দুটি কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের যোগফল এবং একটি পণ্য কি কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হয়?

12

ধরুন আমার কাছে কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স এবং । এই বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি পরে কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সও হয়? $X$ $Y$

$X+Y$
$X^2$
$XY$

কিছুটা সমবায় ম্যাট্রিক্স হওয়ার জন্য ঠিক কী প্রয়োজন তা বুঝতে আমার কিছুটা সমস্যা হয়। আমি মনে করি এটির অর্থ উদাহরণস্বরূপ যদি , এবং যে 1 এর সত্য ধারণ করার জন্য আমাদের সেই থাকা উচিত , যেখানে এবং আরও কয়েকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। যাইহোক, আমি দেখতে পাচ্ছি না যে কেন এটি তিনটি বিকল্পের কোনওটির পক্ষে সত্য hold যে কোনও অন্তর্দৃষ্টি অ্যাপ্লিকেশন করা হবে। $X=\operatorname{cov}(X_1,X_2)$ $Y=\operatorname{cov}(Y_1,Y_2)$ $\operatorname{cov}(X_1,X_2) + \operatorname{cov}(Y_1,Y_2) = \operatorname{cov}(Z_1, Z_2)$ $Z_1$ $Z_2$

covariance covariance-matrix

— rbm
সূত্র

12

পটভূমি

এলোমেলো ভেরিয়েবল ভেক্টরের জন্য একটি কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির যে কোনও রৈখিক সংমিশ্রণের বৈকল্পিক গণনা করার জন্য একটি প্রক্রিয়া সূচিত করে। নিয়মটি হ'ল সহগের কোনও ভেক্টরের জন্য , $\mathbb{A}$ $X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)^\prime$ $\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

\begin{matrix} (1) & Var (λ X) = λ A λ^{'} . \end{matrix}

$\operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.\tag{1}$

অন্য কথায়, ম্যাট্রিক্সের গুণনের নিয়মগুলি রূপগুলির বিধিগুলি বর্ণনা করে।

Two এর দুটি বৈশিষ্ট্য তাত্ক্ষণিক এবং সুস্পষ্ট: $\mathbb{A}$

যেহেতু রূপগুলি স্কোয়ার মানগুলির প্রত্যাশা, সেগুলি কখনই নেতিবাচক হতে পারে না। সুতরাং, সমস্ত ভেক্টরগুলির জন্য mb ,কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স অবশ্যই অ-নেতিবাচক-নির্দিষ্ট হতে হবে। $\lambda$
$0 \leq Var (λ X) = λ A λ^{'} .$ $0 \le \operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.$
ভেরিয়েন্সগুলি কেবল সংখ্যা - বা, আপনি যদি ম্যাট্রিক্স সূত্রটি আক্ষরিকভাবে পড়েন তবে সেগুলি ম্যাট্রিক es সুতরাং, আপনি তাদের স্থানান্তর করার সময় এগুলি পরিবর্তন হয় না। ট্রান্সপোসিং দেয় যেহেতু এটি সমস্ত ধরে রাখে , তাই এর ট্রান্সপোজ সমান করতে হবে : কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিকগুলি অবশ্যই প্রতিসম হতে হবে। $1\times 1$ $(1)$
$λ A λ^{'} = Var (λ X) = Var (λ X)^{'} = {(λ A λ^{'})}^{'} = λ A^{'} λ^{'} .$ $\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime = \operatorname{Var}(\lambda X) = \operatorname{Var}(\lambda X) ^\prime = \left(\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime\right)^\prime = \lambda \mathbb{A}^\prime \lambda ^\prime.$ $\lambda$ $\mathbb{A}$ $\mathbb{A}^\prime$

গভীর ফলাফলটি হ'ল যে কোনও অ-নেতিবাচক-নির্দিষ্ট প্রতিসাম্য ম্যাট্রিক্স একটি সমবায় ম্যাট্রিক্স। $\mathbb{A}$ এর অর্থ আসলে সেখানে কিছু ভেক্টর-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবল রয়েছে with এর covariance হিসাবে। আমরা স্পষ্টভাবে নির্মাণ করে এটি প্রদর্শন করতে পারি । ওয়ান ওয়ে নোটিশ হয় যে (বহুচলকীয়) ঘনত্ব ফাংশন সম্পত্তি সঙ্গে এর covariance জন্য has রয়েছে । (যখন না হয় তখন কিছু উপাদেয়তা প্রয়োজন - তবে এটি কেবল একটি প্রযুক্তিগত বিবরণ)) $X$ $\mathbb{A}$ $X$ $f(x_1,\ldots, x_n)$

\log (f) \propto - \frac{1}{2} (x_{1}, \dots, x_{n}) A^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})^{'}

$\log(f) \propto -\frac{1}{2} (x_1,\ldots,x_n)\mathbb{A}^{-1}(x_1,\ldots,x_n)^\prime$

A

$\mathbb{A}$

A

$\mathbb{A}$

সলিউশন

যাক এবং ম্যাট্রিক হতে। স্পষ্টতই তারা বর্গক্ষেত্র; এবং যদি তাদের যোগফলটি কোনও ধারণা তৈরি করে তবে তাদের অবশ্যই একই মাত্রা থাকতে হবে। আমাদের কেবল দুটি বৈশিষ্ট্য পরীক্ষা করতে হবে। $\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$

যোগফল.
- প্রতিসম শো যোগফলটি প্রতিসম হয়। $(X + Y)^{'} = X^{'} + Y^{'} = (X + Y)$ $(\mathbb{X}+\mathbb{Y})^\prime = \mathbb{X}^\prime + \mathbb{Y}^\prime = (\mathbb{X} + \mathbb{Y})$
- অ-নেতিবাচক নির্দিষ্টতা। যাক যেকোন ভেক্টর হোন। তারপরে ম্যাট্রিক্স গুণনের মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে পয়েন্টটি প্রমাণ করে। $\lambda$ $λ (X + Y) λ^{'} = λ X λ^{'} + λ Y λ^{'} \geq 0 + 0 = 0$ $\lambda(\mathbb{X}+\mathbb{Y})\lambda^\prime = \lambda \mathbb{X}\lambda^\prime + \lambda \mathbb{Y}\lambda^\prime \ge 0 + 0 = 0$
আমি এটি একটি অনুশীলন হিসাবে ছেড়ে।
এই এক কৌশল। চ্যালেঞ্জিং ম্যাট্রিক্স সমস্যার মধ্য দিয়ে ভাবার জন্য আমি যে পদ্ধতিটি ব্যবহার করি তা হ'ল ম্যাট্রিকের সাথে কিছু গণনা করা । এই আকারের কিছু সাধারণ, পরিচিত কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিকেস রয়েছে, যেমন এবং সাথে । উদ্বেগ প্রকাশ করেছেন যে হয় পারে না , যে এটা একটি নেতিবাচক মান উত্পাদন পারে ভ্যারিয়েন্স কম্পিউটিং যখন: নির্দিষ্ট হতে পারে? এটি যদি হয় তবে ম্যাট্রিক্সে আমাদের আরও কিছু নেতিবাচক সহগ রয়েছে। যে প্রস্তাব দেওয়া বিবেচনা করা জন্য । আকর্ষণীয় কিছু পেতে, আমরা প্রাথমিকভাবে ম্যাট্রিকগুলিতে মাধ্যাকর্ষণ করতে পারি $2\times 2$
$(\begin{matrix} a & b \\ b & a \end{matrix})$ $\pmatrix{a & b \\ b & a}$ $a^2 \ge b^2$ $a \ge 0$ $\mathbb{XY}$ $X = (\begin{matrix} a & - 1 \\ - 1 & a \end{matrix})$ $\mathbb{X} = \pmatrix{a & -1 \\ -1 & a}$ $a \ge 1$ $\mathbb{Y}$ different বিভিন্ন চেহারার স্ট্রাকচার সহ। তির্যক ম্যাট্রিক্স যেমন মনে আসে, সঙ্গে । (লক্ষ্য করুন যে কীভাবে আমরা নির্দ্বিধায় কিছু এবং সহগকে বাছাই করতে পারি, কারণ আমরা কোনও মৌলিক বৈশিষ্ট্য পরিবর্তন না করে যে কোনও covariance ম্যাট্রিক্সের সমস্ত এন্ট্রি পুনরুদ্ধার করতে পারি This এটি আকর্ষণীয় উদাহরণগুলির সন্ধানকে সহজতর করে)) $Y = (\begin{matrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $\mathbb{Y} = \pmatrix{b & 0 \\ 0 & 1}$ $b\ge 0$ $-1$ $1$
আমি এটিকে আপনার কাছে গণনা করতে এবং পরীক্ষা করতে চাই যে এটি সর্বদা এবং কোনও অনুমোদিত মানের জন্য স্বতন্ত্র ম্যাট্রিক্স । $\mathbb{XY}$ $a$ $b$

— whuber
সূত্র

13

সত্যিকারের ম্যাট্রিক্স হল একটি কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স যদি এবং কেবলমাত্র যদি তা প্রতিসম ধনাত্মক আধা-নির্দিষ্ট হয়।

সংকেতগুলি:

$X$ $Y$ $X+Y$ $z^TX z \ge 0$ $z$ $z^TY z \ge 0$ $z$ $z^T(X+Y)z$

2) যদি প্রতিসম হয় তবে প্রতিসাম্য? যদি এর ইগেনালুগুলি অ-নেতিবাচক হয় তবে আপনি এর ইগেনালুগুলি সম্পর্কে কী উপসংহারে আসতে পারেন ? $X$ $X^2$ $X$ $X^2$

3) এবং যদি প্রতিসম হয়, আপনি কি প্রতিসাম্য বা সিদ্ধান্ত নিতে পারেন যে আপনি একটি পাল্টা উদাহরণ খুঁজে পেতে পারেন? $X$ $Y$ $XY$

— মার্ক এল স্টোন
সূত্র