একটি ব্যবধান এবং নমুনার অনুপাতের বিতরণ কী?

Question

যাক গড় সঙ্গে IID সূচকীয় র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি নমুনা হতে , এবং দিন অর্ডার এই নমুনা থেকে পরিসংখ্যান দেখুন। আসুন ।$X_1,\dots,X_n$$\beta$$X_{(1)},\dots,X_{(n)}$$\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$

Spacings নির্ধারণএটা তোলে দেখানো যেতে পারে প্রতিটি এছাড়াও সূচকীয় হয়, সঙ্গে গড় ।ওয়াট আমি বিটা আমি =

$$W_i=X_{(i+1)}-X_{(i)}\ \forall\ 1 \leq i \leq n-1\,.$$ $W_i$$\beta_i=\frac{\beta}{n-i}$

প্রশ্ন: আমি কীভাবে , যেখানে পরিচিত এবং অ-নেতিবাচক?$\mathbb{P}\left( \frac{W_i}{\bar X} > t \right)$$t$

চেষ্টা: আমি জানি যে এটি সমান । সুতরাং আমি সম্পূর্ণ সম্ভাবনার আইনটি এর মতো ব্যবহার করেছি: পি ( ডাব্লু i > টি ˉ এক্স ) = 1 - এফ ডাব্লু আই ( টি ˉ এক্স ) = 1 - ∫ ∞ 0 এফ ডাব্লু আই ( টি গুলি ) f ˉ এক্স ( গুলি ) ডি$1 - F_{W_i}\left(t \bar X\right)$

$$\mathbb{P}\left( W_i > t \bar X \right) = 1 - F_{W_i}\left( t \bar X \right) = 1 - \int_0^\infty F_{W_i}(ts)f_{\bar X}(s) \mathrm{d}s \,,$$

যা অগোছালোতে পরিণত হয় তবে আমি মনে করি ট্র্যাকটেবল অবিচ্ছেদ্য।

আমি কি এখানে সঠিক পথে আছি? এটি কি মোট সম্ভাবনার আইনের বৈধ ব্যবহার?

আর একটি পদ্ধতির পার্থক্য বিতরণ সন্ধান করা হতে পারে:

$$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0\right)$$

অথবা এমনকি বিচ্ছিন্ন করে:

$$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0 \right) = P \left( \left(X_{(i+1)} - X_{(i)}\right) + \frac{t}{n}\left(X_{(1)} + \dots + X_{(n)} \right) \right)$$

ক্ষতিকারক মামলার সমাধান দুর্দান্ত হবে তবে বিতরণে একরকম সাধারণ বাধাও আরও ভাল better বা খুব কমপক্ষে, এর মুহুর্তগুলি, যা আমাকে চেবিশেভ এবং মার্কভের বৈষম্য দেওয়ার পক্ষে যথেষ্ট হবে।

---

আপডেট: এখানে প্রথম পদ্ধতি থেকে অবিচ্ছেদ্য:

$$\begin{align} 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{ts}{\beta_i} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \\ 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{(n-i)ts}{\beta} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \end{align}$$

আমি এটির সাথে কিছুক্ষণ খেলছিলাম এবং এটি নিয়ে কোথায় যেতে হবে তা আমি নিশ্চিত নই।

Comments

প্যারেন্টেসিসের শর্তাদি বিতরণ করার পরে আপনি যে ইন্টিগ্রালটি পেয়েছেন তা অপেক্ষাকৃত সরল দেখায়। ভেরিয়েবল পরিবর্তনের পরে দেখে মনে হচ্ছে আপনি কিছু গামা ফাংশন পাবেন।

— অ্যালেক্স আর।

@ অ্যালেক্সআর আসলে তা করে তবে অর্ধেক পথ পেরিয়ে যাওয়ার পরে আমি সন্দেহ করতে শুরু করেছিলাম যে এটি 0 এবং 1 এর মধ্যে আবদ্ধ হবে না। আমি আরও নিশ্চিতকরণ খুঁজছি যে আমি সমস্যাটি সঠিকভাবে সেট আপ করেছি। আমি যদি অবিচ্ছেদ্য নিজেই আটকে থাকি তবে আমি গণিতের জন্য জিজ্ঞাসা করব SEএসএ

— শ্যাডটলকার

Answer 1

আপনার এখানে অসুবিধাটি হ'ল আপনার অ-স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্পর্কিত একটি ইভেন্ট রয়েছে। ইভেন্টটি হস্তক্ষেপের মাধ্যমে সমস্যাটি সরল ও সমাধান করা যায় যাতে এটি স্বাধীন বর্ধনের সাথে তুলনা করে। এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে নোট করব যে এর জন্য প্রতিটি অর্ডার পরিসংখ্যান এইভাবে লেখা যেতে পারে:$X_1, ..., X_N \sim \text{IID Exp}(\beta)$

$$X_{(k)} = \beta \sum_{i=1}^{k} \frac{Z_i}{n-i+1},$$

যেখানে (উদাহরণস্বরূপ, রেনিই 1953, ডেভিড এবং নাগরাজ 2003)। এটি আমাদের লিখতে দেয় এবং আমরা নমুনাটি এইভাবে লিখতে পারি:$Z_1, Z_2, ..., Z_n \sim \text{IID Exp} (1)$$W_k = \beta Z_{k+1} / (n-k)$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \bar{X} \equiv \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n X_{(k)} &= \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^k \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n \sum_{k=i}^n \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n Z_i. \end{aligned} \end{equation}$$

আমাদের বিশ্লেষণ সুবিধার্থে আমরা পরিমাণটি সংজ্ঞায়িত করি:

$$a \equiv \frac{t(n-k)}{n-t(n-k)}.$$

জন্য আমরা কি তবে আছে:$a > 0$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \mathbb{P} \left( \frac{Z_{k+1}}{n-k} \geqslant \frac{t}{n} \sum_{i=1}^n Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \frac{n}{n-k} \cdot Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i = 1}^k Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i \neq k} Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z \geqslant t G \right) = \mathbb{P} \left( Z \geqslant a G \right), \end{aligned} \end{equation}$$

যেখানে এবং স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল। তুচ্ছ মামলার ক্ষেত্রে যেখানে আমাদের কাছে । তুচ্ছ-মামুলির ক্ষেত্রে যেখানে আমাদের এবং আগ্রহের সম্ভাবনা হ'ল:$Z \sim \text{Exp} (1)$$G \sim \text{Ga}(n-1, 1)$$t \geqslant n / (n-k)$$\mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) = 0$$t < n / (n-k)$$a>0$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \int\limits_0^\infty \text{Ga} (g| n-1, 1 ) \int\limits_{ag}^\infty \text{Exp}(z|1) dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \int\limits_{ag}^\infty \exp{(-z)} dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \left( 1 - \exp (ag) \right) dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} dg - \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-(a+1)g)} dg \\ &= 1 - (a+1)^{-(n-1)} \\ &= 1 - \left( 1- \frac{n-k}{n} \cdot t \right)^{n-1}. \end{aligned} \end{equation}$$

এই উত্তরটি স্বজ্ঞাতভাবে যুক্তিসঙ্গত। এই সম্ভাবনা কঠোরভাবে মধ্যে কমছে , ইউনিট সম্ভাব্যতা যখন এবং শূন্য সম্ভাব্যতা যখন ।$t$$t=0$$t = \frac{n}{n-k}$