ব্ল্যাকওয়েলের বাজি

Question

আমি ব্লুওয়েলের বাজে প্যারাডক্সটি ফিউলিটি ক্লোজেটে পড়েছি । এখানে সংক্ষিপ্তসারটি: আপনাকে দুটি খাম, এবং । খামগুলিতে এলোমেলো পরিমাণ অর্থ থাকে তবে আপনি অর্থ সম্পর্কে বিতরণ সম্পর্কে কিছুই জানেন না। আপনি একটি খুলুন, সেখানে কত টাকা আছে তা পরীক্ষা করুন ( ), এবং চয়ন করতে হবে: খামটি বা ?E y x E x E $E_x$$E_y$$x$$E_x$$E_y$

নিরর্থকতা ক্লোসেট লিওনার্ড ওয়াপনার নামে একজন গণিতবিদকে বোঝায়: "অপ্রত্যাশিতভাবে, অন্য খামটি খোলার অপ্রত্যাশিতভাবে আপনি কিছু করতে পারেন, এটি সঠিক হওয়ার সুযোগের চেয়ে নিজেকে আরও ভাল করার জন্য।"

ধারণাটি, যা আমার কাছে ভুল বলে মনে হচ্ছে, তা নিম্নরূপ: একটি এলোমেলো সংখ্যা চয়ন করুন । তাহলে গ্রহণ । যদি নির্বাচন ।d < x E x d > x E $d$$d < x$$E_x$$d > x$$E_y$

ওয়াপনার: "যদি ডি x এবং y এর মধ্যে পড়ে তবে আপনার ভবিষ্যদ্বাণী (ডি দ্বারা নির্দেশিত) সঠিক হওয়ার নিশ্চয়তা দেওয়া হচ্ছে। ধরুন এটি সম্ভাব্যতার সাথে ঘটে occurs যদি d এবং x এবং y উভয়ের চেয়ে কম পড়ে, তবে আপনার নির্বাচিত সংখ্যা x দুটির চেয়ে বড় হলেই আপনার ভবিষ্যদ্বাণীটি সঠিক হবে। এটির একটি 50 শতাংশ সম্ভাবনা রয়েছে। একইভাবে, ডি যদি উভয় সংখ্যার চেয়ে বেশি হয় তবে আপনার নির্বাচিত সংখ্যাটি দুটির চেয়ে কম হলে আপনার ভবিষ্যদ্বাণীটি সঠিক হবে। এটি 50 শতাংশ সম্ভাবনারও সাথে ঘটে। "

তাহলে সম্ভাব্যতা যে হয় শূন্য তার চেয়ে অনেক বেশী হয়, তাহলে এই পদ্ধতি গড় সাফল্য । এর অর্থ হ'ল কোনও সম্পর্কযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল পর্যবেক্ষণ করে আমাদের অতিরিক্ত তথ্য দেয়।[ x , y ] $d$$[x,y]$$\frac{1}{2} + \frac{p}{2}$

আমি মনে করি যে এটি সবই ভুল, এবং সমস্যাটি একটি এলোমেলো-ইন্টিজার-নম্বর চয়ন করার মধ্যে রয়েছে। এর মানে কী? পছন্দ, কোন পূর্ণসংখ্যা? সেক্ষেত্রে, সম্ভাব্যতা যে মধ্যে মিথ্যা এবং শূন্য, কারণ উভয় এবং সসীম হয়।d x y x $p$$d$$x$$y$$x$$y$

যদি আমরা বলি যে সর্বাধিক অর্থের সীমা রয়েছে, বলুন বা কমপক্ষে আমরা থেকে ডি বেছে তবে যদি এবং থাকলে নির্বাচন করা ।1 ... এম ই ওয়াই এক্স < এম / 2 ই এক্স x > এম /$M$$1...M$$E_y$$x < M/2$$E_x$$x > M/2$

আমি কি এখানে কিছু মিস করি?

সম্পাদনা

ঠিক আছে, এখন আমি দেখতে পেলাম যে স্পষ্ট প্যারাডক্সটি কোথা থেকে এসেছে। এটি আমার কাছে অসম্ভব বলে মনে হয়েছিল যে কোনও সম্পর্কযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল অতিরিক্ত তথ্য সরবরাহ করতে পারে।

তবে নোট করুন যে আমাদের সচেতনভাবে d এর বন্টন বেছে নেওয়া দরকার । উদাহরণস্বরূপ, সীমানা একটি অভিন্ন ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য নির্বাচন করুন, বা Poissionian বিতরণের ইত্যাদি স্পষ্টত, যদি আমরা চীনাবাদাম জন্য বাজানো হয়, এবং আমরা বিতরণের বেছে নেওয়া হয়েছে ঘ হবেন অভিন্ন ডলার, । এই শেষ সম্ভাবনা খাম এবং কী হতে পারে সে সম্পর্কে আমাদের বিচারের উপর প্রথম এবং সর্বাগ্রে নির্ভর করবে ।[ 10 9 , 2 ⋅ 10 9 ] পি ( d ∈ ( x , y ) ) = $\lambda$$[10^9, 2\cdot 10^9]$$P(d \in (x,y)) = 0$

অন্য কথায়, যদি কৌশলটি কাজ করে, তবে অনুমান করা যে খামের মধ্যে অর্থের বিতরণ কী তা আমরা জানি না (খামগুলির জন্য অর্থের পরিমাণ কীভাবে বেছে নেওয়া হয়েছিল) লঙ্ঘন করা হয়। যাইহোক, যদি আমরা প্রকৃতপক্ষে খামগুলিতে কী আছে তা জানি না, তবে সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতিতে আমরা এটি প্রয়োগ করে কোনও কিছুই আলগা করি না।

সম্পাদনা 2

আর একটি চিন্তা। প্রদত্ত , আসুন আঁকার জন্য , একটি ধ্রুবক অ-নেতিবাচক বিতরণ যেমন । আমাদের তা করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে, আমি কি সঠিক? আমরা নির্দেশ মতো এগিয়ে চলি - যদি , আমরা খামটি রাখি, যদি আমরা খামটি পরিবর্তন করি। যুক্তিটি পরিবর্তিত হয় না, নির্ভর করে আমরা কীভাবে বিতরণটি বেছে নিই তা হতে পারে এটি (অথবা আমি ভুল করছি?)।d P ( d < x ) = P ( d > x ) d < x d > x P ( d ∈ [ x , y ] ) > $x$$d$$P(d < x) = P(d > x)$$d < x$$d > x$$P(d \in [x, y]) > 0$

তবে, আমরা কীভাবে বিতরণটি বেছে নিলাম, এখন আমরা যা করি তা একটি কয়েন টসের সমতুল্য। আমরা একটি মুদ্রা টস করি, এবং যদি এটি মাথা হয় তবে আমরা খামগুলি পরিবর্তন করি, এটি যদি লেজ হয় তবে আমরা যে খামটি ধরে থাকি তা আটকে থাকি। আমি কোথায় ভুল করছি?

সম্পাদনা 3 :

ঠিক আছে, আমি এখন এটি পেয়েছি। আমরা সম্ভাবনা ফাংশন বেস তাহলে উপর (যেমন, আমরা নমুনা সীমার মধ্যে একটি অভিন্ন বিতরণ থেকে , তারপর সম্ভাব্যতা না স্বাধীন ।x d ( 1 , 2 ⋅ x ) P ( d ∈ ( x , y ) ) পি ( সঠিক সিদ্ধান্ত | d ∉ ( x , y ) $d$$x$$d$$(1, 2 \cdot x)$$P(d \in (x,y))$$P(\text{correct decision}|d \notin (x,y))$

সুতরাং, যদি (সম্ভাব্যতা সহ ) হয় তবে অনুমানটি সর্বদা আগের মতোই সঠিক। তাহলে কম নম্বর, তবে, এবং চেয়ে একটি উচ্চ সুযোগ রয়েছে কম হতে বেশী থাকার চেয়ে , তাই আমরা একটি ভুল সিদ্ধান্ত প্রতি পক্ষপাতমূলক করছে। দুটি সংখ্যার চেয়ে বেশি হলে একই যুক্তি প্রযোজ্য ।p x d ∉ ( x , y ) d x x $d \in (x,y)$$p$$x$$d \notin (x,y)$$d$$x$$x$$x$

তার মানে আমরা অঙ্কন প্রক্রিয়া নির্বাচন করতে আছে স্বাধীনভাবে । অন্য কথায়, আমাদের বিতরণের যে পরামিতিগুলি থেকে এবং আঁকা হয়েছে সে সম্পর্কে একটি অনুমান করা দরকার ; সবচেয়ে খারাপটি ঘটে তা হ'ল আমরা এখনও এলোমেলোভাবে অনুমান করি তবে সবচেয়ে ভাল হয় তা হ'ল আমাদের অনুমানটি সঠিক ছিল - এবং তারপরে আমাদের একটি সুবিধা রয়েছে। এটি "x এবং y হবে" অনুমান করার চেয়ে কীভাবে আরও ভাল হওয়া উচিত, আমি মনে করি, কমপক্ষে 1 $ হতে হবে তবে সর্বাধিক 10 $ , সুতরাং যদি , আমরা এটি রাখি, এবং যদি না হয় তবে আমরা এটির বিনিময় করব "আমি এখনও দেখা.x x y x > $d$$x$$x$$y$$x > 5$

আমি ওয়াপনারের বইতে অপ্রত্যাশিত প্রত্যাশা: একটি গাণিতিক ক্রিস্টাল বলের কৌরিওসিটিস-এর সমস্যার পপ-বিজ্ঞান গঠনের দ্বারা বিভ্রান্ত হয়েছিলাম , যা বলেছে

"যে কোনও উপায়ে, একটি এলোমেলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করুন" (ওয়াপনার জ্যামিতিক বিতরণের পরামর্শ দেয় - প্রথম মাথা না আসা পর্যন্ত টসিং কয়েন, হলে প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করে ) "যদি বেশি অনুমান করে এবং অনুমান করে নত করুন। (...) আপনি সময় শতাংশ সঠিকভাবে 50 চেয়েও বেশি অনুমান কারণ পয়েন্ট সঠিকভাবে সময় চেয়ে বেশি 50 শতাংশ! "d > x d < x $d=x$$d > x$$d < x$$d$

Comments

খুব ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত: stats.stackexchange.com/questions/95694

— whuber

এটি দুটি খামের সমস্যার দিক থেকে একেবারেই পৃথক যে: (1) দ্বি-খামে সমস্যাটি স্যুইচ করার জন্য প্রদত্ত যুক্তিটি মিথ্যাবাদী, যুক্তির ত্রুটিটি কোনও বায়েশিয়ান যুক্ত করার আগে দেখা যায় (2) যুক্তিটি ব্ল্যাকওয়েলের বাজি ধরে ওয়াপনার প্রদত্ত সঠিক

— ম্যাথু গুন

যদি খামগুলিতে অর্থের পরিমাণ এস সংখ্যার একটি সেটের স্বেচ্ছাসেবী উপাদান হয়, তবে ওয়াপনারের কৌশল কাজ করার জন্য পর্যাপ্ত এবং প্রয়োজনীয় শর্ত আপনি যে সংখ্যাটি সিটিতে কঠোরভাবে বাড়ানোর জন্য বেছে নেবেন তার সিডিএফের জন্য রয়েছে

— ইনস্টল করুন মনিকা

ঠিক আছে, আমি এখনও কিছু মিস করছি - দয়া করে আমার সম্পাদনা 2 দেখুন, তবে এটি আমার কাছে মনে হচ্ছে যেন আমরা কেবল একটি মুদ্রা টস করতে পারি এবং এটি এখনও যুক্তি অনুসারে কাজ করা উচিত। আমি কোথায় ভুল করছি?

— জানুয়ারী

Answer 1

এটি দ্বি-খামের সমস্যা হিসাবে বেশি পরিচিত । বেশিরভাগ ক্ষেত্রে পরিমাণগুলি এবং হিসাবে দেওয়া হয় তবে এটির ক্ষেত্রে এটি প্রয়োজন হয় না।2 $A$$2A$

কিছু বিষয়:

1. আপনি অভিন্ন ** এলোমেলো পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করতে পারবেন না , তবে উদ্ধৃত অংশটি এটি অভিন্ন হওয়ার প্রয়োজন বলে মনে হচ্ছে না। একটি বিতরণ চয়ন করুন - এটি তর্কের পক্ষে যা তা বিবেচনা করে না - যতক্ষণ না এটির কোনও সীমাবদ্ধ মান ছাড়িয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা থাকে।

2. উদ্ধৃত সিদ্ধান্তের নিয়মের সাথে পূর্ণসংখ্যাটি বেছে নেওয়ার কোনও অর্থ হবে না , কারণ অর্থটি পৃথক, যার অর্থ একটি ননজারো চান্স এবং এই মামলার জন্য তালিকাভুক্ত কিছুই নেই। (বা বিকল্পভাবে, তারা সমান হলে কি করবেন তা নির্দিষ্ট করে নিয়মটি সংশোধন করতে)d = $d$ $d=x$

3. এটিকে রেখে, আপনি কিছু অ-নেতিবাচক ক্রমাগত বিতরণ থেকে পছন্দ করতে পারেন - তবে আমাদের সমতার বিষয়ে চিন্তা করতে হবে না।$d$

* (আপনি অভিন্ন নেতিবাচক অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার বা অভিন্ন র্যান্ডম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যারও চয়ন করতে পারবেন না)

---

যদি আমরা বলি যে সর্বাধিক অর্থের সীমা রয়েছে, বলুন বা কমপক্ষে আমরা থেকে বেছে তবে যদি এবং থাকলে নির্বাচন করাডি 1 ... এম ই ওয়াই এক্স < এম / 2 ই এক্স x > এম /$M$$d$$1...M$$E_y$$x<M/2$$E_x$$x>M/2$

যদি এটা দেখা যাচ্ছে যে র্যান্ডম বন্টন যেখান থেকে বোঝায় নির্বাচিত এই কাজ করা উচিত (যদি আপনি 50-50 চেয়ে বহুগুণ বেশী দান); বিতরণ যদি এক অর্ধেক আটকে থাকে তবে তা হবে না।এম /$x$$M/2$

যাইহোক, এই গেমটির সংস্করণগুলি আমি প্রথম উপস্থাপিত হয়েছিল তা হল খামটি এমন কেউ দ্বারা উপস্থাপন করা হয়েছে যিনি (সম্ভবত) গেমটি থেকে আপনার আয়কে হ্রাস করার চেষ্টা করছেন। অন্যান্য খামে স্যুইচ করতে হবে কিনা তা সিদ্ধান্ত নিতে কোনও বিতরণ ব্যবহারের কৌশলটি এখনও সেই পরিস্থিতিতে কাজ করবে।

Comments

ঠিক আছে, পয়েন্টগুলি (২-৩) নেওয়া হয়েছে। সুতরাং, আমি যেমন একটি র্যান্ডম, অ-নেতিবাচক, একটানা বন্টন চয়ন করার অনুমতি দেওয়া করছি যে সঠিক? তবে সিদ্ধান্তটি মূলত একটি কয়েন টসের উপর ভিত্তি করে ... আমি কি ভুল করছি? P ( d < x ) = P ( d > x $d$$P(d < x) = P(d > x)$

— জানুয়ারী

আপনার মোটেও লাগবে না । আপনার দু'টি পরিমাণের মধ্যে পাওয়ার শূন্যতার কিছুটা সম্ভাবনা দরকার। $P(d<x)=P(d>x)$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

হ্যাঁ, তবে আমার ঘনত্বের ক্রিয়াটি হিসাবে আমার ইচ্ছামতো সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি রয়েছে , তাই না? আমি যুক্তিটিকে একটি অযৌক্তিক উপসংহারে নিয়ে যাওয়ার জন্য এটি করি। $d$

— জানুয়ারী

আপনার কৌশলটি এক্স এর একটি ক্রিয়াকলাপ তৈরি করে আপনি যখন ডি এবং এক্স এর মধ্যে থাকেন তখন নিজেকে সঠিক পছন্দ করার সুবিধা দিচ্ছেন না - আপনি গেমটি জেতা থেকে আপনার পথ নির্ধারণ করছেন। যদি আপনি যে লিঙ্কটি দাবী করেন যে এই জাতীয় কৌশল কার্যকর হবে তারা ভুল হতে পারে

— Glen_b -Rininate Monica

কি, ওয়াপনার যুক্তিতে, আমাকে ক্রিয়া হিসাবে করতে ব্যবহৃত সম্ভাব্যতা ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করতে নিষেধ করেছে ? যতক্ষণ , তার যুক্তিটি এখনও কাজ করা উচিত, আমি কি ভুল করছি? যদি আমি একটি একটানা, অ-নেগেটিভ বন্টন যে অন্তর্ভুক্ত ব্যবহার উপর (যেমন অভিন্ন বন্টন , তারপর আমি নিশ্চিত করছি যে, এই ক্ষেত্রে দেখা যায়। আর আমি সঠিক সিদ্ধান্ত নিতে যদি ।$d$$x$$P(d \in (x,y)) > 0$$x$$(1, 2 \cdot x)$$d \in (x,y)$

— জানুয়ারী

Answer 2

ওয়াপনারের যুক্তি সঠিক!

কিছু মন্তব্য:

• বর্ণিত কাট-অফ কৌশল অনুসরণ করা যেখানে আমরা খামগুলি স্যুইচ করি যদি প্রাক্তন পূর্বের প্রত্যাশায় সবচেয়ে খারাপ হয়। একটি ভাল পছন্দ সঙ্গে , এটি বেশ কার্যকর হতে পারে।$x < d$$d$
• আপনি যদি একটি Bayesian পূর্বে যুক্ত করে থাকেন (যেমন আপনি খামে টাকা প্রাথমিক ডিস্ট্রিবিউশন সম্পর্কে বিশ্বাসের যোগ করুন), আপনি অনুকূল মান সমাধান করতে পারে আপনার পূর্বের বিশ্বাসের দেওয়া।$d$
• কিছু নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে (যেমন আপনি যত বেশি পর্যবেক্ষণ করবেন, তত বেশি পরিমাণে আপনার বড় খাম পাওয়া গেল), কাট-অফ কৌশলটি এমনকি সর্বোত্তম।
• আরও সাধারণ বায়েশিয়ান সেটিংয়ে আপনি অনেক প্রবীণদের জন্য একটি সাধারণ কাটঅফ কৌশলের চেয়ে আরও ভাল করতে পারেন।

একটি সম্পর্কিত তবে ভিন্ন সমস্যা:

বেশ কয়েকটি @ গ্লেন_বি এবং @ ভুবার যেমন উল্লেখ করেছেন, সেখানে দুটি খামের সমস্যা হিসাবে পরিচিত একটি সম্পর্কিত ধাঁধা রয়েছে যেখানে সর্বদা খামগুলি স্যুইচ করার জন্য একটি মিথ্যাবাদী যুক্তি দেওয়া হয় এবং যুক্তির ত্রুটিটি একটি বয়েশিয়ান পদ্ধতির গ্রহণ করে এবং পূর্ববর্তী বিশ্বাসগুলি যুক্ত করে দেখা যায় দুটি খামের বিষয়বস্তু।

যদিও কিছু অর্থে এখানে বর্ণিত ধাঁধাটি ভিন্ন different ওয়াপনারের যুক্তি সঠিক!

Comments

ঠিক আছে, এখন আমি দেখতে পাচ্ছি যে প্যারাডক্সটি কোথা থেকে এসেছে। অথবা, সুনির্দিষ্ট হতে হবে যেখানে অতিরিক্ত তথ্য সিস্টেমে প্রবাহিত হয়। সচেতনভাবে ডি এর বিতরণটি বেছে নেওয়ার মাধ্যমে , আমরা উভয় খামে কম বেশি, কম পরিমাণে হওয়া উচিত সে সম্পর্কে আমাদের একটি পূর্ব জ্ঞান ব্যবহার করি। সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি, আমাদের জ্ঞান অকেজো, তবে পদ্ধতিটি গ্যারান্টি দেয় যে এটি ব্যবহার করা হলে আমরা কোনও অসুবিধায় পড়ব না।

— জানুয়ারী

কিছু চিন্তাভাবনার পরেও, আমি এখনও তা পাই না - সম্পাদনা 2 দেখুন

— জানুয়ারী

পরিস্থিতি (এ) ছোট খামটি এবং বড় খামে রয়েছে তা কল্পনা করুন । আসুন = 15 টি নির্বাচন করুন । সিদ্ধান্তের নিয়ম আপনাকে 100% সময়কে সঠিক পছন্দে নিয়ে যাবে! $10$$20$$d$$P(x < d) = P(x > d)$

— ম্যাথু গুন

এখন কিছু পরিস্থিতি (খ) পরীক্ষা করা যাক। কল্পনা করুন যে ছোট খামটি 1 থেকে 9 (উদাঃ 1 বা 3 বা 5 বা 7 বা 9) এর মধ্যে একটি বিজোড় সংখ্যক ডলার এবং বড় খামটিতে আরও 1 ডলার রয়েছে। চয়ন করুন এবং তারপর । যদিও এখানে, আপনার পুনরায় সিদ্ধান্তের নিয়মটি যদি সহায়ক না হয় তবে! এটা তোলে সঠিক সিদ্ধান্ত বাড়ে যদি বা এবং ভুল সিদ্ধান্ত যদি । সম্ভাব্য জোড়গুলি প্রত্যাহার করুন (1,2), (3, 4), (5, 6), (7, 8) (9, 10) this এই প্রাথমিক বিতরণটি জানতে অপ্টিমাল বায়সিয়ান জিনিসটি যদি আপনি দেখতে পান তবে এটি পুনরায় পোস্ট করা হবে বিজোড় অর্থ। পি ( x < d ) = পি ( x > ডি ) < 5.5 x = 1 , 3 , 5 , 6 , 8 , 10 x = 2 , 4 , 7 , $d = 5.5$$P(x<d) = P(x > d)$$< 5.5$$x = 1, 3, 5, 6, 8,$$10$$x = 2, 4, 7, 9$

— ম্যাথু গুন

আমরা এবং এর বিতরণ জানি না , সুতরাং আপনি যেভাবে প্রস্তাব দিয়েছিলেন তা আমরা এটি চয়ন করতে পারি না। একবার আমরা খামটি খোলার পরে, আমরা জানি , কিন্তু আমাদের ধারণা নেই যে এটি এলোমেলোভাবে 1 থেকে 9 এর পূর্ণসংখ্যার থেকে বেছে নেওয়া হয়েছিল এবং সুতরাং আমরা 5.5 হতে পছন্দ করতে পারি না । উপরে @ গ্লেন_ বি দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে, অবশ্যই একটি অ-নেতিবাচক, ক্রমাগত বিতরণ থেকে নেওয়া উচিত। y x d $x$$y$$x$$d$$d$

— জানুয়ারী

Answer 3

আমি এটি দেখে আগ্রহী হয়েছি এবং এটির সাথে এক্সেলে খেলার ব্যবহারিক পদ্ধতি গ্রহণ করেছি।

আমি 1-100 রেঞ্জের মধ্যে x, y এবং d এর জন্য তিনটি এলোমেলো সংখ্যা তৈরি করেছি। আমি তখন ডি এবং এক্স এবং এক্স এবং y এর মধ্যে তুলনা করেছি এবং ফলাফলটি সঠিক বা ভুলটির দিকে চেয়েছি।

পূর্বাভাস অনুযায়ী আমি এটি 500 বার করেছি এবং পুনরাবৃত্তি করেছি যে বেশ কয়েকবার এবং নিয়মিত সঠিক উত্তরটি পেয়েছি 330 out

আমি তখন ডি এর পরিধি 1-10000 এ বৃদ্ধি করেছি এবং সঠিক উত্তর 500 রানের জন্য প্রায় 260 এ নেমে গেছে।

হ্যাঁ, ডি নির্বাচন x এবং y এর প্রত্যাশিত মানগুলির উপর নির্ভরশীল।

বা BoB

Answer 4

আমি মনে করি পি + (1-পি) / 2 সমীকরণের ওয়াপনার সম্প্রসারণের সাথে আপাত প্যারাডাক্সটি এটি ধরে নিয়েছে যে (1-পি) / 2> 0। অনেক ধরণের ডি এর জন্য এই মান 0 হয়।

উদাহরণস্বরূপ: উন্মুক্ত খামে মানকে কেন্দ্র করে প্রতিসাম্য বিতরণ থেকে নির্বাচিত যে কোনও ডি ভুল 1/2 এবং সঠিক 1/2 হওয়ার সম্ভাবনা দেয়।

যেকোন অসমজাতভাবে বাছাই করা বিতরণ পছন্দটিকে 1/2 সময়কে ভুল উপায়ে দেখায়।

সুতরাং এই সমীকরণটি ধরে রাখার জন্য কি এর জন্য একটি পরিসর এবং বন্টন চয়ন করার কোনও উপায় আছে?