সিএলটি-তে, কেন ?

10

এমন বিতরণ থেকে স্বতন্ত্র পর্যবেক্ষণ হওয়া যাক the এবং বৈকল্পিক , যখন , $X_1,...,X_n$ $\mu$ $\sigma^2 < \infty$ $n \rightarrow \infty$

\sqrt{এন} \frac{{\bar{এক্স}}_{এন} - μ}{σ} \to এন (0, 1) ।

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

এটি কেন that বোঝায়

{\bar{এক্স}}_{এন} ~ এন (μ, \frac{σ^{2}}{এন}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— mavavilj
সূত্র

সম্ভবত এটি নীচে পরিষ্কারভাবে জোর দেওয়া হয়নি, তবে the

\sqrt{এন} \frac{{\bar{এক্স}}_{এন} - μ}{σ} \to এন (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$ বিবৃতিটি গাণিতিকভাবে অর্থবহ এবং সত্য

{\bar{এক্স}}_{এন} ~ এন (μ, \frac{σ^{2}}{এন})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ গাণিতিকভাবে অযৌক্তিক, তাই এই উক্তিটি যেমন ভুল , তেমনি ভুলও নয় ।

— কি

17

আপনার ব্যাখ্যাটি কিছুটা ভুল। কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য (সিএলটি) এর দ্বারা বোঝায়

{\bar{X}}_{n} \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

এটি হ'ল সিএলটি একটি অসম্পূর্ণ ফলাফল, এবং আমরা কেবল সীমাবদ্ধ নমুনাগুলি নিয়েই অনুশীলনে আছি। যাইহোক, যখন নমুনার আকার যথেষ্ট পরিমাণে বড় হয়, তখন আমরা ধরে নিই যে সিএলটি ফলাফল আনুমানিকভাবে সত্য করে তোলে, এবং এইভাবে

\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} & \overset{approx}{\sim} N (0, 1) \\ \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{n}} & \overset{approx}{\sim} \frac{σ}{\sqrt{n}} N (0, 1) \\ {\bar{এক্স}}_{এন} - μ & \overset{প্রায়}{~} এন (0, \frac{σ^{2}}{এন}) \\ {\bar{এক্স}}_{এন} - μ + + μ & \overset{প্রায়}{~} μ + + এন (0, \frac{σ^{2}}{এন}) \\ {\bar{এক্স}}_{এন} & \overset{প্রায়}{~} এন (μ, \frac{σ^{2}}{এন}) । \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

এটি কারণ একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং ধ্রুবকগুলির জন্য , (এটি দ্বিতীয় ধাপে ব্যবহৃত হয়) এবং , (এটি দ্বিতীয় শেষ ধাপে ব্যবহৃত হয়)। $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

পড়ুন এই বীজগণিত আরো ব্যাখ্যার জন্য।

— Greenparker
সূত্র

আপনি কি স্পষ্ট করে বলতে পারেন যে al এলএইচএস থেকে আরএইচএসে শর্তাবলী গ্রহণ করার সময় আপনি কোন "বীজগণিত" ব্যবহার করছেন ?

\sim

$\sim$

— mavavilj

আমি বীজগণিত পরিষ্কার করেছি। এর বেশিরভাগটি বৈকল্পিক এবং প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করছে।

— গ্রিনপার্কার

কেন যেমন নেই দ্বিতীয় মেয়াদে পরিণত ?

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— mavavilj

3

কারণ । স্বজ্ঞাতভাবে, একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সাথে একটি ধ্রুবক সংখ্যা যুক্ত করা তার প্রকার পরিবর্তন করে না।

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— গ্রিনপার্কার

10

এটি দেখার সবচেয়ে সহজ এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর গড় এবং ভিন্নতা দেখে । $\bar X_n$

সুতরাং, বলেছেন যে গড়টি শূন্য এবং বৈকল্পিক এক। সুতরাং, আমরা গড় জন্য আছে: $\mathcal{N}(0,1)$

ব্যবহার, যেখানেহয় ধ্রুবক আমরা পাই:

E [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

এখন, , যেখানে ধ্রুবক রয়েছে, আমরা পরিবর্তনের জন্য নিম্নলিখিতটি পেয়েছি: $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

Var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

এখন, আমরা এর গড় এবং তারতম্য জানি , এবং এই গড় এবং বৈকল্পিকের সাথে গাউসীয় (সাধারণ) বন্টন হ'ল $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

আপনি ভাবতে পারেন কেন এই সমস্ত বীজগণিত কেন? কেন সরাসরি প্রমাণ করা যায় না যে রূপান্তর করে $\bar X_n$ ? $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

$\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Aksakal
সূত্র

4

$\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} M_{τ Z + μ} (t) & = M_{Z} (τ t) M_{μ} (t) \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2} e^{t μ} \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2 + t μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

$(\mu, \tau^2)$

— dsaxton
সূত্র

মুহুর্ত তৈরির কার্যটি কেন বিতরণের জন্য প্রমাণ করে?

— mavavilj

1

এটি সম্ভাবনা থেকে প্রাপ্ত ফলাফল। যদি দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একই মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য থাকে তবে তারা বিতরণে সমান।

— dsaxton