প্রমাণ করুন যে একটি নির্দিষ্ট কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স সহ সর্বাধিক এনট্রপি বিতরণ কোনও গাউসিয়ান

13

আমি নিম্নলিখিত প্রমাণকে ঘিরে আমার মাথা নেওয়ার চেষ্টা করছি যে গাউসের সর্বোচ্চ এনট্রপি রয়েছে।

তারকাযুক্ত পদক্ষেপটি কীভাবে বোঝায়? একটি নির্দিষ্ট কোভেরিয়েন্স কেবল দ্বিতীয় মুহূর্তটি ঠিক করে। তৃতীয়, চতুর্থ, পঞ্চম মুহূর্ত ইত্যাদির কী ঘটে?

entropy information-theory maximum-entropy

— Tarrare
সূত্র

13

$p$ $q$ $\log(p)$ $\mathbf{x}$ $0$ $2$

শূন্যের গড় সহ বহুবিধ সাধারণ বিতরণ সম্পর্কে আপনার কেবল দুটি জিনিস জানতে হবে:

$\log(p)$ $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ $C$ $p_{ij}$
$\log (p (x)) = C + \sum_{i, j = 1}^{n} p_{i j} x_{i} x_{j} .$ $\log(p(\mathbf{x}))=C + \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\, x_i x_j.$
$C$ $p_{ij}$ $\Sigma$
$\Sigma$
$Σ_{i j} = E_{p} (x_{i} x_{j}) = \int p (x) x_{i} x_{j} d x .$ $\Sigma_{ij}=E_p(x_i x_j) = \int p(\mathbf{x})\, x_ix_j\, d\mathbf{x}.$

অবিচ্ছেদ্য কাজ করার জন্য আমরা এই তথ্যটি ব্যবহার করতে পারি:

\begin{aligned} \int (q (x) - p (x)) \log (p (x)) d x \\ = & \int (q (x) - p (x)) (C + \sum_{i, j = 1}^{n} p_{i j} x_{i} x_{j}) d x . \end{aligned}

$\eqalign{ & &\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x} \\ &= &\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))\left(C + \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\, x_i x_j\right)d\mathbf{x}. }$

এটি দুটি অংশের যোগফলকে বিভক্ত করে:

$\int(q(x) - p(x))C\, d\mathbf{x} = C\left(\int q(\mathbf{x}) d\mathbf{x} - \int p(\mathbf{x}) d\mathbf{x}\right) = C(1 - 1) = 0$ $q$ $p$
$\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x})) \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\, x_i x_jd\mathbf{x} = \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))x_i x_jd\mathbf{x} = 0$ $\int q(\mathbf{x}) x_i x_jd\mathbf{x}$ $\int p(\mathbf{x}) x_i x_jd\mathbf{x}$ $\Sigma_{ij}$

$\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x}=0$ $\int q(\mathbf{x})\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x} = \int p(\mathbf{x})\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x}.$

— whuber
সূত্র

1

$q(x)$ $p(x)$ $\sigma_{ij}x_ix_j$ $p(x)$ $p(x)$ $q(x)$

— এফ টিসেল
সূত্র