পোয়েসন এবং তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণের মধ্যে সম্পর্ক

Question

পইসন বিতরণের জন্য অপেক্ষার সময়গুলি প্যারামিটার ল্যাম্বডা সহ একটি সূচকীয় বিতরণ। তবে আমি এটা বুঝতে পারি না। পয়সন উদাহরণ হিসাবে উদাহরণস্বরূপ প্রতি ইউনিট সময়ে আগতদের সংখ্যা। এটি কীভাবে তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণের সাথে সম্পর্কিত? আসুন বলি যে সময়ের এককের কে আসার সম্ভাবনা হ'ল পি (কে) (পোইসন মডেলিং) এবং কে + 1 এর সম্ভাবনা পি (কে + 1) হয়, কীভাবে ঘনিষ্ঠ বন্টন মডেল তাদের মধ্যে অপেক্ষার সময়কে দেখায়?

Comments

পইসন বিতরণে অপেক্ষা করার সময় নেই। এগুলি একটি পয়সন প্রক্রিয়াজাতকরণের সম্পত্তি।

— Glen_b

এই দুটি বিতরণের মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে আরও ভাল ব্যাখ্যা এখানে দেখুন ।

— বেলটার

Answer 1

উইকির সাথে যথাসম্ভব সামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়ার জন্য আমি নিম্নলিখিত স্বরলিপিটি ব্যবহার করব (যদি আপনি আমার উত্তর এবং পোয়েসন এবং তাত্পর্যমূলক জন্য উইকির সংজ্ঞাগুলির মধ্যে পিছনে যেতে চান ।)

$N_t$ : সময়কালীন সময়ে আগতদের সংখ্যা$t$

$X_t$ : কেউ সময়মতো এসেছিল বলে ধরে নিয়ে আরও একটি আগমনের সময় লাগে$t$

সংজ্ঞা অনুসারে, নিম্নলিখিত শর্তগুলি সমতুল্য:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

বাম ঘটনা ঘটনা যে কোন এক সময় বিরতি এসেছে ধারন যা বোঝা যে সময়ে আগমন সংখ্যা আমাদের গণনা সময়ে গণনা অভিন্ন যা ডানদিকে ইভেন্ট।$[t,t+x]$$t+x$$t$

পরিপূরক বিধি দ্বারা, আমাদেরও রয়েছে:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

আমরা উপরে বর্ণিত দুটি ইভেন্টের সমতুল্যতা ব্যবহার করে, আমরা উপরের মতটি আবার লিখতে পারি:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

কিন্তু,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

উপরের পিসন সন্ধ্যা ব্যবহার করে যেখানে প্রতি ইউনিট প্রতি গড় আগমনকারীর সংখ্যা এবং পরিমাণ সময় ইউনিট, এতে সহজলভ্য:$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

অর্থাত

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

আমাদের মূল একন প্রতিস্থাপন, আমাদের আছে:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

উপরেরটি হ'ল পিডিএফের সিডিএফ।

Comments

ঠিক আছে এটি পরিষ্কার করে দেয়। এক্সোনেনশিয়াল পিডিএফ যেকোন দুটি ধারাবাহিক পোইসন হিটের মধ্যে অপেক্ষার সময়কে মডেল করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং পোয়েসন হিটগুলির সংখ্যার সম্ভাবনা দেখায়। পাইসন বিচ্ছিন্ন এবং ঘনিষ্ঠভাবে অবিচ্ছিন্ন বিতরণ হয়। এটি বাস্তব জীবনের উদাহরণ দেখতে আকর্ষণীয় হবে যেখানে দুজন একই সাথে খেলতে আসে।

— ব্যবহারকারী 862

তাই না? হয় একটি মুহূর্ত সময় বা কাল সময়? $t$

— কোডি বাগস্টাইন

দ্রষ্টব্য, একটি poisson বন্টন ইভেন্টের মধ্যে অপেক্ষার সময় জন্য স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি ঘনিষ্ঠ পিডিএফ বোঝায় না। এটি কেবলমাত্র সেই পরিস্থিতিতে দায়বদ্ধ যেখানে আপনি জানেন যে একটি পোয়েসন প্রক্রিয়া কাজ করছে। তবে পোয়েসন প্রক্রিয়াটি একটি উপযুক্ত মডেল হিসাবে দেখানোর জন্য আপনাকে পোয়েসন বিতরণের অস্তিত্ব এবং ঘাতক পিডিএফের অস্তিত্ব প্রমাণ করতে হবে!

— জান রোথগেল

@ কোডি বুগস্টাইন উভয়ই: তারা এই প্রসঙ্গে বিনিময়যোগ্য। আগমনগুলি একে অপরের থেকে স্বতন্ত্র, যার অর্থ সময়ের অফসেট কী তা বিবেচনা করে না। সময় থেকে সময়ের 0সময় পর্যন্ত tদৈর্ঘ্য কোনো একটি সময়ের সমতূল্য t।

— চিয়েল দশ ব্রিনকে

@ ব্যবহারকারী 862: এটি ফ্রিকোয়েন্সি এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্কের সাথে একেবারে অভিন্ন। দীর্ঘ তরঙ্গদৈর্ঘ্য; নিম্ন ফ্রিকোয়েন্সি অনুসারে: দীর্ঘ প্রতীক্ষার সময়; কম প্রত্যাশিত আগমনকারী।

— ডিউইন

Answer 2

পইসন প্রক্রিয়াটির জন্য, হিটগুলি অতীতের এলোমেলোভাবে স্বতন্ত্রভাবে ঘটে থাকে, তবে একটি পরিচিত দীর্ঘমেয়াদী গড় হার time প্রতি ইউনিট হিটের সহ। পইসন বিতরণে আমাদের কিছু নির্দিষ্ট সংখ্যক হিট হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে পাওয়া যাবে।$\lambda$

এখন, হিটগুলির সংখ্যা দেখার পরিবর্তে আমরা এলোমেলো পরিবর্তনশীল (লাইফটাইম জন্য) দেখুন, যে সময়টি আপনাকে প্রথম হিটের জন্য অপেক্ষা করতে হবে।$L$

অপেক্ষার সময়টি প্রদত্ত সময় মানের চেয়ে বেশি হওয়ার সম্ভাবনা হ'ল mb (পোইসন বিতরণ দ্বারা, যেখানে )।$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$ (ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন)। এর ব্যয় নিয়ে আমরা ঘনত্বের কার্যটি পেতে পারি:

$$f(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & \mbox{for } t \ge 0 \\ 0 & \mbox{for } t \lt 0 \end{cases}$$

এর মতো ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপের যে কোনও র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলকে দ্রুত বিতরণ করা হয় distributed

Comments

আমি (টাইমে কোনও হিট নেই) ব্যাখ্যা উপভোগ করেছি । এটি আমার জন্য অর্থবোধকৃত। $P(L>t)=P$

— ব্যবহারকারী1603548

আরেকটি বিষয়, 1 ইউনিটের হিট থাকে, তাই ইউনিটের হিট থাকে। $\lambda$$t$$\lambda t$

— বেল্টার

Answer 3

অন্যান্য উত্তরগুলি গণিতটি ব্যাখ্যা করার জন্য একটি ভাল কাজ করে। আমি মনে করি এটি একটি শারীরিক উদাহরণ বিবেচনা করতে সহায়তা করে। যখন আমি কোনও পোইসন প্রক্রিয়া সম্পর্কে চিন্তা করি, আমি সর্বদা রাস্তায় গাড়িগুলি যাওয়ার ধারণাটিতে ফিরে আসি। ল্যাম্বদা হ'ল গাড়িগুলির গড় সংখ্যা যা প্রতি ইউনিট সময় পার করে, যাক 60 / ঘন্টা (ল্যাম্বদা = 60) বলি। তবে আমরা জানি যে আসল সংখ্যাটি আলাদা হবে - কিছু দিন আরও, কিছু দিন কম। পোইসন বিতরণ আমাদের এই পরিবর্তনশীলতার মডেল করতে দেয়।

এখন, প্রতি ঘণ্টায় গড়ে 60০ টি গাড়ি প্রতি মিনিট পেরিয়ে গড়ে ১ টি গাড়ি সমান। আবার যদিও, আমরা জানি আগতদের মধ্যে সময়ের পরিমাণে পরিবর্তনশীলতা হতে পারে: কখনও কখনও 1 মিনিটেরও বেশি সময়; অন্য সময় কম। এক্সফোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন আমাদের এই পরিবর্তনশীলতার মডেল করতে দেয়।

যা যা বলা হচ্ছে, কোনও রাস্তায় গাড়িগুলি সর্বদা কোনও পইসন প্রক্রিয়া অনুসরণ করবে না। যদি কোনও কোণার চারপাশে কোনও ট্র্যাফিক সিগন্যাল থাকে, উদাহরণস্বরূপ, আগমনকারীরা স্থির পরিবর্তে গুছিয়ে নেওয়া হবে। একটি উন্মুক্ত হাইওয়েতে, একটি ধীর ট্র্যাক্টর-ট্রেলার আবার গাড়ীর দীর্ঘ লাইন ধরে রাখতে পারে, যা আবার গুচ্ছ ঘটায়। এই ক্ষেত্রে, পয়সন ডিস্ট্রিবিউশনটি আরও দীর্ঘ সময়ের জন্য এখনও ঠিক কাজ করতে পারে, তবে ঘনিষ্ঠটি মডেলিংয়ের আগমনের সময়গুলিতে খারাপভাবে ব্যর্থ হবে।

এটিও নোট করুন যে দিনের সময় ভিত্তিতে বিশাল পরিবর্তনশীলতা রয়েছে: ভ্রমণের সময় ব্যস্ততর; 3 টা খুব ধীর। নিশ্চিত হয়ে নিন যে আপনার ল্যাম্বদা নির্দিষ্ট সময়ের জন্য আপনি বিবেচনা করছেন প্রতিবিম্বিত।

Answer 4

পয়সন বিতরণ সাধারণত দ্বিপদী বিতরণ (উভয় বিযুক্ত) থেকে প্রাপ্ত। এটি আপনি উইকিতে পাবেন।

যাইহোক, পয়সন বিতরণ (পৃথক) এক্সপেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন (অবিচ্ছিন্ন) থেকেও নেওয়া যেতে পারে।

আমি উইকিতে প্রমাণ যুক্ত করেছি (নীচের লিঙ্ক):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution

Comments

পৃথক এবং অবিচ্ছিন্ন মধ্যে সংযোগ সুস্পষ্ট ছিল না, এর জন্য ধন্যবাদ!

— jspacek