অ-পূর্ণসংখ্যার আকারের প্যারামিটার সহ গামা বিতরণের জন্য অন্য ব্যাখ্যা আছে?

Question

এটা সর্বজনবিদিত যে একটি দৈব চলক গামা হচ্ছে পূর্ণসংখ্যা আকৃতির মাপদণ্ড সঙ্গে বিতরণ করা বর্গের সমষ্টি সমতূল্য স্বাভাবিকভাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিতরণ করেন।$k$$k$

তবে আমি নন-ইন্টিজার দিয়ে গামা বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবল সম্পর্কে কী বলতে পারি ? গামা বিতরণ ব্যতীত অন্য কোন ব্যাখ্যা আছে কি?$k$

Comments

আকৃতির মাপদণ্ড সঙ্গে গামা বর্গের সমষ্টি স্বাভাবিকভাবে বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল। শেপ প্যারামিটার সহ গামা হ'ল আইআইডি এক্সফোনেনশিয়াল বিতরণের যোগফল । $k/2$$k$$k$$k$

— গ্রিনপার্কার

পূর্ণসংখ্যা সঙ্গে গামা এর আরও একটি ব্যাখ্যা : এটা ওয়েটিং সময় পর্যন্ত তীব্রতা সঙ্গে একটি এক-মাত্রিক পইসন প্রক্রিয়ায় তম আগমনের । $k$$k$$1/\theta$

— স্টিফান কোলাছা

Answer 1

যদি এবং স্বতন্ত্র থাকে তবে বিশেষত, যদি এটি এর সমান বিতরণে বিতরণ করা হয় কোনও জন্য । (এই সম্পত্তি বলা হয় অসীম বিভাজ্যতা ।) এর অর্থ এই যে, যদি যখন একটি পূর্ণসংখ্যা নয়, হিসাবে একই ডিস্ট্রিবিউশন আছে সঙ্গে থেকে স্বাধীন এবং $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

$$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$$ $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$$ $n\in\mathbb N$$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha$$X$$Y+Z$$Z$$Y$ $$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$$ এটি বোঝায় যে পূর্ণসংখ্যার মানযুক্ত আকার গামার কোন বিশেষ অর্থ নেই।$\alpha$

বিপরীতভাবে, যদি সঙ্গে , এটা হিসাবে একই ডিস্ট্রিবিউশন আছে যখন স্বাধীন থেকে এবং আর অত: পর বন্টন করা হয় পরিবর্তিত মধ্যে$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha<1$$YU^{1/\alpha}$$Y$$U\sim{\cal U}(0,1)$

$$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$$ ${\cal G}(\alpha,1)$ $$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$$