র্যান্ডম ওভারল্যাপিং অন্তর

Question

নিম্নলিখিত সমস্যাটিতে আমি কীভাবে একটি বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি খুঁজে পেতে পারি?$D(n,l,L)$

আমি এলোমেলোভাবে একটি অন্তর এর দৈর্ঘ্যের " " বারগুলি ফেলে রাখি । "বার" ওভারল্যাপ করতে পারে। কমপক্ষে একটি "বার" দ্বারা দখল করা অন্তরালের গড় দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে চাই ।$n$$l$$[0,L]$$D$$[0,L]$

"কম ঘনত্ব" সীমাতে, ওভারল্যাপটি তুচ্ছ এবং । "উচ্চ-ঘনত্ব" সীমাতে, নিকটবর্তী হন । তবে আমি কীভাবে জন্য সাধারণ প্রকাশ পেতে পারি ? এটি বেশ মৌলিক পরিসংখ্যানগত সমস্যা হওয়া উচিত, তবে আমি ফোরামে কোনও ব্যাখ্যামূলক সমাধান খুঁজে পাইনি।$D = n\cdot l$$D$$L$$D$

কোন সাহায্যের ব্যাপকভাবে প্রশংসা হবে।

নোট করুন যে বারগুলি একে অপরের সত্যিকারের এলোমেলো (পরিসংখ্যানগতভাবে স্বাধীন) বাদ পড়েছে।

Comments

এটি কোনও কোর্স বা পাঠ্যপুস্তক থেকে একটি প্রশ্ন? যদি তা হয় তবে দয়া করে [self-study]ট্যাগটি যুক্ত করুন এবং এর উইকিটি পড়ুন ।

— গুং - মনিকা পুনরায়

না এইটা না. স্যাম্পলিং করে আপনি কম্পিউটারের সাথে সহজেই অর্পিত দৈর্ঘ্যের গণনা করতে পারেন, তবে সমস্যাটি মৌলিক বলে মনে হচ্ছে যে এটির সমাধানের জন্য কোনও তাত্ত্বিক পদ্ধতির অবশ্যই থাকতে হবে। যেহেতু আমার সমস্ত প্রচেষ্টা ব্যর্থ হয়েছে, আমি কীভাবে এটি করব তা সম্পর্কে আগ্রহী।

— ড্যানিয়েল

[০, এল] এর দিকে কীভাবে বারগুলি "ড্রপ" করা হয় তার জন্য আপনার মডেলটি কী? তাদের পক্ষে কি প্রান্তগুলি আটকে রাখা সম্ভব? সম্পাদনা করুন: আপনার অঙ্কন এবং উত্তর এটির পরামর্শ দেয়।

— এড্রিয়ান

সম্ভাব্যতা যে প্রদত্ত আচ্ছাদিত নয় - যা একটি ছেদ আইড ইভেন্ট। তারপরে একটি অনাবৃত অংশের প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্য কেবলমাত্র । $p(x)dx$$dx$$n$$\int_0^L p(x)dx$

— এএস

Answer 1

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

একক ড্রপ বার দ্বারা দখল করা বিন্দু হওয়ার সম্ভাবনা$[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$ ।

অনুরূপভাবে, খালি থাকার সম্ভাবনা হ'ল । ফেলে দেওয়া পরে প্রদত্ত পয়েন্টটি এখনও খালি থাকার সম্ভাবনা হ'ল , এবং এটি দখল করা হবে$P_{e} = 1 - P_o$$n$$P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

বৃহত্তর জন্য ।$n$

তারপরে, র্যান্ডম "বার ড্রপস" হওয়ার পরে এর গড় দখল দৈর্ঘ্য$[x_0,x_0 + L]$$n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$ ।

Comments

আপনি সঠিক পথে রয়েছেন তবে কিছু লক্ষণ রয়েছে যেগুলি আরও যত্নের প্রয়োজন হতে পারে। সম্ভবত সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উদ্বেগ এই যে যে কোনও দুটি পয়েন্টের সাথে জড়িত ঘটনাগুলি স্বাধীন নয়: তবে, সম্ভাব্যতাগুলি কী পরিমাণে বাড়িয়ে দেওয়া উচিত? আমি জন্য আপনার অভিব্যক্তিটি ভুল বলেও বিশ্বাস করি । উদাহরণস্বরূপ, কেস বিবেচনা করুন । আপনার অঙ্কন থেকে এটি প্রদর্শিত হচ্ছে আপনি ধরে নিচ্ছেন যে বারের বাম প্রান্তটি বিরতিতে অভিন্ন বন্টন রয়েছে । ফলস্বরূপ টি কভার করা সুযোগটি , যা সমান নয় । $P_0$$l=L=1$$[-l, L]=[-1,1]$$0$$1/2$$l/L=1$

— শুক্র

ইঙ্গিতগুলির জন্য ধন্যবাদ। আপনি ঠিক বলেছেন, আমার লেখা উচিত ছিল যে এলোমেলো "অঙ্কন" এর মধ্যে শূন্য সম্পর্ক রয়েছে বলে মনে করা হচ্ছে। এবং আপনি ঠিক বলেছেন, উপরের সমাধানটি কেবল তখনই কার্যকর যখন বারগুলি আটকে থাকার অনুমতি না দেওয়া হয়। আমরা যখন তাদের আটকে রাখার অনুমতি দিই তখন কীভাবে সমস্যার সমাধান হতে পারে?

— ড্যানিয়েল

আমার বক্তব্যটি বারগুলি এলোমেলোভাবে এবং স্বতন্ত্রভাবে বাদ দেওয়া হলেও , কোনও প্রদত্ত ইভেন্টগুলিতে "এই বারটি পয়েন্ট " এবং "এই একই বারটি পয়েন্ট কভার করে " দৃ strongly়ভাবে পরস্পরের উপর নির্ভরশীল। বিশেষত, যদি , তারা একসাথে ঘটতে পারে না। এটি কঠোরভাবে পরিচালনা করার একটি উপায় সম্ভাবনাগুলি প্রত্যাশার সাথে সম্পর্কিত। $x,y\in [0,L]$$x$$y$$|x-y|\gt l$

— হোয়বার

আমি এখন সীমানা প্রভাব বিবেচনা। আমি আপনার বক্তব্যটি পেয়েছি যে বিরতিতে দুটি পৃথক পয়েন্টের দখলটি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত, তবে আমি দেখতে পাচ্ছি না কীভাবে এটি সমাধানটিকে প্রভাবিত করবে।

— ড্যানিয়েল