিশেষজ্ঞের দ্বারা ইউটিলিটি / ব্যয় বিশ্লেষণ কেবলমাত্র অযৌক্তিক যখন আমাদের কয়েক হাজার ডেটা পয়েন্ট সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নেওয়া দরকার। এই কাজটি সম্পাদন করতে কোন মডেলটি প্রয়োগ করতে হবে সে সম্পর্কে আমাদের পছন্দ করা উচিত এবং আরওসি / এইউসি সেই সিদ্ধান্তে সহায়তা করবে।

— সাইকোরাক্স মনিকাকে

যেহেতু আপনি সম্ভাব্যতার পূর্বাভাস দিয়েছেন আপনি কোনওভাবেই কোনও শ্রেণিবদ্ধ ব্যবহার করছেন না, কমপক্ষে আপনার প্রক্রিয়া শুরুর দিকে। ইউটিলিটিগুলি সিদ্ধান্তগুলি আরও ভালভাবে গ্রহণ করতে পারে তবে আপনি যদি ইউটিলিটিগুলি অর্জন করতে অক্ষম হন তবে আপনি এখনও এই বিষয়ে লিফট বক্ররেখা এবং সিদ্ধান্ত-ঝুঁকি প্রান্তিকের সাহায্যে আরওসি বক্ররেখার চেয়ে আলাদাভাবে ভাবতে পারেন। এটি আসলে কোনও মেডিকেল সমস্যা নয়।

— ফ্র্যাঙ্ক হ্যারেল

প্রদর্শনের জন্য, ধরুন আমাদের কাছে সেই এবং আমরা জানি যে প্রান্তিকভাবে, ইউনিফ (0,1) (যেমন বিটা (1,1))) এটি আপনার সমস্যার অনুরূপ আকারের সীমাবদ্ধতা (কিছুটা পরিবর্তন হয়েছে তবে আপনার সমস্যাটি এইভাবে দেখা যেতে পারে)। নোট করুন যে এটি যৌথ সম্ভাবনাটিকে পুরোপুরি বৈশিষ্ট্যযুক্ত করে না । এবং আমরা দেখতে পাচ্ছি যে আপনার স্যাম্পলিং স্কিমটি সম্পূর্ণ আলাদা বিতরণের দিকে নিয়ে যায় যদি আমরা বা দিয়ে শুরু করি (অর্থাত্ আমরা যেটি দিয়ে শুরু করেছি, গড়ে অন্যটির চেয়ে বড় হবে)। $X_1 + X_2 < 1$$X_1, X_2 \sim$$X_1$$X_2$

— ক্লিফ এবি

আমার কোর্সের নোটগুলি দিয়ে শুরু করুন - biostat.mc.vanderbilt.edu/CourseBios330 দেখুন । এছাড়াও বায়োস্ট্যাট.এমসি.ভেন্ডারবিল্ট.ইডু / ক্লিনস্ট্যাট , বিশেষত ইনফরমেশন লস অধ্যায় এবং অধ্যায় 10 এর সূচনা থেকে পাওয়া বায়োমেডিকাল রিসার্চের জন্য বায়োস্ট্যাটাস্টিকগুলি দেখুন

— ফ্র্যাঙ্ক হ্যারেল

Answer 1

প্রথমত, একটি আরওসি বক্ররেখা "বিশ্লেষণ" করার কোনও গ্রহণযোগ্য উপায় নেই: এটি কেবল একটি গ্রাফিক যা কোনও শ্রেণিবদ্ধকরণ মডেলের ভবিষ্যদ্বাণীপূর্ণ দক্ষতার চিত্র তুলে ধরে। আপনি অবশ্যই একটি সি-পরিসংখ্যাত বা AUC ব্যবহার করে, কিন্তু আস্থা অন্তর গণক এবং ব্যবহার অনুমান করণ একটি আরওসি বক্ররেখা সংক্ষেপ করতে ভাল Wilcoxon ইউ-পরিসংখ্যাত তার সম্পর্ক কারণে বোঝা যায় -statistics।$c$

এটি সাধারণত মোটামুটিভাবে গ্রহণযোগ্য যে আপনি বুটস্ট্র্যাপ সিএফ পেপে ইটজিয়োন ফেং ব্যবহার করে আরওসি বক্ররেখার পরিবর্তনশীলতার অনুমান করতে পারেন । এটি একটি দুর্দান্ত পদ্ধতির কারণ আরওসি বক্ররেখা অনুভূতিক অনুমান এবং বুটস্ট্র্যাপটি নন-প্যারাম্যাট্রিক। এই জাতীয় ফ্যাশনে কোনও কিছুর প্যারামিটারাইজিং অনুমান এবং জটিলতার পরিচয় দেয় যেমন "একটি ফ্ল্যাট আগে সত্যই অ-তথ্যহীন?" আমি এখানে বিশ্বাস করি না here

শেষ অবধি, সিউডো সম্ভাবনার বিষয়টি আছে। আপনি একটি পূর্বে উপর বসিয়ে আরওসি রেখাচিত্র তারতম্য প্রবর্তিত করতে যা আরওসি ব্যবহারের সব, শুধু যা সাধারণত হয় না একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের বিবেচিত। এর পরে আপনি অধিকৃত যে TPR এবং FPR তারতম্য তারতম্য দ্বারা প্রবর্তিত হয় স্বাধীন । তারা না. আসলে তারা সম্পূর্ণ নির্ভরশীল। আপনি কেজি ও পাউন্ডে আপনার নিজের ওজনের জন্য বায়েশিয়ান পশ্চাতটি গণনা করছেন এবং বলছেন যে তারা একে অপরের উপর নির্ভর করে না।$\theta$$\theta$

উদাহরণস্বরূপ, নিখুঁত বৈষম্য সহ একটি মডেল নিন । আপনার পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আপনি দেখতে পাবেন যে আত্মবিশ্বাস ব্যান্ডগুলি ইউনিট স্কোয়ার। তারা না! নিখুঁত বৈষম্য সহ কোনও মডেলের কোনও পরিবর্তনশীলতা নেই। একটি বুটস্ট্র্যাপ আপনাকে এটি দেখাবে।

যদি কেউ বায়েশিয়ার দৃষ্টিকোণ থেকে আরওসি "বিশ্লেষণ" ইস্যুটির কাছে যান, তবে বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহৃত মডেলগুলির জায়গাগুলির উপর অগ্রাধিকার রেখে মডেল নির্বাচনের সমস্যাটি সমাধান করা সম্ভবত সবচেয়ে কার্যকর হবে। এটি একটি খুব আকর্ষণীয় সমস্যা হবে।

Comments

আমি নিশ্চিত নই যে এই উত্তর পোস্টের সামগ্রীতে জবাব দিয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, আমি নিখুঁত বৈষম্য সহ একটি মডেলের জন্য আরওসি বক্ররেখা অনুকরণ করেছি। এই বক্ররেখাগুলি সমস্ত আরওসি স্থানের উত্তর-পশ্চিম কোণে কেন্দ্রীভূত এবং এউসি সিমুলেশনের চারপাশে একটি কেন্দ্রীয় ব্যবধান কিছু সংখ্যার খুব কাছাকাছি। এটি উত্তরের উত্তরগুলির সাথে সরাসরি বিরোধিতা করে যা দাবি করে যে অনুকরণগুলি অবশ্যই মিথ্যা বলে পুরো ইউনিট বর্গাকার জুড়ে।

— সাইকোরাক্স মনিকাকে

$\theta$$\theta$$TPR(\theta)$$FPR(\theta)$

$\theta$

$\theta$$\theta$

@ ইউজার 7777 এর ঠিক আগে কী আছে?

— আদমো