একটি বিযুক্ত এবং একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর যোগফল কি অবিচ্ছিন্ন বা মিশ্রিত?

তাহলে একটি বিযুক্ত এবং একটি ক্রমাগত দৈব চলক তারপর কি করতে আমরা ডিস্ট্রিবিউশন সম্পর্কে বলে ? এটি কি অবিচ্ছিন্ন নাকি মিশে গেছে? $X$ $Y$ $X+Y$

পণ্য সম্পর্কে কী ? $XY$

self-study distributions random-variable

— user666
সূত্র

উত্তর:

ধরুন মান অনুমান বিযুক্ত ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে , যেখানে একটি ধর্তব্য সেট, এবং মান অনুমান ঘনত্ব এবং সিডিএফ । $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

যাক । আমাদের প্রদত্ত জন্য ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপ অর্জন করতে আলাদা হতে পারে $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

এখন এবং । তারপরে যা ঘনত্বের ক্রিয়াটি পাওয়ার জন্য আবার আলাদা করা যেতে পারে। $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$

তবে যদি তবে , যা দেখায় যে এই ক্ষেত্রে এর 0 এ একটি পরমাণু রয়েছে। $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

— জরিস বিয়ারকেন্স
সূত্র

সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন সাথে একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে দিন , যেখানে একটি বিচ্ছিন্ন সেট (সম্ভবত অসীম অসীম)। র্যান্ডম ভেরিয়েবল নিম্নলিখিত সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে $X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

যেখানে হ'ল ডাইরাক ডেল্টা ফাংশন। $\delta$

যদি একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয় তবে একটি সংকর র্যান্ডম ভেরিয়েবল। যেমনটি আমরা এবং সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন জানি , আমরা এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি গণনা করতে পারি । Assuming যে এবং স্বাধীন, এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দেওয়া হয় সংবর্তন সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং $Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

— রদ্রিগো দে আজেভেদো
সূত্র

ডাউনটা কেন?

— রডরিগো ডি আজেভেদো

হ্যাঁ, আমি ডাউনওয়েট সম্পর্কেও কৌতূহল করছি

— ইয়ার দাওন

@ ইয়ার আমি এটিকে কম করে দেখিনি তবে এটি একটি বিভ্রান্তিকর এবং অসম্পূর্ণ উত্তরের মতো দেখাচ্ছে looks কেবল একটি ডায়রাক ডেল্টা হিসাবে একটি বিতরণ লিখতে এটি অবিচ্ছিন্ন হয় না! এই উত্তরটিও সীমাবদ্ধ যে (ক) এটি সাধারণ পৃথক বিতরণগুলি বিবেচনা করে না, যার মধ্যে পারমাণবিকের একটি অগণিত অনন্ততা থাকতে পারে এবং (খ) এটি স্পষ্টতই ধরে নেয় এবং স্বতন্ত্র।

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@ আমি (খ) এর সাথে একমত যাইহোক, এটি বলা হয় যে একটি বিচ্ছিন্ন আরভি "" হিসাবে ... "হিসাবে ভাবা যেতে পারে, সুতরাং আমি মনে করি এটি একটি আকর্ষণীয় দৃষ্টিভঙ্গি যুক্ত করেছে।

— ইয়ার দাওন

এই কারণেই আমি লিখেছিলাম যে আপনার উত্তর বিভ্রান্তিকর। কারণ প্রশ্নটি বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন বিতরণের মধ্যে পার্থক্যকে উদ্বেগ করে - এবং এই পার্থক্যটি গাণিতিক সংজ্ঞার বিষয়, "স্বাদ" নয় - আপনার দুটিকে বিভ্রান্ত করার প্রচেষ্টা সম্ভবত সহায়তার চেয়ে কম হতে পারে।

— whuber

এই উত্তরটি ধরে নেয় যে এবং স্বতন্ত্র। এখানে এমন একটি সমাধান রয়েছে যা অনুমানের প্রয়োজন নেই। $X$ $Y$

সম্পাদনা: আমি ধরে নিচ্ছি যে "অবিচ্ছিন্ন" অর্থ "পিডিএফ থাকা"। যদি অবিচ্ছিন্নতার পরিবর্তে অদম্য অর্থ বোঝানো হয় তবে প্রমাণটি একই রকম; কেবলমাত্র "লেবেসগু নল সেট" এর পরিবর্তে "সিঙ্গেলটন সেট" এর সাথে প্রতিস্থাপন করুন।

সমর্থনে যাক ধর্তব্য সেট হতে । আমি ব্যবহার করা হবে $X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

লেমমা: একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল অবিচ্ছিন্ন থাকে যদি এবং কেবল সমস্ত বোরেল পরিমাপযোগ্য সেট জন্য লেবেসগু পরিমাপ শূন্য থাকে। $Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

প্রমাণ: ব্যবহার করুন Lebesgue-রাডন-Nikodym উপপাদ্য । $\square$

অবিচ্ছিন্ন প্রমাণ করার জন্য, কোনও নাল সেট এবং নোট করুন যে কিন্তু যদি এবং কেবল যদি । স্থানান্তরিত সেট এখনও নাল। যেহেতু অবিচ্ছিন্ন, এর অর্থ , সুতরাং উপরের শূন্য, প্রমাণ করে ধারাবাহিক is $X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = \sum_{k} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

পণ্যগুলির প্রশ্নের জন্য, একই যুক্তিটি পর্যন্ত প্রযোজ্য । যদি , তারপর সঙ্গে বিযুক্ত হয় । অন্যথায়, হ'ল একটি অনিয়ন্ত্রিত মিশ্রণ। $P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

— মাইক আন্তরিক
সূত্র