তবুও আরেকটি কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তাত্ত্বিক প্রশ্ন

Question

যাক সঙ্গে স্বাধীন বের্নুলির র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটা ক্রম হতে সেট দেখান যে distribution স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক ভেরিয়েবল তে বিতরণে রূপান্তরিত হয় কারণ অসীমের দিকে ঝোঁক।পি { এক্স ট = 1 } = 1 - পি { এক্স ট = 0 } = $\{X_n:n\ge1\}$এসএন= এন ∑ কে=1(এক্সকে-

$$P\{X_k=1\}=1-P\{X_k=0\}=\frac{1}{k}.$$ এস $$S_n=\sum^{n}_{k=1}\left(X_k-\frac{1}{k}\right), \ B_n^2=\sum^{n}_{k=1}\frac{k-1}{k^2}$$ জেড$\frac{S_n}{B_n}$$Z$$n$

আমার প্রয়াস লায়াপুনভ সিএলটি ব্যবহার করার জন্য, সুতরাং আমাদের সেখানে একটি উপস্থিতি দেখাতে হবে যে, $\delta>0$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{n}E[|X_k-\frac{1}{k}|^{2+\delta}]=0.$$

সুতরাং সেট $\delta=1$ \ যোগ_ {কে = 1} ^ {n} ই \ বাম | এক্স_ কে-কে ^ {- 1} \ ডান | ^ {3} = \ যোগ_ {কে = 1} ^ {n} \ বাম (rac frac {1} {k} - \ frac {3} {k ^ 2} + \ frac {4} {k ^ 3} - rac frac {2} {k ^ 4} \ ডান)

$$\sum_{k=1}^{n}E\left|X_k-k^{-1}\right|^{3}=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{3}{k^2}+\frac{4}{k^3}-\frac{2}{k^4}\right)$$ এবং $$B_n^3=\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right) \sqrt{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right)}$$

কম্পিউটারে বৃহত্তর এন এর জন্য মূল্যায়ন করে এটি দেখায় যে কীভাবে উভয় {যোগ_ {কে = 1} {}} n} ই | এক্স_কি-কে ^ {- 1} | ^ {3} \ থেকে \ ইনফটি$\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3} \to \infty$ এবং $B_n^3 \to \infty$ যেমন $n \to \infty$ । তবে B_n ^ 3 B_n than 2 এর$B_n^3$ চেয়ে দ্রুত বৃদ্ধি পায় তাই \ frac {\ যোগ_ {কে = 1} {{n} ই | এক্স_কি-কে ^ {- 1} | ^ {3}} {বি_এন ^ 3} \ থেকে 0 । কেউ আমাকে এই রূপান্তর ধারণ করে প্রমাণ করতে সহায়তা করতে পারে?$B_n^2$$\frac{\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3}}{B_n^3} \to 0$

Comments

এটি প্যাট্রিক বিলিংসলে দ্বারা প্রবণতা এবং পরিমাপের 27.3 উদাহরণ ।

— ঝাংসিওনগ

Answer 1

প্রথম নীতি এবং মৌলিক ফলাফলগুলি থেকে এই ফলাফলটি প্রদর্শন করা নির্দেশক হতে পারে , ক্রমবর্ধমান উত্পাদনের কার্যাদি (কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের আদর্শ প্রমাণ হিসাবে) ব্যবহার করে properties এটা তোলে আয় বৃদ্ধির হার বুঝতে আমাদের প্রয়োজন সাধারণ সুরেলা সংখ্যার জন্য এই বৃদ্ধির হারগুলি সুপরিচিত এবং সহজেই অখণ্ড তুলনা করে প্রাপ্ত হয় : তারা জন্য রূপান্তর করে এবং অন্যথায় জন্য ।

$$H(n,s)=\sum_{k=1}^n k^{-s}$$ $s=1, 2, \ldots.$$\int_1^n x^{-s}dx$$s \gt 1$$s=1$

---

আসুন এবং । সংজ্ঞা অনুসারে, (এক্স_ এর কোমল্যান্ট জেনারেটিং ফাংশন (সিজিএফ) হয়$n \ge 2$$1 \le k \le n$$(X_k - 1/k)/B_n$

$$\psi_{k,n}(t) = \log\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{X_k - 1/k}{B_n}t\right)\right) = -\frac{t}{k B_n} + \log\left(1 + \frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right).$$

কাছাকাছি এর প্রসার থেকে প্রাপ্ত ডান হাতের সিরিজ সম্প্রসারণটি রূপটি গ্রহণ করে$\log(1+z)$$z=0$

$$\psi_{k,n}(t) = \frac{(k-1)}{2 k^2 B_n^2}t^2 + \frac{k^2 - 3k + 2}{6 k^3 B_n^3} t^3 + \cdots + \frac{k^{j-1} - \cdots \pm (j-1)!}{j! k^j B_n^j}t^j + \cdots.$$

ভগ্নাংশের numerators এবং মধ্যে polynomials হয় নেতৃস্থানীয় শব্দটি সঙ্গে । কারণ লগ সম্প্রসারণ সম্পূর্ণরূপে , যখন এই সম্প্রসারণটি একেবারে রূপান্তরিত হয়$k$$k^{j-1}$$\left|\frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right| \lt 1$

$$\left|\exp(t/B_n) - 1\right| \lt k.$$

( ক্ষেত্রে এটি সর্বত্র রূপান্তরিত হয়।) স্থির এবং ক্রমবর্ধমান মানের জন্য , এর (স্পষ্ট) বিচ্যুতিটি বোঝায় নিরঙ্কুশ রূপান্তরটির ডোমেনটি নির্বিচারে বড় হয়। সুতরাং, কোনও স্থির এবং পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় এই সম্প্রসারণটি একেবারে রূপান্তরিত হয়।$k=1$$k$$n$$B_n$$t$$n$

ভালোই বড় জন্য , তারপর, সুতরাং আমরা পৃথক যোগফল পারে উপর শব্দটি শব্দটি দ্বারা ক্ষমতা মধ্যে এর cgf প্রাপ্ত ,$n$$\psi_{k,n}$$k$$t$$S_n/B_n$

$$\psi_n(t) = \sum_{k=1}^n \psi_{k,n}(t) = \frac{1}{2}t^2 + \cdots + \frac{1}{B_n^j}\left(\sum_{k=1}^n \left(k^{-1} - \cdots \pm (j-1)!k^{-j}\right)\right)\frac{t^j}{j} + \cdots.$$

একবারে বেশি পরিমাণে শর্তাদি গ্রহণের জন্য আমাদের আনুপাতিক এক্সপ্রেশনগুলির মূল্যায়ন করতে হবে$k$

$$b(s,j) = \frac{1}{B_n^j}\sum_{k=1}^n k^{-s}$$

জন্য এবং । পরিচিতিতে উল্লিখিত জেনারেলাইজড হারমোনিক সংখ্যার অ্যাসিম্পটোটিকগুলি ব্যবহার করে, এটি সহজেই অনুসরণ করে$j \ge 3$$s=1, 2, \ldots, j$

$$B_n^2 = H(n,1) - H(n,2) \sim \log(n)$$

যে

$$b(1,j) \sim (\log(n))^{1-j/2}\to 0$$

এবং ( )$s \gt 1$

$$b(s,j) \sim (\log(n))^{-j/2}\to 0$$

হিসাবে বড় হয়। ফলে সম্প্রসারণ সমস্ত পদ পরলোক শুন্যতে মিলিত, কোথা এগোয় করার কোন মানের জন্য । যেহেতু সিজিএফের রূপান্তরটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটির রূপান্তরকে বোঝায়, আমরা লেভি কন্টিনিউটি উপপাদ্য থেকে উপসংহারে যে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কাছে পৌঁছায় যার সিজিএফ 2/2 : এটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ভেরিয়েবল, কিউইডি ।$n$$\psi_n(t)$$t^2$$\psi_n(t)$$t^2/2$$t$$S_n/B_n$$t^2/2$

---

এই বিশ্লেষণের খুঁজে পান ঠিক কিভাবে উপাদেয় অভিসৃতি হল: যেহেতু সহগ কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য অনেক সংস্করণ মধ্যে হয় (জন্য ), এখানে সহগ হয় কেবল : রূপান্তরটি অনেক ধীর গতি সম্পন্ন। এই অর্থে মানকযুক্ত ভেরিয়েবলগুলির ক্রম "সবেমাত্র সবে" স্বাভাবিক হয়ে যায়।$t^j$$O(n^{1-j/2})$$j \ge 3$$O(((\log(n))^{1-j/2})$

আমরা এই ধীর অভিযাত্রাটি বিভিন্ন সিমুলেশনগুলিতে দেখতে পাই। হিস্টোগ্রামগুলি চারটি মানের জন্য স্বতন্ত্র পুনরাবৃত্তি প্রদর্শন করে । লাল রেখাচিত্রগুলি ভিজ্যুয়াল রেফারেন্সের জন্য স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ ঘনত্ব ফাংশনের গ্রাফ। যদিও স্পষ্টতই স্বাভাবিকতার দিকে ধীরে ধীরে প্রবণতা রয়েছে, এমনকি (যেখানে এখনও বড় আকারের) সেখানে প্রশংসনীয় অ-স্বাভাবিকতা রয়ে গেছে, যেমন স্কিউনেসে প্রমাণিত ( এই নমুনায় সমান )। (এই হিস্টগ্রামের সঙ্কোচনের to এর খুব কাছাকাছি হওয়া কোনও আশ্চর্যের বিষয় নয় , কারণ এটি সিজিএফ-তে term টার্মটি হ'ল তাই)$10^5$$n$$n=1000$$(\log(n))^{-1/2} \approx 0.38$$0.35$$(\log(n))^{-1/2}$$t^3$

Rযারা আরও পরীক্ষা-নিরীক্ষা করতে চান তাদের জন্য এখানে কোড।

set.seed(17)
par(mfrow=c(1,4))
n.iter <- 1e5
for(n in c(30, 100, 300, 1000)) {
  B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2))))
  x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE)
  z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n
  hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2))
  curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Answer 2

আপনার ইতিমধ্যে একটি দুর্দান্ত উত্তর আছে। আপনি যদি নিজের প্রমাণটিও সম্পূর্ণ করতে চান তবে আপনি নীচের মতো তর্ক করতে পারেন:

যেহেতু সমস্ত জন্য রূপান্তর এবং ( এখানে ) এর জন্য বিভক্ত হয় , তাই আমরা লিখতে পারি$\sum_{k=1}^n 1/k^i$$i>1$$i = 1$

$$\begin{align}S(n):=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k^2} + \frac{4}{k^3} - \frac{3}{k^4} \right) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1). \end{align}$$

একই যুক্তি দ্বারা,

$$B^2_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1).$$

ফলস্বরূপ, এবং এইভাবে,$S(n) / B_n^2 = O(1)$

$$S(n)/B_n^3 = O(1)(B_n^2)^{-1/2} \to 0,$$

যা আমরা দেখাতে চেয়েছিলাম

Answer 3

ডিস্ট্রিবিউশনগুলি ;) এর উপর নির্ভর করে যদি প্রথমে আপনার এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয় না )$k$

এছাড়াও আমি আপনার সংকেতটি ব্যবহার করব না :$B_n$

• মূলধন বর্ণগুলি সাধারণত এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য সংরক্ষিত থাকে।
• এটি কেবল রূপগুলির সমষ্টি তাই আমি এই স্পষ্ট করে তুলতে একটি প্রতীক জড়িত একটি স্বরলিপি ব্যবহার করব ।$\sigma$

তারপরে প্রশ্নটি সম্পর্কে আমি জানি না এটি কোনও অনুশীলন বা গবেষণা এবং কোন সরঞ্জামগুলি আপনাকে ব্যবহার করার অনুমতি দিয়েছে তা আমি জানি না। যদি আপনি পরিচিত উপপাদাগুলি পুনরায় প্রমাণ করার চেষ্টা না করে থাকেন, তবে আমি কেবলমাত্র এটিই বলব যে এটি স্বতন্ত্রভাবে অ-পরিচয়যুক্ত বিতরণ করা হলেও সমানভাবে বেঁধে দেওয়া আরভির জন্য একটি কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য এবং এটি একটি দিন কল করে। আমার হাতে কোনও ভাল উত্স নেই তবে এটি খুঁজে পাওয়া খুব বেশি কঠিন হওয়া উচিত নয়, উদাহরণস্বরূপ /mathpro/29508/is-there-a-central-limit-theorem- এ দেখুন সীমাবদ্ধ-অ-অভিন্ন-বিতরণ-এলোমেলো জন্য ।

সম্পাদনা করুন: আমার খারাপ, অবশ্যই অভিন্ন শর্তের অবস্থা যথেষ্ট নয়,

$$\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty$$