পদগুলির মধ্যে কতটি অর্ধেক মোট যোগ করুন?

বিবেচনা করুন যেখানে আইআইডি এবং সিএলটি হোল্ড করে। মোট বড় অঙ্কের অর্ধেক যোগ করে সবচেয়ে বড় পদগুলি কতটি? উদাহরণস্বরূপ, 10 + 9 + 8 (10 + 9 + 8 + 1) / 2: পদগুলির 30% মোটের প্রায় অর্ধেক পৌঁছে যায়। $\sum_{i=1}^N |X_i|$ $X_1, \ldots, X_N$

$\approx$ $\dots$

নির্ধারণ করুন
$\qquad\text{sumbiggest( j}; X_1 \dots X_N ) \equiv \text{sum of the j biggest of } |X_1| \dots |X_N|$
$\qquad\text{halfsum}( N ) \equiv \text{the smallest j such that sumbiggest( j )} \approx \text{sumbiggest}( N ) / 2 .$

হাফসামের ( otic ) কোনও সাধারণ অ্যাসিম্পোটিক ফলাফল রয়েছে কি ? একটি সাধারণ, স্বজ্ঞাত ডেরাইভেশন চমৎকার হবে। $N, \mu, \sigma$

(একটি ছোট্ট মন্টি কার্লো পরামর্শ দেয় যে কখনও কখনও অর্ধসাম ( ) / 4 বা আরও কিছু হয়; এটিই, এর বৃহত্তম 1/4 অংশ মোট 1/2 যোগ করে I আমি অর্ধবৃত্তের জন্য 0.24 পেয়েছি, 0.19 জন্য সূচকীয়, = 20, 50, 100 এর জন্য) $N$ $\approx N$
$X_i$
$N$ $N$ $N$

central-limit-theorem asymptotics

— ডেনিস
সূত্র

সিএলটি-এর মতো সার্বজনীন ফলাফল আশা করবেন না। উদাহরণস্বরূপ, ইউনিফর্মের (0,1) পরিবর্তনের উত্তর ইউনিফর্মের (1000,1001) পরিবর্তনের উত্তর থেকে খুব আলাদা হবে !

— whuber

ডান, হাফসাম অবশ্যই গড় এবং এসডির উপর নির্ভর করবে। তবে घाताon়ের জন্য? N / 5 কেন?

— অস্বীকার

অ্যাসিপটোটিক্যালি, ডেনিস, হাফসামের কাটফটটি মান হবে যার জন্য যেখানে পিডিএফ ; প্রশ্নটি জন্য জিজ্ঞাসা করে ( হল জন্য সিডিএফ )। ইউনিফর্মের বিতরণের ক্ষেত্রে আপনি @ দিলীপের উত্তর পাবেন; সূচক হিসাবে, ।

x

$x$

\int_{0}^{x} t f (t) d t = 1 / 2

$\int_0^x t f(t)dt = 1/2$

f

$f$

| X_{i} |

$|X_i|$

N (1 - F (x))

$N(1-F(x))$

F

$F$

| X_{i} |

$|X_i|$

[0, 1]

$[0,1]$

x \approx 0.186682 N \approx N / 5

$x\approx 0.186682 N \approx N/5$

— শুক্র

উত্তর:

না, কোনও সাধারণ অ্যাসিম্পোটিক ফলাফল নেই। যাক আদেশ করা , যেখানে বৃহত্তম। $x_{[1]} \dots x_{[N]}$ $x_i$ $x_{[1]}$

নিম্নলিখিত দুটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:

1) । স্পষ্টতই সিএলটি হোল্ড করে। আপনার কেবলমাত্র জন্য পর্যবেক্ষণ দরকার । $P(x=0) = 1$ $M=1$ $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

2) । স্পষ্টতই সিএলটি হোল্ড করে। আপনি প্রয়োজন পর্যবেক্ষণের জন্য। $P(x=1) = 1$ $M=\lceil N/2\rceil$ $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

অনর্থক উদাহরণের জন্য, বের্নোল্লি বিতরণ:

3) । আবারও সিএলটি ধরে। আপনার শর্ত পূরণের জন্য আপনার পর্যবেক্ষণগুলির প্রয়োজন আছে । ০ থেকে ১ এর মধ্যে পৃথক করে আপনি নিজের পছন্দ অনুযায়ী উদাহরণ 1 বা উদাহরণ 2 এর কাছাকাছি পেতে পারেন। $P(x=1) = p,\space P(x=0) = 1-p$ $\lceil pN/2\rceil$ $p$

— jbowman
সূত্র

এটি প্রকৃতপক্ষে স্পষ্ট যে উত্তর এবং মধ্যে যে কোনও জায়গায় হতে পারে , তবে এটি কোনও সাধারণ ফলাফলের অস্তিত্বকে বোঝায় না। এটি কী বোঝায় তা হ'ল আমাদের উত্তরগুলি বিবেচনা করা উচিত যেখানে ভগ্নাংশটি তার গড় এবং এসডি এর মতো অন্তর্নিহিত বিতরণের কিছু বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে। কীভাবে তাদের যোগফলের তুলনায় বিতরণ করা হয় সে সম্পর্কে সুনির্দিষ্ট এবং পরিমাণগত তথ্য সরবরাহের জন্য, সিএলটি সহ এগুলি যথেষ্ট, সুতরাং এ জাতীয় ফলাফলের আশা করা যুক্তিসঙ্গত।

0

$0$

N / 2

$N/2$

x [i]

$x[i]$

— whuber

অভিন্ন বিতরণ এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য এখানে একটি অপরিশোধিত যুক্তি কিছুটা আলাদা অনুমান দেয়। ধরুন অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়েছে । তারপরে, এর অর্থ মান । ধরে নিন যে একটি আশ্চর্যজনক এবং সম্পূর্ণ অবিশ্বাস্য কাকতালীর দ্বারা, যোগফলটি ঠিক সমান । সুতরাং আমরা অনুমান করতে চাই যে এর বৃহত্তম বৃহত্তম মানগুলির মধ্যে কতগুলি বা আরও বেশি পরিমাণে যোগ করতে পারে । এখন, ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে আঁকা নমুনার ( খুব বড়) এর হিস্টোগ্রাম থেকে পর্যন্ত মোটামুটি সমতল $X_i$ $[0,1]$ $\sum_i X_i$ $N/2$ $N/2$ $X$ $N/4$ $N$ $N$ $U[0,1]$ $0$ $1$ , এবং তাই কোনও , , নমুনাগুলি প্রায় থেকে মধ্যে সমানভাবে বিতরণ করা হয় । এই নমুনাগুলির গড় মান এবং সমান পরিমাণ । সমষ্টি ছাড়িয়ে গেছে জন্য । সুতরাং, বৃহত্তম নমুনার ছাড়িয়ে গেছে । $x$ $0 < x < 1$ $(1-x)N$ $x$ $1$ $(1+x)/2$ $(1-x)N(1+x)/2) = (1-x^2)N/2$ $N/4$ $x \leq 1/\sqrt{2}$ $(1-1/\sqrt{2})N \approx 0.3N$ $N/4$

আপনি এটি চেষ্টা করে কিছুটা সাধারণ করতে পারেন। যদি , তবে যে কোনও জন্য আমরা মতো হতে চাই যেখানে পরিমাণ এবং বৈকল্পিক সহ স্বাভাবিক । সুতরাং, একটি মূল্যের ওপর নিয়ন্ত্রিত , । এর ঘনত্ব দ্বারা গুণ করুন এবং এলোমেলো পরিমাণের অর্ধেক ছাড়িয়ে যাবে এমন বৃহত্তম স্যাম্পলগুলির গড় সংখ্যার সন্ধান করতে ( থেকে ) একীভূত করুন। $\sum_i X_i = Y$ $Y$ $x$ $(1-x^2)N/2 = Y/2$ $Y$ $N/2$ $N/12$ $Y$ $x = \sqrt{1-(Y/N)}$ $Y$ $Y=0$ $Y=N$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

ব্যবধানে সীমাবদ্ধ দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব তাত্ক্ষণিকভাবে বিতরণ করা যায় না কারণ দূরত্বটি চেয়ে কম হওয়া উচিত যখন একটি ঘনিষ্ঠ র্যান্ডম পরিবর্তনশীল মান গ্রহণ করে । কি সত্য নয় যে যদি স্বাধীন সূচকীয় র্যান্ডম ভেরিয়েবল, তারপর হয় নিয়ন্ত্রিত উপর , অর্ডার পরিসংখ্যান সমানভাবে বিতরণ করা হয় । উদাহরণস্বরূপ দেখুন, এই প্রশ্ন ও উত্তর সহচর সাইটে math.SE. উপর (অবিরত)

(0, 1)

$(0,1)$

1

$1$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n + 1}

$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n+1}$

Y_{max} = α

$Y_{\max} = \alpha$

Y_{(1)}, Y_{(2)}, \dots, Y_{(n)}

$Y_{(1)}, Y_{(2)}, \ldots, Y_{(n)}$

(0, α)

$(0, \alpha)$

— দিলীপ সরোতে

যাই হোক না কেন, আমার যুক্তি অভিন্ন বিতরণ থেকে অর্ডার করা নমুনাগুলির মধ্যে দূরত্ব ব্যবহার করে না ।

— দিলীপ সরোতে

আপনি ঠিক বলেছেন, আমি আপনাকে ভুল বুঝেছি। পার্শ্ব প্রশ্ন হিসাবে, স্কেলিংয়ের পরে অভিন্ন-এলোমেলো পয়েন্টগুলির মধ্যে টুকরাগুলি তাত্ক্ষণিকভাবে বিতরণ করা হয় না - আপনার Q + a এর রূপান্তর? [ভাঙা উল্ফর্যাম মিছিল প্রজেক্ট থেকে স্টিক রুল] ( demonstrations.wolfram.com/BrokenStickRule ) নিশ্চিত সৌন্দর্য সূচকীয়, একটি সহজ হতে হবে? প্রমাণ।

— ডেনিস

আপনার পাশের প্রশ্নটি একটি পৃথক প্রশ্ন হিসাবে জিজ্ঞাসা করুন।

— দিলীপ সরোতে

শুরু হয়েছে, তারপরে সম্ভাবনা-বিতরণ-অব खंड-দৈর্ঘ্যের দেখেছি , আপনি সেখানে মন্তব্য করতে পারেন।

— অস্বীকার

ধরা যাক এক্সের পরম মান থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য কেবল ইতিবাচক মান রয়েছে।

সঠিক প্রমাণ ছাড়াই, আমি মনে করি আপনাকে কে এর জন্য সমাধান করতে হবে

$(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)= \frac{1}{2} E(X)$ সাথে এক্স এর জন্য জোগান বিতরণ ফাংশন রয়েছে

এবং তারপরে উত্তরটি সর্বাধিক মান গ্রহণ করে দেওয়া হবে। $n(1-F_X(k))$

আমার যুক্তিটি হ'ল অসম্পূর্ণভাবে কে এর চেয়ে উচ্চ মানের সমস্ত মানের যোগফল হওয়া উচিত

$n(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)$

এবং অসমভাবে মোট যোগফল প্রায় অর্ধেক

$\frac{1}{2}nE(X)$ ।

সংখ্যাসূচক সিমুলেশন দেখায় যে ফলাফলটি ইউনিফর্মের ক্ষেত্রে ( অভিন্ন ) যেখানে এবং আমি পাই । ফলাফলটি সর্বদা রাখা বা এটি আরও সরল করা যায় কিনা তা আমি নিশ্চিত নই, তবে আমি মনে করি এটি সত্যিই বিতরণ ফাংশন এফ এর উপর নির্ভর করে। $[0,1]$ $F(k)=k$ $k=\sqrt(\frac{1}{2})$

— এরিক
সূত্র