রৈখিক রূপান্তরের পরে কীভাবে কোসাইন মিল রয়েছে?

9

এর মধ্যে কি গাণিতিক সম্পর্ক আছে:

দুটি ভেক্টর এবং এর কোসাইন মিল , এবং $\operatorname{sim}(A, B)$ $A$ $B$
কোসাইন আদল এর এবং , অ-অবিশেষে ছোটো একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স মাধ্যমে ? এখানে একটি প্রদত্ত তির্যক ম্যাট্রিক্স যা ত্রিভুজটিতে অসম উপাদান রয়েছে। $\operatorname{sim}(MA, MB)$ $A$ $B$ $M$ $M$

আমি গণনাগুলি অতিক্রম করার চেষ্টা করেছি, তবে একটি সহজ / আকর্ষণীয় লিঙ্কে (অভিব্যক্তি) পৌঁছাতে পারিনি। আমি ভাবছি যদি সেখানে একটি আছে।

উদাহরণস্বরূপ, কোণগুলি অ-ইউনিফর্ম স্কেলিংয়ে সংরক্ষণ করা হয় না, তবে অভিন্ন ইউনিট স্কেলিংয়ের পরে মূল কোণগুলির সাথে কী সম্পর্ক? ভেক্টর এস 1 এর সেট এবং ভেক্টর এস 2 এর আরও একটি সেট - যেখানে এস 2 অ-অভিন্ন স্কেলিং এস 1 দ্বারা প্রাপ্ত হয় সেগুলির সংযোগ সম্পর্কে কী বলা যেতে পারে?

linear-algebra cosine-similarity

— turdus-merula
সূত্র

@ শুভ, ধন্যবাদ! হ্যাঁ, এম একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স (একটি স্কেলিং ম্যাট্রিক্স - এইভাবে একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স, অন্য কোনও বিধিনিষেধ নেই)। এক অর্থে, আমি জানতে চেয়েছিলাম যে কোনও ভেক্টর স্পেসের সাথে কোনও লিনিয়ার স্কেলিংয়ের ফলে কী ঘটে (কোনও ভেক্টরের কোনও জোড়ের জন্য কোসাইন মিলের পরিপ্রেক্ষিতে) ঘটে যায় happens

— টারডুস-মেরুলা

2

এটি লক্ষণীয় যে, যদি সমস্ত স্কেল কারণগুলি অ-নেতিবাচক হয় (তবে এটি প্রাকৃতিকভাবে অনুমান করা যায়), তবে সমস্ত প্রতিসাম্য ইতিবাচক-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিকগুলি "স্কেলিং" ম্যাট্রিক হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। সম্পর্ক আপনি চাইতে ব্যাপকভাবে ব্যবহার করা হয় ইন্টার আলিয়া অধ্যয়ন ও বিকৃতি বিবরণ মানচিত্র অনুমান মধ্যে। সেখানে, পৃথিবীর পৃষ্ঠের সর্বাধিক এবং ন্যূনতম কোণগুলিতে আগ্রহের কেন্দ্রগুলি যা মানচিত্রে দুটি লম্ব দিকের সাথে যুক্ত হবে । এই কোণ এবং দুটি স্কেল ফ্যাক্টরের অনুপাতের মধ্যে সরাসরি সম্পর্ক রয়েছে।

— whuber

8

যেহেতু বেশ সাধারণ, এবং কোসাইন মিলের পরিবর্তন নির্দিষ্ট এবং এবং সাথে তাদের সম্পর্কের উপর নির্ভর করে , কোনও নির্দিষ্ট সূত্র সম্ভব নয়। যাইহোক, কোজিনের মিল কতটা পরিবর্তিত হতে পারে তার কার্যত গণনাযোগ্য সীমা রয়েছে । এবং র মধ্যে কোণকে চূড়ান্ত করে এগুলি পাওয়া যাবে যে এবং মধ্যে কোসাইন মিল একই নির্দিষ্ট মান হিসাবে বলুন, বলুন (যেখানে এবং মধ্যবর্তী কোণ )। উত্তরটি আমাদের জানায় যে কোনও কোণ $M$ $A$ $B$ $M$ $MA$ $MB$ $A$ $B$ $\cos(2\phi)$ $2\phi$ $A$ $B$ $2\phi$ সম্ভবত রূপান্তর দ্বারা বাঁকানো যেতে পারে । $M$

হিসাবগুলি অগোছালো হওয়ার হুমকি দেয়। কিছু প্রাথমিক সরলকরণের সাথে স্বরলিপিটির কিছু চতুর পছন্দ প্রচেষ্টাটি হ্রাস করে। দেখা যাচ্ছে যে দুটি মাত্রায় সমাধান আমাদের জানার প্রয়োজনীয় সমস্ত কিছুই প্রকাশ করে। এটি একটি ট্র্যাকটেবল সমস্যা, কেবলমাত্র একটি আসল পরিবর্তনশীল উপর নির্ভর করে , যা ক্যালকুলাস কৌশল ব্যবহার করে সহজেই সমাধান করা হয়। একটি সরল জ্যামিতিক যুক্তি মাত্রার যেকোন নম্বরে এই সমাধান প্রসারিত । $\theta$ $n$

গাণিতিক প্রিলিমিনারি

সংজ্ঞা অনুসারে, যে কোনও দুটি ভেক্টর এবং মধ্যে কোণের কোসাইন ইউনিট দৈর্ঘ্যে স্বাভাবিক করার মাধ্যমে এবং তাদের পণ্য গ্রহণের মাধ্যমে পাওয়া যায়। সুতরাং, $A$ $B$

\frac{A^{'} B}{\sqrt{(A^{'} A) (B^{'} B)}} = \cos (2 ϕ)

$\frac{A^\prime B}{\sqrt{(A^\prime A)\, (B^\prime B)}} = \cos(2\phi)$

এবং, লেখা $\Sigma = M^\prime M$ এর চিত্রগুলির মধ্যে কোণটির কোসাইন $A$ এবং $B$ রূপান্তর অধীনে $M$ হয়

\begin{matrix} (1) & \frac{(M A)^{'} (M B)}{\sqrt{((M A)^{'} (M A)) ((M B)^{'} (M B))}} = \frac{A^{'} Σ B}{\sqrt{(A^{'} Σ A) (B^{'} Σ B)}} . \end{matrix}

$\frac{(MA)^\prime (MB)}{\sqrt{((MA)^\prime (MA))\, ((MB)^\prime (MB))}} = \frac{A^\prime \Sigma B}{\sqrt{(A^\prime \Sigma A) (B^\prime \Sigma B)}}.\tag{1}$

লক্ষ্য করুন যে কেবলমাত্র বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ, $\Sigma$ নয় $M$ নিজেই। সুতরাং আমরা কাজে লাগান পারে সিঙ্গুলার মূল্য পৃথকীকরণ (SVD) এর $M$ সমস্যা সরল করতে। মনে রাখবেন যে এটি প্রকাশ করে $M$ অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্সের পণ্য হিসাবে (ডান থেকে বামে) $V^\prime$ , একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স $D$ , এবং অন্য অर्थোগোনাল ম্যাট্রিক্স $U$ :

M = U D V^{'} .

$M = U\,D\,V^\prime.$

অন্য কথায়, সুবিধাযুক্ত ভেক্টরগুলির একটি ভিত্তি রয়েছে $e_1, \ldots, e_n$ (কলামগুলির $V$ ) কিসের উপর $M$ প্রত্যেকে উদ্ধার করে কাজ করে $e_i$ দ্বারা পৃথক $i^\text{th}$ তির্যক এন্ট্রি $D$ (যা আমি ফোন করব) $d_i$ ) এবং তারপরে একটি ঘূর্ণন প্রয়োগ করা (বা বিরোধী ঘূর্ণন) $U$ ফলাফল। এই চূড়ান্ত ঘূর্ণন কোনও দৈর্ঘ্য বা কোণ পরিবর্তন করবে না এবং তাই এটি প্রভাবিত করা উচিত নয় $\Sigma$ । আপনি গণনা সহ এটি আনুষ্ঠানিকভাবে দেখতে পারেন

Σ = M^{'} M = (U D V^{'})^{'} (U D V^{'}) = V D (U^{'} U) D V^{'} = V D^{2} V^{'} .

$\Sigma = M^\prime M = (U D V^\prime)^\prime (U D V^\prime) = V D (U^\prime U) D V^\prime = V D^2 V^\prime.$

ফলস্বরূপ, অধ্যয়ন করতে $\Sigma$ আমরা অবাধে প্রতিস্থাপন করতে পারেন $M$ একই মান তৈরি করে এমন কোনও ম্যাট্রিক্স দ্বারা $(1)$ । অর্ডার দিয়ে $e_i$ যাতে $d_i$ আকার হ্রাস (এবং ধরে নিচ্ছি) $M$ একরকম শূন্য নয়) এর একটি দুর্দান্ত পছন্দ $M$ হয়

M = \frac{1}{d_{1}} D V^{'} .

$M = \frac{1}{{d_1}} D V^\prime.$

এর তির্যক উপাদানসমূহ $(1/{d_1})D$ হয়

1 = d_{1} / d_{1} \geq λ_{2} = d_{2} / d_{1} \geq λ_{3} = d_{3} / d_{1} \geq \dots \geq λ_{n} = d_{n} / d_{1} \geq 0.

$1 = d_1/d_1 \ge \lambda_2 = d_2/{d_1} \ge \lambda_3 = d_3/{d_1} \ge \cdots \ge \lambda_n = d_n/{d_1} \ge 0.$

বিশেষত, এর প্রভাব $M$ (তার মূল বা পরিবর্তিত আকারে হোক) সমস্ত কোণে সম্পূর্ণরূপে এই সত্য দ্বারা নির্ধারিত হয়

M e_{i} = λ_{i} e_{i} .

$M e_i = \lambda_i e_i.$

একটি বিশেষ ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ

দিন $n=2$ । কারণ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করা তাদের মধ্যে কোণ পরিবর্তন করে না, আমরা ধরে নিতে পারি $A$ এবং $B$ ইউনিট ভেক্টর হয়। বিমানে এই জাতীয় সমস্ত ভেক্টর তাদের দ্বারা তৈরি কোণ দ্বারা নির্ধারিত হতে পারে $e_1$ , আমাদের লিখতে দেয়

A = \cos (θ - ϕ) e_{1} + \sin (θ - ϕ) e_{2} .

$A = \cos(\theta-\phi)e_1 + \sin(\theta-\phi)e_2.$

অতএব

B = \cos (θ + ϕ) e_{1} + \sin (θ + ϕ) e_{2} .

$B = \cos(\theta+\phi)e_1 + \sin(\theta+\phi)e_2.$

(নীচের চিত্রটি দেখুন।)

প্রয়োগ করা হচ্ছে $M$ সহজ: এটি প্রথম স্থানাঙ্কগুলি স্থির করে $A$ এবং $B$ এবং তাদের দ্বিতীয় স্থানাঙ্কগুলি দ্বারা গুণ করে $\lambda_2$ । সুতরাং কোণ থেকে $MA$ প্রতি $MB$ হয়

f (θ) = \arctan (λ_{2} \tan (θ + ϕ)) - \arctan (λ_{2} \tan (θ - ϕ)) .

$f(\theta) = \arctan(\lambda_2 \tan(\theta+\phi)) - \arctan(\lambda_2 \tan(\theta-\phi)).$

কারণ $M$ একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, কোণগুলির এই পার্থক্যটি একটি ক্রমাগত ফাংশন $\theta$ । আসলে, এটি পার্থক্যযোগ্য। এটি আমাদের ডেরাইভেটিভের শূন্যগুলি পরীক্ষা করে চরম কোণগুলি আবিষ্কার করতে সহায়তা করে $f^\prime(\theta)$ । এই ডেরাইভেটিভ গণনা করা সহজ: এটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন একটি অনুপাত। শূন্যগুলি কেবল তার সংখ্যার শূন্যগুলির মধ্যেই ঘটতে পারে, তাই আসুন গণকটি গণনা করার জন্য বিরক্ত করবেন না। আমরা প্রাপ্ত

f^{'} (θ) = \frac{λ_{2} (1 - λ_{2}) (λ_{2} + 1) \sin (2 θ) \sin (2 ϕ)}{*} .

$f^\prime(\theta) = \frac{\lambda_2(1-\lambda_2)(\lambda_2+1)\sin(2\theta)\sin(2\phi)}{*}.$

বিশেষ মামলা $\lambda_2=0$ , $\lambda_2=1$ ,এবং $\phi=0$ সহজেই বোঝা যায়: তারা পরিস্থিতিগুলির সাথে মিল রাখে যেখানে $M$ হ্রাস র‌্যাঙ্কের (এবং সুতরাং সমস্ত ভেক্টরকে একটি লাইনে স্কোয়াশ করে); কোথায় $M$ পরিচয় ম্যাট্রিক্সের একাধিক; এবং যেখানে $A$ এবং $B$ সমান্তরাল হয় (যেখান থেকে নির্বিশেষে তাদের মধ্যে কোণ পরিবর্তন করতে পারে না $\theta$ )। কেস $\lambda_2=-1$ শর্ত দ্বারা আবদ্ধ হয় $\lambda_2 \ge 0$ ।

এই বিশেষ ক্ষেত্রেগুলি বাদে শূন্যগুলি কেবল যেখানে ঘটে $\sin(2\theta)=0$ : এটাই, $\theta=0$ অথবা $\theta=\pi/2$ । এর অর্থ লাইনটি দ্বারা নির্ধারিত $e_1$ কোণ দ্বিখণ্ডিত $AB$ । আমরা এখন জানি যে এর মধ্যবর্তী কোণটির চূড়ান্ত মান $MA$ এবং $MB$ মানগুলির মধ্যে থাকা উচিত $f(\theta)$ , সুতরাং আসুন তাদের গণনা:

\begin{aligned} f (0) & = \arctan (λ_{2} \tan (ϕ)) - \arctan (λ_{2} \tan (- ϕ)) = 2 \arctan (λ_{2} \tan (ϕ)); \\ f (π / 2) & = \arctan (λ_{2} \tan (π / 2 + ϕ)) - \arctan (λ_{2} \tan (π / 2 - ϕ)) = 2 \arctan (λ_{2} \cot (- ϕ)) . \end{aligned}

$\eqalign{ f(0) &= \arctan(\lambda_2 \tan(\phi)) - \arctan(\lambda_2 \tan(-\phi)) = 2\arctan(\lambda_2\tan(\phi)); \\ f(\pi/2) &= \arctan(\lambda_2 \tan(\pi/2+\phi)) - \arctan(\lambda_2 \tan(\pi/2-\phi)) = 2\arctan(\lambda_2\cot(-\phi)). }$

সংশ্লিষ্ট কোসাইনগুলি হ'ল

\begin{matrix} (2) & \cos (f (0)) = \frac{1 - λ_{2}^{2} \tan (ϕ)^{2}}{1 + λ_{2}^{2} \tan (ϕ)^{2}} \end{matrix}

$\cos(f(0)) = \frac{1 - \lambda_2^2 \tan(\phi)^2}{1 + \lambda_2^2 \tan(\phi)^2}\tag{2}$

এবং

\begin{matrix} (3) & \cos (f (π / 2)) = \frac{1 - λ_{2}^{2} \cot (ϕ)^{2}}{1 + λ_{2}^{2} \cot (ϕ)^{2}} = \frac{\tan (ϕ)^{2} - λ_{2}^{2}}{\tan (ϕ)^{2} + λ_{2}^{2}} . \end{matrix}

$\cos(f(\pi/2)) = \frac{1 - \lambda_2^2 \cot(\phi)^2}{1 + \lambda_2^2 \cot(\phi)^2} = \frac{\tan(\phi)^2 - \lambda_2^2 }{\tan(\phi)^2 + \lambda_2^2}.\tag{3}$

এটি প্রায়শই বোঝার পক্ষে যথেষ্ট $M$ ডান কোণগুলি বিকৃত করে। এক্ষেত্রে, $2\phi=\pi/2$ , নেতৃস্থানীয় $\tan(\phi) = \cot(\phi) = 1$ , যা আপনি পূর্ববর্তী সূত্রগুলিতে প্লাগ করতে পারেন।

মনে রাখবেন যে আরও ছোট $\lambda_2$ হয়ে যায়, এই কোণগুলি তত বেশি চরম আকার ধারণ করে এবং বৃহত্তর বিকৃতি হয়।

এই চিত্রটি ভেক্টরগুলির চারটি কনফিগারেশন দেখায় $A$ এবং $B$ এর কোণ দ্বারা পৃথক $2\phi = \pi/3$ । ইউনিট বৃত্ত এবং এর উপবৃত্তাকার চিত্রটি এর অধীনে $M$ রেফারেন্সের জন্য ছায়াযুক্ত হয় (এর ক্রিয়া সহ) $M$ অভিন্নভাবে তৈরি করতে উদ্ধার $\lambda_1=1$ )। চিত্র শিরোনাম এর মান নির্দেশ করে $\theta$ এর মিডপয়েন্ট $A$ এবং $B$ । এই ধরনের সবচেয়ে নিকটতম $A$ এবং $B$ পরিবর্তিত যখন আসতে পারে $M$ বাম দিকের মতো একটি কনফিগারেশন $\theta=0$ । সবচেয়ে দূরে তারা হতে পারে ডানদিকে যেমন একটি কনফিগারেশন $\theta=\pi/2$ । দুটি মধ্যবর্তী সম্ভাবনা দেখানো হয়েছে।

সমস্ত মাত্রার জন্য সমাধান

আমরা দেখেছি কিভাবে $M$ প্রতিটি মাত্রা প্রসারিত করে কাজ করে $i$ একটি উপাদান দ্বারা $\lambda_i$ । এটি ইউনিট গোলকের বিকৃতি ঘটাবে $\{A\,|\, A^\prime A = 1\}$ একটি উপবৃত্তাকার মধ্যে। দ্য $e_i$ এর প্রধান অক্ষগুলি নির্ধারণ করুন। দ্য $\lambda_i$ এই অক্ষটি বরাবর, উপবৃত্তাকার থেকে শুরু করে দূরত্ব। ফলস্বরূপ ক্ষুদ্রতম, $\lambda_n$ , উৎপত্তি থেকে এলিপসয়েডের সবচেয়ে সংক্ষিপ্ততম দূরত্ব (যে কোনও দিকে) এবং বৃহত্তমটি, $\lambda_1$ , এটি ইলিস্পয়েডের উৎপত্তি থেকে দীর্ঘতম দূরত্ব (যে কোনও দিকে)।

উচ্চ মাত্রায় $n\gt 2$ , $A$ এবং $B$ একটি দ্বিমাত্রিক সাবস্পেসের অংশ। $M$ এই উপগ্রহটির ইউনিট বৃত্তটি মস্তিষ্কে এলিপসয়েডের ছেদকৃত স্থানে একটি সমতল সমেত বিশিষ্ট ম্যাপ করে $MA$ এবং $MB$ । এই ছেদটি একটি বৃত্তের লৈখিক বিকৃতি হ'ল একটি উপবৃত্তাকার। স্পষ্টতই এই উপবৃত্তের দীর্ঘতম দূরত্ব আর কিছু নয় $\lambda_1=1$ আর সবচেয়ে কম দূরত্বও এর চেয়ে কম নয় $\lambda_n$ ।

যেমন আমরা পূর্ববর্তী অংশের শেষে পর্যবেক্ষণ করেছি, সর্বাধিক চরম সম্ভাবনা কখন $A$ এবং $B$ দুটি সমতল একটি প্লেনে অবস্থিত $e_i$ যার জন্য সংশ্লিষ্ট অনুপাত $\lambda_i$ যতটা সম্ভব ছোট এটি ঘটবে $e_1, e_n$ সমতল। আমাদের কাছে ইতিমধ্যে সেই মামলার সমাধান রয়েছে।

উপসংহার

কোসাইন অনুরূপতা চরম প্রয়োগ করে $M$ দুটি ভেক্টরের সাথে কোসাইন মিল রয়েছে $\cos(2\phi)$ দ্বারা দেওয়া হয় $(2)$ এবং $(3)$ । তারা স্থিতিস্থাপিত হয়ে অর্জন করা হয় $A$ এবং $B$ যে দিকের সমান কোণে $\Sigma=M^\prime M$ সর্বাধিকভাবে কোনও ভেক্টরকে দীর্ঘায়িত করে (যেমন $e_1$ দিকনির্দেশ) এবং সেগুলিকে কোনও দিকে আলাদা করে $\Sigma$ ন্যূনতমভাবে কোনও ভেক্টর দীর্ঘায়িত করে (যেমন $e_n$ অভিমুখ).

এই চরমগুলি এর এসভিডি এর শর্তে গণনা করা যেতে পারে $M$ ।

— whuber
সূত্র

এটি একটি দুর্দান্ত উত্তর! এই বিস্তারিত আলোচনার জন্য আপনাকে অনেক ধন্যবাদ! আমি বিশ্বাস করি যে eqn (3) এ আপনার একটি সাইন ভুল রয়েছে যেখানে আপনার সামগ্রিক বিয়োগ চিহ্ন থাকতে হবে।

— এলএফএইচ

আমি যেখানে কোণে সেখানে আগ্রহী

2 ϕ

$2\phi$ শূন্যের কাছে পৌঁছাচ্ছি এবং আমি এর মধ্যে একটি বৈষম্য পেতে চাই

2 ϕ

$2\phi$ এবং

f

$f$ । এটি কি সত্য যে আপনার গণনার উপর ভিত্তি করে, আমাকে কেবল সর্বাধিক চরম সন্ধান করতে হবে (এটি সবচেয়ে ছোট)

λ_{n}

$\lambda_n$ এবং এই ক্ষেত্রে, অ্যাসিম্পটোটিক অসমতা দ্বারা প্রদত্ত

2 λ_{n} ϕ \leq f \leq 2 λ_{n}^{- 1} ϕ

$2\lambda_n\phi\leq f\leq 2\lambda_n^{-1}\phi$ যেমন

ϕ \to 0

$\phi\to0$ ?

— এলএফএইচ

6

আপনি সম্ভবত আগ্রহী:

(M A, M B) = A^{T} (M^{T} M) B,

$(MA,MB)=A^T(M^TM)B,$

আপনি তির্যক করতে পারেন $M^TM=U\Sigma U^T$ (বা আপনি যেমন এটি কল করেন, পিসিএ), যা আপনাকে বলে যে এর মিল $A,B$ রূপান্তর অধীনে $M$ প্রজেক্ট করে আচরণ করে $A,B$ আপনার মূল উপাদানগুলিতে এবং পরবর্তীকালে এই নতুন জায়গাতে মিলের গণনা করা। এটিকে আরও কিছুটা বোঝাতে, প্রধান উপাদানগুলি হতে দিন $u_i$ ইগেনভ্যালু সহ $\lambda_i$ । তারপর

U B = \sum_{i} (u_{i}, b_{i}) u_{i}, U A = \sum_{i} (u_{i}, a_{i}) u_{i},

$UB=\sum_i(u_i,b_i)u_i, \ UA=\sum_i(u_i,a_i)u_i,$

যা আপনাকে দেয়:

(M A, M B) = \sum_{i = 1}^{n} (u_{i}, a_{i}) (u_{i}, b_{i}) λ_{i} .

$(MA,MB)=\sum_{i=1}^n (u_i,a_i)(u_i,b_i)\lambda_i.$

এখানে লক্ষ্য করুন যে এখানে একটি স্কেলিং চলছে: দ $\lambda_i$ প্রসারিত / সঙ্কুচিত হয়। কখন $A,B$ ইউনিট ভেক্টর এবং যদি প্রতিটি হয় $\lambda_i=1$ তাহলে $M$ একটি ঘূর্ণনের সাথে মিলে যায় এবং আপনি পান: $\mbox{sim}(MA,MB)=\mbox{sim}(A,B)$ , যা অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলি ঘূর্ণনের আওতায় আক্রমণের মতো বলে সমান। সাধারণভাবে, যখন কোণ একই থাকে $M$ এটি একটি কনফরমাল রূপান্তর, যা এই ক্ষেত্রে এটির প্রয়োজন requires $M$ অবিচ্ছিন্ন এবং মেরু পচনের $M$ সন্তুষ্ট $M=OP$ সঙ্গে $P=aI$ অর্থাৎ $M^TM=a^2I$ ।

— অ্যালেক্স আর।
সূত্র

1

আপনার সমস্যার প্রাথমিক বক্তব্য ভেক্টরগুলির স্বাভাবিককরণকে উপেক্ষা করে

A

$A$ ,

B

$B$ ,

M A

$MA$ , এবং

M B

$MB$ কোসাইন অনুরূপতা গণনা করা প্রয়োজন। পরবর্তী বিশ্লেষণগুলিও এই স্বাভাবিকাকে সম্বোধন করে বলে মনে হয় না। দ্রষ্টব্য, বিশেষত, যে সমস্ত উপাখ্যানগুলি কিছু (ধনাত্মক) মানের থেকে পৃথক হওয়া সমান হলেও কোসাইন মিলগুলি সংরক্ষণ করা হয়

1

$1$ । এটি প্রমাণ করে, এমনকি এই সাধারণ ক্ষেত্রেও আরও অনেক কিছু বলা যায়।

— whuber

@ শুভ: কোসাইন মিল যখন ঠিক তখন সংরক্ষণ করা হয়

M

$M$ এটি একটি কনফরমাল ট্রান্সফর্মেশন, যা এই ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয়গুলির সমতুল্য

M

$M$ invertible হতে এবং

M^{T} M = a^{2} I

$M^TM=a^2I$ , পরিচয়ের একাধিক। অন্যভাবে বলেছিলেন, এর মেরু ক্ষয়

M

$M$ সন্তুষ্ট

M = O P

$M=OP$ , কোথায়

P = a I

$P=aI$ । আপনি সাধারণীকরণ সম্পর্কে ঠিক বলেছেন তবে, নরমালাইজড ভেক্টরগুলির সাথে কোসাইন মিলের বিষয়ে কথা বলা নির্বোধ বলে মনে হয়

A, B

$A,B$ ।

— অ্যালেক্স আর।

2

মোটেও বোকা নয়! যেহেতু এই "মিল" ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটির কোসাইন দ্বারা দেওয়া হয়েছে, এটি কোনও দুটি শূন্য নন ভেক্টরকে বোঝায়। আমি "আরও অনেক কিছু বলা যায়" বলতে যা বোঝায় তা হ'ল চিত্রগুলির মধ্যবর্তী কোণে কার্যকর সীমাবদ্ধ

A

$A$ এবং

B

$B$ এর মধ্যবর্তী কোণ অনুসারে প্রাপ্ত হতে পারে

A

$A$ এবং

B

$B$ এবং এর ইগন্যাল্যুগুলি

M

$M$ ।

— whuber