মিডিয়ান গণনার জন্য কি কোনও সূত্র আছে?

Question

গড় সূত্রের সমতুল্য কি আছে:

$$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$$

মাঝারি জন্য?

Answer 1

আপনি যদি $O_1, O_2, \ldots, O_N$ আপনার মূল ডেটা এর সাজানো সংস্করণ $X_1, X_2, \ldots, X_N$হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেন, তবে মধ্যকটি এই হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

$$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$$

আপনার ডেটা অর্ডার না করে আপনি জ্যামিতিক মিডিয়ানের সংজ্ঞাটি একটি মাত্রায় মধ্যম সংজ্ঞা দিতে ব্যবহার করতে পারেন :

$$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$$

মনে রাখবেন যে এখানে এমনকি একাধিক পয়েন্ট রয়েছে যখন একটি অনন্য মাঝারি প্রয়োজন হয় না; উদাহরণস্বরূপ কোন সংখ্যা সঙ্গে উদ্দেশ্য সেরা অনুকূল রূপ ।$y\in[3, 4]$$X = \{2, 3, 4, 5\}$

Comments

এমনকি এর জন্য ফর্মটি কেবল উত্তর নয় - কেবল একটি কনভেনশন ব্যবহৃত used এবং between এর মধ্যে যে কোনও মানকে যুক্তিসঙ্গতভাবে "মিডিয়ান" বলা যেতে পারেও এন / 2 ও এন / 2 + $N$$O_{N/2}$$O_{N/2+1}$

— সম্ভাব্যতা

নিবন্ধন করুন আমি জ্যামিতিক মধ্যম সংজ্ঞাটি যুক্ত করেছি, যা পক্ষেও অনন্য নয় । $N$

— josliber

Answer 2

গড়টি প্রকাশ করার একটি বিকল্প উপায় হ'ল "সর্বনিম্ন স্কোয়ারগুলি" অনুমান:

$$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$$

গড় হিসাবে নির্বাচন করা স্কোয়ার ত্রুটির যোগফলের ক্ষুদ্রতম মান দেয়।$m$

এখন মিডিয়ানটিকে "সর্বনিম্ন নিখুঁত বিচ্যুতি" অনুমান হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

$$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$$

মিডিয়ান হিসাবে নির্বাচন করা নিখুঁত ত্রুটির যোগফলের ক্ষুদ্রতম মান দেয়।$m$

Answer 3

মিডিয়ানটি অর্ধ কোয়ানটিলেটের মান অনুসারে, যেটির অর্ধেক মান বেশি হয়, অর্ধেক কম হয় (সাম্যতার সাথে মামলাগুলি উপেক্ষা করার জন্য বা সেটটি সমান হয়ে গেলে ...) আমাকে ক্ষমা করুন) এমন যে set ডেটা সেটের পিডিএফ পরিচিত হয়, তবে ক্রমবর্ধমান বিতরণ সহজেই মূল্যায়ন করা হয়। বুঝেই এই ফাংশন, তারপর $p_X$$X_1 \cdot X_n$$P_X$

$$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$$

উদাহরণস্বরূপ হিস্টোগ্রাম সমীকরণের জন্য এই পর্যালোচনা কাগজে ব্যবহৃত পদ্ধতিতে কোণগুলির ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন । নীচের বাম প্যানেলটি প্রাকৃতিক চিত্রগুলির একটি সেটে কোণগুলির pdf দেখায় । হ'ল সংযুক্তি বিতরণ এবং মধ্যক হ'ল 1 মান মান অনুসারে , এটি সেই ক্ষেত্রে প্রায় হয়।$p(\theta)$$P(\theta)$$\theta$$1/2$$0$