কেন রাও-ব্ল্যাকওয়েল উপপাদ্য প্রয়োজন নেই

রাও-ব্ল্যাকওয়েল উপপাদ্যটি জানিয়েছে

যাক একজন মূল্নির্ধারক হতে সঙ্গে সবার জন্য । ধরুন যে জন্য যথেষ্ট , এবং দিন সবার জন্য তারপর , বৈষম্য যদি না কঠোর $\hat{\theta}$ $\theta$ $\Bbb E (\hat{\theta}^2) < \infty$ $\theta$ $T$ $\theta$ $\theta ^ * = \Bbb E (\hat{\theta}|T)$ $\theta$
$E (θ^{*} - θ)^{2} \leq E (\hat{θ} - θ)^{2}$ $\Bbb E (\theta^* - \theta )^2 \leq \Bbb E (\hat{\theta} - \theta )^2$ $\hat{\theta}$ একটি ফাংশন $T$

$T$ $\theta$ $\hat{\theta}$ $T$ $\min_{\hat{\theta}} \Bbb E$ $(\hat{\theta}-\theta)^2$

আমার কুইসিটনস

আমি কি সংশোধন করছি যে ন্যূনতম ? $\theta^*$ $\Bbb E$ $(\hat{\theta}-\theta)^2$
কেন রাও-ব্ল্যাকওয়েল উপপাদকটির জন্য ? $\Bbb E(\hat{\theta}^2) < \infty$
কার্যকারিতা না থাকলে বৈষম্য কেন কঠোর ? $\hat{\theta}$ $T$

rao-blackwell

— স্ট্যান শুনপিকে
সূত্র

রাও-ব্ল্যাকওয়েল উপপাদ্যের জন্য স্বজ্ঞাত এবং সূত্রীয় জাস্টিফিকেশনের

— শি'ান

কী খুঁজে প্রয়োজন বোধ করা হয় ?

min_{\hat{θ}} E

$\min_{\hat{\theta}} \Bbb E$

(\hat{θ} - θ)^{2}

$(\hat{\theta}-\theta)^2$

— স্টান শানপাইক

উত্তর:

না, থিতার চেয়ে ভাল অনুমানক তবে অগত্যা সর্বোত্তম নয় (যার অর্থ যাই হোক না কেন!) $\theta^*$ $\hat\theta$
যদি অনুমানকারীটির কোনও বৈকল্পিকতা না থাকে তবে তার ঝুঁকি অসীম এবং guarantee এর সীমাবদ্ধ ঝুঁকি রয়েছে (যদিও এটি তার মন্তব্যে হোর্স্ট গ্রানবুশ দ্বারা নির্দেশিত হিসাবে ঘটতে পারে ) এর কোনও গ্যারান্টি নেই । $\theta^*$
জন্য সসীম ভ্যারিয়েন্স অধীনে , বৈষম্য কারণে কঠোর ভ্যারিয়েন্স পচানি প্রত্যাশিত শর্তসাপেক্ষ ভ্যারিয়েন্স এর সমষ্টি প্লাস শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ভ্যারিয়েন্স যেমন প্রত্যাশিত শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পিকতা শূন্য না হলে, যা কেবলমাত্র একটি ফাংশন amounts হিসাবে । $\hat\theta$ $var (\hat{θ}) = E_{T} [var (\hat{θ} | T)] + {var}_{T} (E [\hat{θ} | T]) = E_{T} [var (θ | T)] + {var}_{T} (θ^{*})$ $\text{var}(\hat\theta)=\mathbb{E}_T[\text{var}(\hat\theta|T)]+ \text{var}_T(\mathbb{E}[\hat\theta|T])=\mathbb{E}_T[\text{var}(\theta|T)]+\text{var}_T(\theta^*)$ $\hat\theta$ $T$

— সিয়ান
সূত্র

বিজ্ঞাপন 2: কেন অসম্ভব ? বিবেচনা করুন জন্য মূল্নির্ধারক যেমন , যেখানে , এবং একটি সম্পর্কহীন কোশি-বিতরণ আরভি।

E ({\hat{θ}}^{2} | T) < E ({\hat{θ}}^{2}) = \infty

$E(\hat{\theta}^2|T)<E(\hat{\theta}^2)=\infty$

\hat{θ} = X + C

$\hat{\theta} = X + C$

μ

$\mu$

X \sim N (μ, σ^{2})

$X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

C

$C$

— হোর্স্ট গ্রানবুশ

@ হোর্স্টগ্রনবুশ আপনি যখন তে শর্ত রাখছেন তখন কেন কাচির টুকরোটি চলে যাবে ? এছাড়াও থিতা an কোনও পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানকারী নয়।

T

$T$

\hat{θ}

$\hat{\theta}$

— dsaxton

@ HorstGrünbusch এটা আমার মনে হচ্ছে যে আপনার এমনকি একটি শর্তাধীন প্রত্যাশা নেই (যেহেতু একটি প্রত্যাশা নেই), এইভাবে undefined করা হবে।

\hat{θ}

$\hat{\theta}$

∣ T

$\mid T$

C

$C$

θ^{*}

$\theta^\ast$

— জুহো কোক্কালা

ঠিক আছে, আমি চেয়েছিলেন ভ্যারিয়েন্স ছাড়াই প্রত্যাশা ছাড়াই না। ;) এখন টি 2 , অর্থাৎ স্টুডেন্ট-টি-বিতরণ করুন 2 ডিগ্রি স্বাধীনতা এবং এবং পৃথক । পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান পরিষ্কারভাবে । তারপরে , তবে

C

$C$

C \sim t_{2}

$C \sim t_2$

E (C) = 0

$E(C)=0$

C

$C$

X

$X$

X

$X$

E (X + C | X) = E (X | X) + E (C | X) = X + E (C) = X

$E(X+C|X) = E(X|X) + E(C|X) = X + E(C) = X$

\infty = V a r (C) + V a r (X) = V a r (X + C) > V a r (X + C | X) = σ^{2}

$\infty=Var(C) + Var(X) = Var(X+C)>Var(X+C|X)=\sigma^2$

— হোর্স্ট গ্রানবুশ

সুতরাং আমি মনে করি যে এটি ভুল যে কোনও রাও-ব্ল্যাকওয়েল অনুমানকারীটির মূল অনুমানকারীটির অসীম বৈকল্পিকতা থাকলে অগত্যা অসীম বৈকল্পিকতা থাকে। (তবুও যদি উভয়

\infty \leq \infty

$\infty \leq \infty$

— রূপ

মনে রাখবেন যে পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান হওয়া অনন্য নয়। তুচ্ছভাবে, পুরো ডেটা যথেষ্ট, তবে তাদের উপর একটি অনুমানকারী কন্ডিশনিং কিছুই পরিবর্তন করে না। সুতরাং ন্যূনতম গড় স্কোয়ার ত্রুটি থাকার জন্য যথেষ্ট পরিসংখ্যানই যথেষ্ট নয় (পাং!)। পর্যাপ্ত পর্যাপ্ততার জন্য (প্রকৃতপক্ষে যথেষ্ট এবং সম্পূর্ণরূপে) প্রমাণ হিসাবে রাও-ব্ল্যাকওয়েল-উপপাদ্যটি ব্যবহার করে লেহমান-শেফি-উপপাদ্যটি দেখুন।
উভয়ই যদি অসীম হয় তবে দুর্বল বৈষম্য সর্বদা সত্য। তবে তারপরে, একটি কাউন্টারে নমুনা হিসাবে, আপনি পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান তৈরি করতে পারেন যা কোনও ফাংশন নয় তবে এখনও অসীম বৈকল্পিকতা রয়েছে (যেমন কেবল ধারণ করে)। $T$ $\leq$

উদাহরণস্বরূপ , একটি স্থানান্তরিত 3- বিতরণযোগ্য র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং এবং অন্য একটি স্বতন্ত্র এলোমেলো পরিবর্তনশীল । অনুমান করার জন্য প্যারামিটারটি হ'ল । আসল অনুমানক হ'ল । পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান অবশ্যই । রাও-ব্ল্যাকওয়েল অনুমানক এবং Both উভয়েরই অসীম বৈচিত্র রয়েছে। সুতরাং অসমতা দুর্বলভাবে রাখা হবে। অন্যদিকে, একটি নিছক ফাংশন নয় $C_1 \sim t_2 + \mu$ $t_2$ $E(C_1) = \mu$ $Var(C_1) = \infty$ $C_2 \sim t_2$ $\mu$ $\hat{\theta} = C_1 + C_2$ $C_1$ $E(\hat{\theta}|C_1)=C_1$ $\hat{\theta}$ $C_1+C_2$ $C_1$ : এটিতে অন্যান্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল জড়িত তাই এটি আপনার শেষ তৃতীয় প্রশ্নটির সাথে দ্বিধা দ্বন্দ্ব হতে পারে your প্রকৃতপক্ষে, কিছু পাঠ্যপুস্তক মূল অনুমানকারকের জন্য অসীম বৈকল্পিকতা স্বীকার করে, তবে পরিবর্তে হোল্ড করে যখন তারা জানাতে পারে না । $<$

তাহলে একটি ফাংশন , আপনি গুণকনির্ণয় উপপাদ্য যে প্রমাণ করতে পারেন ইতিমধ্যে জন্য যথেষ্ট । সুতরাং আবার আমরা কিছুই উন্নতি করে শেষ। এই ক্ষেত্রেটি ব্যতীত, বৈষম্য কঠোর এবং এটি উপপাদকের অ-তুচ্ছ বক্তব্য। $\hat{\theta}$ $T$ $\hat{\theta}$ $\theta$

— হর্স্ট গ্রানবুশ
সূত্র