একটি ভেরিয়েবলের মধ্যে বৈকল্পিক এবং জোড়াওয়ালা দূরত্বগুলির মধ্যে লিঙ্ক

দয়া করে, প্রমাণ যে যদি আমরা দুটি ভেরিয়েবল (সমান নমুনা আকারের) আছে এবং এবং ভ্যারিয়েন্স মধ্যে তুলনায় বেশী , তারপর স্কোয়ারড পার্থক্যের সমষ্টি মধ্যে ডাটা পয়েন্টের মধ্যে (অর্থাত, ইউক্লিডিয় দুরুত্ব ছক) এছাড়াও চেয়ে বেশী যে মধ্যে । $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
সূত্র

দয়া করে পরিষ্কার করুন: আপনি যখন বৈকল্পিক বলছেন , আপনি কি নমুনা বৈকল্পিক বলতে চান ? আপনি যখন বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের যোগফলটি বলতে চান

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— কার্ডিনাল

ক্রস টার্মের উপাদানগুলির জন্য সাবধানে অ্যাকাউন্ট করে by আমি ধারণা করি আপনি (ছোট ফাঁকগুলি) পূরণ করতে পারেন। ফলাফলটি তুচ্ছভাবে অনুসরণ করে follows

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— কার্ডিনাল

এবং

যদি

থেকে আইড হয় (একটি ভাল সংজ্ঞায়িত ভেরিয়েন্স সহ), তবে

এই বিষয়টি বিবেচনা করে কোনও গণনা ছাড়াই এটি "ছাড়াই" থাকার একটি উপায়ও রয়েছে is

। যদিও এটির সম্ভাবনা ধারণাগুলিতে সামান্য দৃ gra়তর উপলব্ধি প্রয়োজন।

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— কার্ডিনাল

সম্পর্কিত প্রশ্নের জন্য, আমি এখানে stats.stackexchange.com/a/18200- এ একটি জবাবে কী চলছে তার একটি ভিজ্যুয়ালাইজেশন ব্যবহার করেছি : স্কোয়ার পার্থক্যগুলি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্র।

— হোবল

@ শুভ: খুব সুন্দর কোনওভাবে আমি আপনার এই উত্তরটি মিস করছিলাম along

— কার্ডিনাল

মন্তব্যে স্কেচ করা সমাধানগুলি পরিপূরক হিসাবে কেবল একটি "অফিসিয়াল" উত্তর সরবরাহ করুন, বিজ্ঞপ্তি

কোনটিই , , , অথবা সব নাড়াচাড়া দ্বারা পরিবর্তিত হয় অবিশেষে করার কিছু ধ্রুবক জন্য অথবা সমস্ত নাড়াচাড়া $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ $Y_i$ করতে কিছু ধ্রুবক জন্য । সুতরাং আমরা ধরে নিতে পারি যে এই জাতীয় শিফটগুলি তৈরির জন্য সম্পাদিত হয়েছে $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$ .
$\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ .
Simple expansion of the squares and rearranging the sums give
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ with a similar result for the $Y$ 's.

The proof is immediate.

— whuber
সূত্র