ধরুন ফুরিয়ার এর রুপান্তর হল যেখানে
যেখানে । বিপরীত রূপান্তরটি হ'ল
এক্স ( চ ) এক্স ( চ ) = ∫ ∞ - ∞ এক্স ( T ) Exp ( - আমি 2 π চ T ) ঘ টন আমি = √এক্স ( টি )এক্স( চ))
এক্স( চ)) = ∫∞- ∞এক্স ( টি ) এক্সপ্রেস( - আমি 2 πচt ) d t
এক্স(টি)= ∫ ∞ - ∞ এক্স(চ)এক্সপ্রেস(i2πfটি)ডিএফi = - 1---√x ( টি ) = ∫∞- ∞এক্স( চ)) exp( i 2 π)চt ) d f
ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের কয়েকটি বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ:
ফুরিয়ার রূপান্তরটি হ'লএক্স( টি )x ( - চ)
তাহলে একটি রিয়েল-মূল্যবান এমনকি ফাংশন , তারপর
একটি রিয়েল-মূল্যবান এমনকি ফাংশন ।এক্স (টি )টিএক্স( চ))চ
সুতরাং, যদি একটি রিয়েল-মূল্যবান এমনকি ফাংশন , তারপর ফুরিয়ার রিয়েল-মূল্যবান এমনকি ফাংশনের রুপান্তর
হয়এক্স ( টি )টিএক্স( টি )এক্স ( চ))
এখন যে অনুমান একটি এমনকি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (তাই যে সবার জন্য অতিরিক্ত সম্পত্তি যে সহ) । এছাড়াও ধরুন যে তার ফুরিয়ার রুপান্তর
সম্পত্তি আছে সবার জন্য । তারপর, যেহেতু
একটি এমনকি অ নেতিবাচক রিয়েল-মূল্যবান এর ফাংশন এলাকার সঙ্গে , যে হয়, এছাড়াও সম্পত্তি সঙ্গে একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন যেএক্স ( টি )x ( টি ) ≥ 0টিx ( 0 ) = 1এক্স( চ))এক্স(চ)) ≥ 0চ
x ( 0 ) = 1 = ∫∞- ∞এক্স(চ)) d চ
এক্স(চ))চ1এক্স(চ))এক্স( 0 ) = 1। এ জাতীয় জোড়া ফাংশনের একটি উদাহরণ ওপি নিল জি দ্বারা উদ্ধৃত সাধারণ বিতরণ
এবং অন্য একটি উদাহরণ হল
x 2 ( t ) = ( 1 - | টিএক্স1( টি ) = এক্সপ্রেস( - π)টি2) , এক্স 1( চ)) = Exp( - π)চ2)
এক্স2( টি ) = ( 1 - | টি | ) 1[ - 1 , 1 ], এক্স 2( চ)) = sinc2( চ)) = ⎧⎩⎨⎪⎪( পাপ( π)চ)πচ)2,1 ,চ≠ 0 ,চ= 0
12এক্স2( টি ) + 12এক্স2( টি )12এক্স2( চ)) + 12এক্স2( চ))
এক্স ( টি )এক্স( চ))12x ( টি ) + 12এক্স( টি )
এক্স1( টি )12এক্স2( টি ) + 12এক্স2( টি )
αx1(t)+(1−α)[12x2(t)+12X2(t)]
α∈[0,1]