বিপদের হারের পিছনে অন্তর্দৃষ্টি

16

বিপজ্জনক হারের সংজ্ঞা হিসাবে কাজ করে এমন সমীকরণ সম্পর্কে আমি বিভ্রান্ত। আমি বিপদের হার কী তা সম্পর্কে ধারণা পেয়েছি তবে সমীকরণটি কীভাবে স্বজ্ঞাততা প্রকাশ করে তা আমি কেবল দেখতে পাই না।

তাহলে $x$ একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের যা সময়ের ব্যবধানে কেউ মৃত্যুর সময় বিন্দু প্রতিনিধিত্ব করে $[0,T]$ । তারপরে বিপদের হারটি হ'ল:

h (x) = \frac{f (x)}{1 - F (x)}

$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$

যেখানে $F(x)$ সময় বিন্দু $x\in[0,T]$ ,
$1-F(x)$ অবধি সময় বিন্দু $x\in[0,T]$ ,
এবং অবধি বেঁচে থাকার সম্ভাবনা প্রতিনিধিত্ব করে $f(x)$ বিন্দুতে মৃত্যুর সম্ভাবনা । $x$

কিভাবে বিভাজক নেই $f(x)$ বেঁচে থাকার হার পরবর্তী মধ্যে ক্ষণিক মৃত্যুর সম্ভাবনা স্বজ্ঞা ব্যাখ্যা $\Delta t$ ? এটি কি কেবল হওয়া উচিত নয় $f(x)$ , বিপদের হারের গণনাকে তুচ্ছ করে তোলে?

survival intuition hazard

— user246315
সূত্র

11

মৃত্যুর সময়টিকে বোঝাতে দিন (বা ব্যর্থতার সময় যদি আপনি কম রোগীর বিবরণ পছন্দ করেন)। ধরুন যে একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার ঘনত্বের ফাংশন কেবলমাত্র ননজারো । এখন, নোটিশ এটি আবশ্যক ক্ষেত্রে যে হতে দূরে decays হিসাবে কারন যদি না ক্ষয় দূরে বিবৃত করে দাঁড়াও, অতঃপর $X$ $X$ $f(t)$ $(0,\infty)$ $f(t)$ $0$ $t \to \infty$ $f(t)$ ধরে রাখতে পারে না। সুতরাং, আপনার ধারণা যেসময়ে মৃত্যুর সম্ভাব্যতা (আসলে, এটাকরে (প্রায়) মৃত্যুর সম্ভাবনাসংক্ষিপ্তবিরতি এর দৈর্ঘ্য) এরূপ অবর্ণনীয় এবং অবিশ্বাস্য সিদ্ধান্তে নিয়ে যায় $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$ $f(T)$ $T$ $f(T)\Delta t$ $(T, T+\Delta t]$ $\Delta t$

আপনার বয়স আটানব্বই বছর বয়সী হওয়ার চেয়ে ত্রিশ বছর বয়সে পরবর্তী মাসের মধ্যে আপনার মৃত্যুর সম্ভাবনা বেশি।

যখনই এমন হয় তখন । $f(t)$ $f(30) > f(98)$

কারণ (অথবা ) চেহারায় "ভুল" সম্ভাব্যতা এ যে মান শুধুমাত্র যারা হয় সুদ হয় জীবিত বয়সে (মানসিকভাবে এবং এখনও পরিসংখ্যানগুলি পড়ার জন্য যথেষ্ট সতর্কতা SE নিয়মিত ভিত্তিতে এসএসই!) যা লক্ষ্য করা উচিত তা হ'ল পরবর্তী মাসের মধ্যে ইয়ার পুরাতন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা , অর্থাৎ, $f(T)$ $f(T)\Delta t$ $f(T)$ $T$ $T$

$\begin{aligned} P {(X \in (T, T + Δ t] ∣ X \geq T} & = \frac{P {(X \in (T, T + Δ t]) \cap (X \geq T)}}{P {X \geq T}} \\ definition of conditional probability \\ = \frac{P {X \in (T, T + Δ t]}}{P {X \geq T}} \\ = \frac{f (T) Δ t}{1 - F (T)} \\ because X is a continuous rv \end{aligned}$ $\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$

নির্বাচন একটি একপক্ষ, এক সপ্তাহ, এক দিন, এক ঘন্টা, এক মিনিট, ইত্যাদি আমরা উপসংহার আসা হতে পারে, (ক্ষণিক) বিপত্তি হার একটি জন্য বছর বয়সী $\Delta t$ $T$

$h (T) = \frac{f (T)}{1 - F (T)}$ $h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$

এই অর্থে যে কোনও ইয়ার পুরাতন পরবর্তী ফেমটোসেকেন্ড মৃত্যুর আনুমানিক সম্ভাবনা হ'ল $(\Delta t)$ $T$ $\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

নোট করুন যে ঘনত্বের সংহত করার বিপরীতে , অখণ্ড $f(t)$ $1$ অবশ্যই বিচ্যুত হবে। এটি কারণ সিডিএফ $\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$ বিপদের হারের সাথে সম্পর্কিত

এবং যেহেতু, এটি অবশ্যই

F (t) = 1 - \exp (- \int_{0}^{t} h (τ) d τ)

$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$

lim_{t \to \infty} F (t) = 1

$\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$

বা আরও আনুষ্ঠানিকভাবে বলা হয়েছে, বিপদের হারের অবিচ্ছেদ্যঅবশ্যইআলাদা হতে হবে:পূর্ববর্তী সম্পাদনার দাবি অনুসারেকোনওসম্ভাব্যবিচ্যুতিনেই।

lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} h (τ) d τ = \infty,

$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$

সাধারণ বিপদের হার সময়ের ক্রিয়া বাড়িয়ে তুলছে, তবে ধ্রুবক বিপদের হার (ক্ষতিকারক জীবনকাল) সম্ভব are এই উভয় ধরণের বিপদের হারের স্পষ্টতই বিবিধ সংহত রয়েছে। একটি কম সাধারণ পরিস্থিতি (যারা বিশ্বাস করেন যে বয়সের সাথে জিনিসগুলি উন্নত হয়, যেমন সূক্ষ্ম ওয়াইন হয়) হ'ল বিপদের হার যা সময়ের সাথে হ্রাস পায় তবে ধীরে ধীরে যথেষ্ট হয় যা অবিচ্ছেদ্য প্রসারিত হয়।

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

"এক্সকে মৃত্যুর সময়টি বোঝাতে দিন (বা আপনি যদি কম রোগের বিবরণ পছন্দ করেন তবে ব্যর্থতার সময়" recovery পুনরুদ্ধার হওয়া পর্যন্ত সময় আরও কম রোগী হয়

— ryu576

10

কল্পনা করুন যে আপনি পুরুষদের (প্রথম) বিবাহের ঘটনাগুলিতে আগ্রহী। 20 বছর বয়সে বিবাহের ঘটনাগুলি দেখার জন্য, বলুন, আপনি সেই বয়সে বিবাহিত না এমন লোকদের একটি নমুনা নির্বাচন করবেন এবং দেখুন যে তারা পরের বছরের মধ্যে বিবাহিত হয়েছেন কিনা (তারা 21 বছর বয়সে যাওয়ার আগে)।

আপনি এটির জন্য মোটামুটি অনুমান পেতে পারেন

P (m a r r y b e f o r e 21 | n o t m a r r i e d a t 20)

$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$ as the proportion of individuals who got married from your sample of single 20 year olds, i.e.

\frac{N (m a r r i e d b e f o r e 21 a n d n o t m a r r i e d a t 20)}{N (n o t m a r r i e d a t 20)}

$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$

So basically this is just using the definition of conditional probability,

P (X | Y) = \frac{P (X, Y)}{P (Y)} .

$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$ Now imagine we make the age unit smaller and smaller, up to days for example. I.e. what is the incidence of marriage at age of 7300 days? Then you would do the same, but survey all individuals of 7300 days and look who gets married before the end of the day. If

T

$T$ is a random variable age at marriage, then we could write

P (T \leq 7301) | T \geq 7300) = \frac{P (T \in [7300, 7301))}{P (T \geq 7300)}

$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$ by the same logic as before.

The hazard would then be the instantaneous probability of marriage at age $t$ , for a non-married individual. We can write this as

h (t) d t = P (T \in [t, t + d t) | T \geq t) = \frac{P (T \in [t, t + d t))}{P (T \geq t)}

$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$

— Theodor
সূত্র

5

$f(x)$ is not the probability of death, but the probability density; the expected number of times you die within the next unit of time if the probability density remained constant during that unit of time.

Notice there is a problem: your probability of dying when you already died before is rather problematic. So it makes more sense to compute the probability of dying conditional on having survived thus far. $1-F(t)$ it the probability of having survived until $t$ , so dividing the probabilty density by that probability, will get us the expected number of times we will die within the next unit of time conditional on not having died before. That is the hazard rate.

— Maarten Buis
সূত্র