ডোমেন এবং ব্যাপ্তির সাথে একটি আকারের বক্ররেখা জন্য একটি সূত্র আছে [0,1]

Question

মূলত আমি অনুরূপতাগুলি ওজনগুলিতে রূপান্তর করতে চাই যা পূর্বাভাসক হিসাবে ব্যবহৃত হয়। মিলগুলি [0,1] এ থাকবে এবং আমি ওজনকে [0,1] এও সীমাবদ্ধ রাখব। আমি একটি প্যারামেটারিক ফাংশন চাই যা এই ম্যাপিংটি করে যা আমি সম্ভবত গ্রেডিয়েন্ট বংশদ্ভুত ব্যবহার করে অনুকূলিত করব। প্রয়োজনীয়তাগুলি হ'ল 0 মানচিত্র 0 থেকে 1 মানচিত্র 1 এবং এটি কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাবে। একটি সাধারণ ডেরাইভেটিভ প্রশংসা করা হয়। আগাম ধন্যবাদ

সম্পাদনা করুন: এখনও পর্যন্ত প্রতিক্রিয়াগুলির জন্য ধন্যবাদ, সেগুলি খুব সহায়ক। আমার উদ্দেশ্যটি আরও পরিষ্কার করার জন্য, কার্যটি পূর্বাভাস। আমার পর্যবেক্ষণগুলি ভবিষ্যদ্বাণী করার জন্য একক মাত্রা সহ অত্যন্ত বিরল ভেক্টর। আমার ইনপুট মাত্রাগুলি সাদৃশ্য গণনা করতে ব্যবহৃত হয়। আমার ভবিষ্যদ্বাণীটি তখন ভবিষ্যদ্বাণীকারীর জন্য অন্যান্য পর্যবেক্ষণের মানের একটি ওজনযুক্ত যোগফল যেখানে ওজন সাদৃশ্যতার একটি কার্য। সরলতার জন্য আমি আমার ওজনকে [0,1] এ আবদ্ধ করছি। আমার এখন কেন 0 মানচিত্রের 0, 1 থেকে 1 তে মানচিত্রের প্রয়োজন এবং এটি কঠোরভাবে বাড়তে হবে তা এখন আশাকরি স্পষ্ট। যেহেতু whuber f (x) = x ব্যবহার করে নির্দেশ করেছে তা এই প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে এবং বাস্তবে বেশ ভালভাবে কাজ করে। তবে এটির অনুকূলিতকরণের কোনও প্যারামিটার নেই। আমার প্রচুর পর্যবেক্ষণ রয়েছে যাতে আমি প্রচুর পরামিতি সহ্য করতে পারি। আমি গ্রেডিয়েন্ট বংশোদ্ভূত হস্ত কোডিং করব, অতএব সাধারণ ডেরাইভেটিভের জন্য আমার পছন্দ।

উদাহরণস্বরূপ, প্রদত্ত প্রতিক্রিয়াগুলির বেশিরভাগটি .5 সম্পর্কে প্রতিসম হয়। বাম / ডান স্থানান্তরিত করতে প্যারামিটার রাখা দরকারী (যেমন বিটা বিতরণের সাথে)

Comments

$f(x)=x$আপনার প্রতিটি প্রয়োজন পূরণ করে।

— whuber

বাম-ডান শিফটটি নিয়ন্ত্রণ করতে আপনার সম্পাদনার জবাবে আমি কিছুটা যোগ করেছি। আমার ছবির তিনটি উদাহরণের পরিবারগুলির এটিকে নিয়ন্ত্রণ করার প্রত্যক্ষ উপায় রয়েছে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 1

এখানে একটি:

$y=\frac{1}{1+\left ( \frac{x}{1-x} \right )^{-\beta}}$

কোথায় $\beta$ হয় $>0$

] 2

Comments

এটি কি একটি আদর্শ ফাংশন $tanh$ এর $sin$? আমি বিবাহে এটি সনাক্ত করতে আগ্রহী কিন্তু আমি পারিনি। আপনি দয়া করে একটি রেফারেন্স দিতে পারেন?

— ডারকমুর

হাই ডার্কমুর, আমি "ইনভার্স লগিট ফাংশন" এর সাথে ঘুরেফিরে এই সমীকরণটি পেয়েছি। আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এটি y = বিপরীত লজিট (x) = 1 / (1 + ই ^ -x) এর অনুরূপ কারণ লগইট

— ইসমাম হুদা

আপনি অতিরিক্ত স্তরের সমন্বয় যোগ করতে পারেন যাতে আপনি y = 1 / (1+ (x ^ r / (1-x ^ r)) ^ - বি) ব্যবহার করে ফাংশনটি .5 এর সমান অবস্থানে টিউন করতে পারেন) । তারপরে, x0 সেট r = -log (2) / লগ (x0) এ y = .5 অর্জন করতে। অথবা, আপনি যদি x = x0 এ 0 এবং 1 এর মধ্যে কিছু K এর জন্য y = কে নিশ্চিত করতে চান তবে r = -log ((1 / কে - 1) ^ (1 / খ) +1) / লগ (x0) সেট করুন

— wmsmith

Answer 2

যেমনটি ইতিমধ্যে @ ফাংশনটি দ্বারা মন্তব্য করেছেন com $f(x)=x$আপনার উল্লিখিত তিনটি প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে (যেমন 0 টি মানচিত্র 0, 1 মানচিত্র 1 এবং ফাংশন কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে)। আপনার প্রশ্নের শিরোনামে, আপনি মনে করছেন যে সিগময়েড / লজিস্টিক বক্ররেখার মতো আপনিও ফাংশনটি এস-আকৃতির হওয়ার বিষয়ে আগ্রহী। এটা কি সঠিক? সেক্ষেত্রে আপনার অবশ্যই নিম্নলিখিত লজিস্টিক ফাংশনটি চেষ্টা করা উচিত যা আপনার নির্দিষ্ট করে দেওয়া সমস্ত 4 টি মানদণ্ড পূরণ করবে:

$$\frac{1}{1+e^{-k(x-0.5)}}$$ ।

দ্য $k$এই সমীকরণটি আপনার বক্ররেখা controlাল নিয়ন্ত্রণ করবে। পরিবর্তন$k$ আপনাকে কতটা কাছাকাছি নিয়ন্ত্রণ করতে দেয় $f(0)$ এবং $f(1)$যথাক্রমে 0 এবং 1 হয়। উদাহরণস্বরূপ$k=20$, $f(0)=4.539787e-05$ এবং $f(1)=0.9999546$।

এই ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সহজেই হিসাবে গণনা করা হয়:

$$\frac{ke^{-k(x-0.5)}}{(1+e^{-k(x-0.5)})^2}$$ এই ফাংশন সম্পর্কিত আরও তথ্য https://en.wikedia.org/wiki/Logistic_function এ পাওয়া যাবে

Comments

এই ফাংশনটি 1 -> 1 এর মানচিত্র দেয় না fact আসলে, f -> 1 কে x -> ∞ হিসাবে ∞ K এর উপর নির্ভর করে x = 1 এ f এর মানটি খুব কম হতে পারে তবে এটি কখনই ঠিক 0 হবে না In বাস্তবে, ডিনোমিনেটরে ই using ... ব্যবহার করার মূল কারণ এটি, যাতে প্রাসঙ্গিক ডোমেনটি হ'ল [0, ∞) এর পরিবর্তে [0,1]।

— wmsmith

Answer 3

প্রয়োজনীয়তাগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ আমাকে সর্বাধিক সাধারণ সমাধানটি দেওয়া হোক: এটি আপনাকে চয়ন এবং অনুকূলিতকরণের ক্ষেত্রে সবচেয়ে নমনীয়তা দেয়।

আমরা "এস-আকারের" কে মনোোটোনিকভাবে ক্রমবর্ধমান বক্র হিসাবে ব্যাখ্যা করতে পারি (কারণ রূপান্তরটি এক-এক-এক হওয়া উচিত) একটি অংশ যা thatর্ধ্বমুখী এবং একটি অংশ যা নিচের দিকে অবতল থাকে of আমরা বাম অর্ধেক অবতলকে নীচে নামানোর দিকে মনোনিবেশ করতে পারি, কারণ অন্যান্য ধরণের (বাম অর্ধেক অবতল দিয়ে) এ জাতীয় রূপান্তর ঘুরিয়ে দেওয়ার মাধ্যমে পাওয়া যায়।

রূপান্তর থেকে $f$ পার্থক্যযুক্ত বলে মনে করা হচ্ছে, সুতরাং এটির হ্রাস ডাইরিভেটিভ থাকতে হবে $f^\prime$বাম অর্ধেক এবং ডান অর্ধে একটি বর্ধমান ডেরাইভেটিভ। নির্বিশেষে, ডেরাইভেটিভ অবশ্যই ননজেগটিভ হতে হবে এবং এটি কেবল একটি বিচ্ছিন্ন পয়েন্টে শূন্য হতে পারে (যদি মোটেও: ডেরিভেটিভের সর্বনিম্ন মান রূপান্তরটির সর্বনিম্ন opeাল দেয়।)

ডেরিভেটিভ পৃথক হতে পারে এমনটি প্রয়োজন হয় না, তবে একটি ব্যবহারিক বিষয় হিসাবে আমরা ধরে নিতে পারি যে এটি ডেরিভেটিভের সাথে প্রায় সর্বত্রই স্বতন্ত্র $f^{\prime\prime}$।

এই দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ ব্যবহারিকভাবে কিছু করতে পারে : আমাদের কেবল প্রয়োজন

• এটি একীকরণযোগ্য,

• কিছু বাম-হাতের ব্যবধানে সমস্ত মানের জন্য শূন্যের চেয়ে কম বা সমান $[0, k)$, এবং

• ডান হাতের বিরতিতে সমস্ত মানের জন্য শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান $(k, 1]$।

যেমন ফাংশন $f^{\prime\prime}$(এবং তাদের বিপরীতে) সমস্ত সমাধানের সেটকে প্যারামিটারাইজ করে। (কিছুটা বাড়াবাড়ি রয়েছে: এটি নীচে বর্ণিত একটি চূড়ান্ত স্বাভাবিককরণের পদক্ষেপ দ্বারা যত্ন নেওয়া হয়))

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য আমাদের পুনরুদ্ধার করতে সক্ষম করে $f$থেকে কোন ধরনের নির্দিষ্টকরণ। এটাই,

$$f^\prime(x) = \int_0^x f^{\prime\prime}(t) dt$$

এবং

$$f(x) = \int_0^x f^\prime(t) dt.$$

শর্তসমূহ $f^{\prime\prime}$ গ্যারান্টি $f$ তার মিনিমিম থেকে একঘেয়েমি উত্থিত $f(0)$ কিছুটা সর্বাধিক $f(1) = C$। অবশেষে, স্বাভাবিক করুন$f$ পূর্ববর্তী ইন্টিগ্রালের মানগুলি দ্বারা ভাগ করে $C$।

---

দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভের জন্য এলোমেলো পদক্ষেপের একটি সংস্করণ দিয়ে শুরু করা এখানে একটি চিত্র রয়েছে। এটিতে, ডেরাইভেটিভগুলি স্বাভাবিক করা হয়নি, তবে রূপান্তর হয়েছে$f$ হয়েছে.

এই পদ্ধতির প্রয়োগ করতে, আপনি এর জন্য বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি দিয়ে শুরু করতে পারেন $f^{\prime\prime}$, সম্ভবত প্যারামিটারের একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা দ্বারা বৈচিত্রময়। আপনি এর গ্রাফের সাথে কিছু পয়েন্ট দিয়ে এবং তাদের মধ্যে বিভক্ত করেও এটি নির্দিষ্ট করতে পারেন - তবে শর্ত থাকে যে ইন্টারপোলটারটি মানগুলির নেতিবাচকতাকে সম্মান করে$[0,k)$ এবং ইতিবাচকতা $(k,1]$। দ্বিতীয়টি চিত্রটি উত্পন্ন করার জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতি। সংশ্লিষ্ট Rকোড (নীচে) গণনার বিশদ সরবরাহ করে।

এই পদ্ধতির সাহায্যে আপনার পছন্দ মতো কোনও রূপান্তর ডিজাইন করতে সক্ষম হয়। আপনি এস-কার্ভটি স্কেচ করে এর (আপেক্ষিক) opালু অনুমান করে শুরু করতে পারেন$f^\prime$, এবং এর opালু অনুমান করে। কিছু উল্লেখ করুন$f^{\prime\prime}$ পরে ছবিটি মেলে, তারপরে গণনা করতে এগিয়ে যান $f^\prime$ এবং তারপর $f$।

মনে রাখবেন যে $f$ যেগুলি প্রথমে অবতল এবং তারপরে অবতল হওয়াও উপেক্ষা করে পাওয়া যায় $f^{\prime\prime}$প্রারম্ভে. এস-আকৃতির বক্ররেখা তৈরির জন্য গুরুতর শর্তটি হ'ল (পরিমাপ শূন্যের একটি সেটে সম্ভাব্য ভ্রমণগুলি বাদ দিয়ে)$f^{\prime\prime}$আসলে একবারে শূন্য অতিক্রম করতে পারে ।

ঘটনাচক্রে, সমাধান $f(x)=x$ সেট করে উত্থিত হয় $f^{\prime\prime}(x)=0$ প্রায় সব জায়গায়, তৈরি $f^\prime$ ধ্রুবক এবং ধনাত্মক, কোথা থেকে $f$লিনিয়ার হয়; নরমালাইজেশন আশ্বাস দেয় opeাল$1$ এবং বিরতি হয় $0$। (মেকিং$f^\prime$ ধ্রুবক এবং নেতিবাচক সমাধান উত্পাদন করে $f(x)=1-x$।)

n <- 51                      # Number of interpolation points
k.1 <- floor(n * 2/3)        # Width of the left-hand interval
k.2 <- n - k.1               # ............ right-hand interval
x <- seq(0, 1, length.out=n) # x coordinates
set.seed(17)

# Generate random values of the second derivative that are first negative,
# then positive.  Modify to suit.
y.2 <- (c(runif(k.1, -1, 0), 0.5*runif(k.2, 0, 1))) * abs(cos(3*pi * x)) + 
  c(rep(-.1, k.1), rep(.5,k.2))

# Recover the first derivative and then the transformation.  Control the 
# minimum slope of the transformation.
y.1 <- cumsum(y.2)
y.1 <- y.1 - min(y.1) + 0.005 * diff(range(y.1))
y <- cumsum(y.1)
y <- (y - y[1]) / (y[n] - y[1]) # Normalize the transformation

#
# Plot the graphs.
par(mfrow=c(1,3))
plot(x, y.2, type="l", bty="n", main="Second derivative")
points(x, y.2, pch=20, cex=0.5)
abline(h=0, col="Red", lty=3)
plot(x, y.1, type="l", bty="n", lwd=2, main="First derivative")
abline(h=0, col="Red", lty=3)
plot(x, y, type="l", lwd=2, main="Transformation")

Answer 4

আপনি এটির জন্য যা ব্যবহার করার চেষ্টা করছেন তা আমার পক্ষে বিশেষভাবে পরিষ্কার নয় তাই আমি এটি বলতে পারছি না যে এটি করা অর্থপূর্ণ তবে আপনার সমস্ত মানদণ্ডগুলি পূরণ করা মোটামুটি তুচ্ছ বলে মনে হচ্ছে।

• এস-আকৃতির বক্ররেখা

• প্যারামেট্রিক ফাংশন

• 0 থেকে 0 টি মানচিত্র, 1 টিতে 1 মানচিত্র, কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে

• সাধারণ ডেরাইভেটিভ

তাহলে কেবল [0,1] যার পিডিএফ "সরল", এর উপর অবিচ্ছিন্ন * বিতরণের কোনও সুবিধাজনক নির্দিষ্ট পরিবারকে কেন নিবেন না? এটি সেখানে আপনি তালিকাভুক্ত প্রতিটি অংশ পূরণ করে বলে মনে হচ্ছে।

* (যার মোডটি শেষের দিক থেকে সীমাবদ্ধ)

• এস-আকৃতির বক্ররেখার - অবিবাহিতা দ্বারা গ্যারান্টিযুক্ত (মোড সহ শেষ প্রান্তে নয়)

• প্যারামিট্রিক - যে নির্দিষ্ট প্যারামিটার রয়েছে তার নির্দিষ্ট পরিবার দিয়ে

• 0 তে 0 মানচিত্র, 1 টি 1 মানচিত্র কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে - [0,1] এ বিতরণ কার্যগুলি তাই করে; আপনার কেবল> 0 ইন (0,1) ঘনত্বের প্রয়োজন

• সাধারণ ডেরাইভেটিভ - এটি পিডিএফ, সুতরাং পিডিএফ যদি আপনার মাপদণ্ড অনুসারে যে কোনও মানদণ্ড অনুসারে "সরল" হয়, আপনি হয়ে গেছেন।

এগুলির একটি অসীম সংখ্যা রয়েছে (যেমন অ্যালেক্স আর বলেছেন)। তিনি যে বিটাটি উল্লেখ করেছেন তা একটি সুস্পষ্ট একটি, তবে সিডিএফ অসম্পূর্ণ বিটা ফাংশন, তাই আপনাকে মূল্যায়নের জন্য কিছু প্রয়োজন হবে --- এটি অনেকগুলি প্যাকেজে (প্রায় সমস্ত শালীন পরিসংখ্যান প্যাকেজ সহ) একটি স্ট্যান্ডার্ড ফাংশন, তাই আমি সন্দেহ করি যে কঠিন হতে তবে খেয়াল করুন যে সমস্ত বিটা একতত্র নয় (মোডটি প্রান্তে নেই), সুতরাং পরিবারটি এমন সিডিএফগুলিও অন্তর্ভুক্ত করে যা "" "আকারের নয়।

এখানে তিনটি যুক্তিযুক্ত সাধারণ পরিবারের ছবি দেওয়া হয়েছে:

আরও অনেক পছন্দ রয়েছে এবং নতুনগুলি সহজেই নির্মিত হতে পারে।

-

প্রশ্নের সম্পাদনার উত্তরে:

নোট করুন যে যে তিনটি পরিবারের আমি ছবি আঁকলাম তার তিনটিই ত্রিভুজাকার বিতরণের জন্য বাম-ডান শিফটগুলি পাওয়ার সহজ পদ্ধতি রয়েছে (i), প্যারামিটারটি সরাসরি বক্ররেখাকে বাম বা ডানে সরিয়ে দেয় (অর্থাত্ অসমমিতির ডিগ্রি নিয়ন্ত্রণ করে, $c=\frac12$প্রতিসম কেস); লজিটনের জন্য$\mu$প্যারামিটার অসমমিতি নিয়ন্ত্রণ করে; বিটা বিতরণের জন্য, এর চিহ্ন${\alpha-\beta}$ (সমতুল্য, এর চিহ্ন) $\frac{\alpha}{\alpha+\beta}-\frac12$) এটি নিয়ন্ত্রণ করে।