সম্ভাব্যতার মধ্যে বনাম প্রায় নিশ্চিত রূপান্তর

Question

আমি এই দুটি পদক্ষেপের কনভার্সেশনের মধ্যে পার্থক্যটি সত্যই খুঁজে পাইনি। (বা আসলে, বিভিন্ন ধরণের রূপান্তরগুলির যে কোনও একটি, তবে আমি এই দুটি বিশেষত বিশেষত বৃহত সংখ্যার দুর্বল এবং শক্তিশালী আইনগুলির কারণে উল্লেখ করি))

অবশ্যই, আমি প্রত্যেকটির সংজ্ঞাটি উদ্ধৃত করতে পারি এবং তারা যেখানে পৃথক হয় তার একটি উদাহরণ দিতে পারি, তবে আমি এখনও এটি বেশিরভাগেই পাই না।

পার্থক্য বোঝার একটি ভাল উপায় কী? কেন পার্থক্য গুরুত্বপূর্ণ? তারা পৃথক যেখানে একটি বিশেষ স্মরণীয় উদাহরণ আছে?

Comments

এছাড়াও এর জবাব: stats.stackexchange.com/questions/72859/…

— kjetil b halvorsen

এর সম্ভাব্য নকলটি কি কোনও পরিসংখ্যান প্রয়োগ রয়েছে যার পক্ষে দৃ strong় ধারাবাহিকতা প্রয়োজন?

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

Answer 1

আমার দৃষ্টিকোণ থেকে পার্থক্যটি গুরুত্বপূর্ণ, তবে মূলত দার্শনিক কারণে। ধরে নিন আপনার কিছু ডিভাইস রয়েছে যা সময়ের সাথে উন্নতি করে। সুতরাং, আপনি যখনই ডিভাইসটি ব্যবহার করবেন তখন এটির ব্যর্থতার সম্ভাবনা আগের চেয়ে কম।

সম্ভাবনায় রূপান্তরটি বলে যে ব্যবহারের সংখ্যা অসীমের দিকে যাওয়ার কারণে ব্যর্থতার সম্ভাবনা শূন্যে চলে যায়। সুতরাং, ডিভাইসটি প্রচুর পরিমাণে ব্যবহার করার পরে, আপনি এটি সঠিকভাবে কাজ করার বিষয়ে খুব আত্মবিশ্বাসী হতে পারেন, এটি এখনও ব্যর্থ হতে পারে, এটি কেবল খুব কমই।

রূপান্তরটি অবশ্যই কিছুটা শক্তিশালী। এটি বলে যে মোট ব্যর্থতার সংখ্যা সীমাবদ্ধ । এটি হ'ল ব্যবহারের সংখ্যা অসীম হয়ে যাওয়ার সাথে সাথে যদি আপনি ব্যর্থতার সংখ্যা গণনা করেন তবে আপনি একটি সীমাবদ্ধ নম্বর পাবেন। এর প্রভাব নিম্নরূপ: আপনি যত বেশি বেশি ডিভাইসটি ব্যবহার করেন, আপনি কিছু সীমাবদ্ধ ব্যবহারের পরে সমস্ত ব্যর্থতা নিঃশেষ করবেন। তারপরে ডিভাইসটি পুরোপুরি কাজ করবে ।

শ্রীকান্ত যেমন উল্লেখ করেছেন, আপনি কখনই সমস্ত ব্যর্থতা অবসন্ন করেছেন তা আসলে আপনি জানেন না, তাই নিখুঁত ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে, দুটি রূপান্তরিত রূপের মধ্যে খুব বেশি পার্থক্য নেই।

তবে ব্যক্তিগতভাবে আমি অত্যন্ত আনন্দিত যে উদাহরণস্বরূপ, কেবলমাত্র দুর্বল আইনের বিপরীতে প্রচুর সংখ্যক শক্তিশালী আইন বিদ্যমান। কারণ এখন, আলোর গতি অর্জনের জন্য, একটি বৈজ্ঞানিক পরীক্ষা, গড় গ্রহণের পক্ষে যুক্তিযুক্ত। কমপক্ষে তত্ত্বে, পর্যাপ্ত তথ্য পাওয়ার পরে, আপনি নির্বিচারে আলোর সত্য গতির কাছাকাছি যেতে পারেন। গড় প্রক্রিয়াটিতে কোনও ব্যর্থতা (তবে অসম্ভব) be

গড় প্রক্রিয়ায় '' ব্যর্থতা (তবে অসম্ভব) 'দ্বারা আমি কী বোঝাতে চাই তা স্পষ্ট করে বলি। কিছু নির্বিচারে ছোট চয়ন করুন। আপনি প্রাপ্ত অনুমান আলোর গতি (অথবা অন্য কোনো পরিমাণ) কিছু `সত্য 'মূল্য আছে বলে । আপনি গড় গণনা করুন যেহেতু আমরা আরও ডেটা পেয়েছি ( বৃদ্ধি) আমরা প্রতিটি জন্য গণনা করতে পারি । দুর্বল আইন বলে (প্রায় কিছু অনুমানের অধীনে যে সম্ভাব্যতা) হিসাবে যায়$\delta > 0$$n$$X_1,X_2,\dots,X_n$$\mu$nএসএনএন=1

$$S_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k.$$ $n$$S_n$$n = 1,2,\dots$$X_n$ $$P(|S_n - \mu| > \delta) \rightarrow 0$$ $n$$\infty$। শক্তিশালী আইন বলছে যে বারের সংখ্যা সীমাবদ্ধের চেয়ে বড় (সম্ভাব্যতা 1 সহ)। এটি হ'ল, আমরা যদি সূচক ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত যেটি যখন ফিরে আসে এবং শূন্য অন্যথায়, তারপরে রূপান্তর করে। এটি আপনাকে এর মান সম্পর্কে যথেষ্ট আত্মবিশ্বাস দেয় কারণ এটি গ্যারান্টি দেয় (অর্থাত্ সম্ভাব্যতার সাথে 1) এমন কিছু সীমাবদ্ধ অস্তিত্বকে এমন করেসমস্ত জন্য (অর্থাত্ গড় কখনই জন্য ব্যর্থ হয় না$|S_n - \mu|$$\delta$$I(|S_n - \mu| > \delta)$∞ ∑ n = 1 আমি ( | এস এন - μ | > δ ) এস এন এন 0 | এস এন - μ | < δ n > n 0 n > n $|S_n - \mu| > \delta$ $$\sum_{n=1}^{\infty}I(|S_n - \mu| > \delta)$$ $S_n$$n_0$$|S_n - \mu| < \delta$$n > n_0$$n > n_0$)। নোট করুন যে দুর্বল আইন এরকম কোনও গ্যারান্টি দেয় না।

Comments

ধন্যবাদ, আমি অসীম সিরিজের পয়েন্ট-ভিউয়ের রূপান্তরটি পছন্দ করি!

— রেগটিন

আমি মনে করি আপনি গণনাযোগ্য এবং প্রয়োজনীয় সীমাবদ্ধ নয়, আমি কি ভুল করছি? বা আমি ইন্টিগ্রাল সঙ্গে মিশ্রিত করছি?

— রায়

আরও নির্ভুলভাবে বলতে গেলে, ঘটনার সেটটি (বা না) শূন্যের পরিমাপের সাথে হয় -> শূন্য হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে।

— রায়

আমি নিশ্চিত নই যে আমি যুক্তিটি বুঝতে পেরেছি যা প্রায় নিশ্চিতভাবে আপনাকে "যথেষ্ট আত্মবিশ্বাস" দেয়। আপনি যে এখনও পৌঁছেছেন তা কেবলমাত্র থাকার কারণে আপনাকে জানায় না। সীমাবদ্ধতার অর্থ অগত্যা ছোট বা ব্যবহারিকভাবে অর্জনযোগ্য নয়। নিজেই শক্তিশালী আইন আপনাকে বলেছে না যে আপনি কখন পৌঁছেছেন বা কখন আপনি । n $n_0$$n_0$

— জোসেফ গারভিন

Answer 2

আমি এই প্রশ্ন থেকেই উত্তর হয়েছে (এবং বেশ ভাল, আমার দৃষ্টিতে), কিন্তু একটি ভিন্ন প্রশ্ন ছিল এখানে যা ছিল একটি মন্তব্য @NRH যে গ্রাফিক্যাল ব্যাখ্যা উল্লেখ করা হয়েছে, এবং বদলে ছবি লাগাতে সেখানে এটা আরো মানানসই মনে হবে তাদের এখানে রাখুন।

সুতরাং, এখানে যায়। এটি আর প্যাকেজের মতো দুর্দান্ত নয়। তবে এটি স্ব-অন্তর্ভুক্ত এবং জেএসটিওআর-র সাবস্ক্রিপশন প্রয়োজন হয় না।

নিম্নলিখিতটিতে আমরা একটি সাধারণ এলোমেলো হাঁটার কথা বলছি, সমান সম্ভাবনা সহ, এবং আমরা চলমান গড় গণনা করছি, এস $X_{i}= \pm 1$

$$\frac{S_{n}}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},\quad n=1,2,\ldots.$$

এসএলএলএন (প্রায় নিশ্চিতভাবে রূপান্তর) বলেছে যে আমরা 100% নিশ্চিত হতে পারি যে ডানদিকে প্রসারিত এই বক্ররেখার অবশেষে, কিছু সীমাবদ্ধ সময়ে পুরোপুরি ব্যান্ডগুলির মধ্যে পরে চিরকালের পরে (ডানদিকে) পড়ে যাবে।

এই গ্রাফটি তৈরি করতে ব্যবহৃত আর কোডটি নীচে রয়েছে (ব্রেভিটির জন্য প্লটের লেবেল বাদ দেওয়া হয়েছে)।

n <- 1000;  m <- 50; e <- 0.05
s <- cumsum(2*(rbinom(n, size=1, prob=0.5) - 0.5))
plot(s/seq.int(n), type = "l", ylim = c(-0.4, 0.4))
abline(h = c(-e,e), lty = 2)

---

ডাব্লুএলএলএন (সম্ভাব্যতায় রূপান্তর) বলেছে যে নমুনা পাথের একটি বৃহত অংশ ডানদিকে থাকা ব্যান্ডগুলিতে থাকবে, সময় (উপরের জন্য এটি 50 এর মধ্যে 48 বা 9 এর মতো দেখাচ্ছে)। আমরা কখনই নিশ্চিত হতে পারি না যে কোনও নির্দিষ্ট বক্ররেখা যে কোনও সীমাবদ্ধ সময়ে ভিতরে থাকবে তবে এটির উপরে নুডলসের ভর দেখলে এটি বেশ নিরাপদ বাজি হয়ে উঠবে। ডাব্লুএলএলএন আরও বলেছে যে প্লটটি পর্যাপ্ত প্রশস্ত করে আমরা নুডলসের অনুপাতটিকে 1 এর কাছাকাছি করতে পারি 1$n$

গ্রাফের জন্য আর কোড অনুসরণ করে (আবার, লেবেলগুলি এড়িয়ে চলেছে)।

x <- matrix(2*(rbinom(n*m, size=1, prob=0.5) - 0.5), ncol = m)
y <- apply(x, 2, function(z) cumsum(z)/seq_along(z))
matplot(y, type = "l", ylim = c(-0.4,0.4))
abline(h = c(-e,e), lty = 2, lwd = 2)

Answer 3

আমি এটি নীচে বুঝতে পারি,

সম্ভাবনা রূপান্তর

সম্ভাব্যতা যে র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমটি লক্ষ্য মানের সমান হয় তাত্পর্যপূর্ণভাবে হ্রাস পাচ্ছে এবং 0 এ পৌঁছায় তবে আসলে 0 হয় না।

প্রায় নিশ্চিত রূপান্তর

এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রম লক্ষ্যহীনতার সাথে সমান হবে তবে কী ঘটবে তা আপনি ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারবেন না।

প্রায় নিশ্চিতভাবেই কনভার্জেন্সটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রমের আচরণের জন্য একটি শক্তিশালী শর্ত কারণ এটিতে বলা হয়েছে যে "কিছু একটা অবশ্যই ঘটবে" (আমরা কখন জানি না)। এর বিপরীতে, সম্ভবত অভিসৃতি যে "কিছু সম্ভাবনা" যখন কিছু ঘটতে পারে " না ঘটছে" এসিম্পটোটিকভাবে কমে যায় কিন্তু কখনো আসলে 0. (কিছু ছুঁয়েছে একটি নির্দিষ্ট মান সমকেন্দ্রি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটা ক্রম)।$\equiv$

উইকি উভয় কিছু উদাহরণ যা (PROB মধ্যে অভিসৃতি প্রেক্ষাপটে এবং প্রায় নিশ্চিত অভিসৃতি প্রেক্ষাপটে দাতব্য উদাহরণে তীরন্দাজ এর উদাহরণ দেখুন বিশেষ) উপরে নির্মল সাহায্য করা উচিত হয়েছে।

ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে, সম্ভাব্যতার মধ্যে রূপান্তর যথেষ্ট কারণ আমরা খুব সম্ভবত সম্ভাব্য ঘটনাগুলির বিষয়ে যত্ন নিই না। উদাহরণস্বরূপ, একজন অনুমানকারীর ধারাবাহিকতা হ'ল সম্ভাবনার ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় রূপান্তর। সুতরাং, একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ অনুমান ব্যবহার করার সময়, আমরা স্পষ্টভাবে স্বীকার করি যে বড় নমুনাগুলিতে খুব কম সম্ভাবনা রয়েছে যে আমাদের অনুমানটি সত্য মানের থেকে অনেক দূরে। আমরা সম্ভাবনার রূপান্তরটির এই 'ত্রুটি' নিয়ে বেঁচে থাকি কারণ আমরা জানি যে অ্যাসেম্পোটোটিকভাবে সত্য থেকে দূরে থাকার অনুমানের সম্ভাবনাটি খুব অদৃশ্য।

Comments

চেষ্টা করা সম্পাদক যুক্তি দেখিয়েছেন যে এটি পড়া উচিত, "সম্ভাব্যতা যে এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রম লক্ষ্য মানের সমান হয় না ..."।

— গাং

"এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রমটি লক্ষ্য মানের সমান হওয়ার সম্ভাবনা হ'ল asyptotically হ্রাস এবং 0 এ পৌঁছায় তবে বাস্তবে কখনই 0 পায় না।" এটি কি আসলেই কখনও 0 অর্জন করে না?

— জ্যোতিষ রবিন

@ গ্যাং সম্ভাব্যতা যে এটি লক্ষ্য মানের সাথে 1 সমান হয় বা সম্ভাবনা যে এটি লক্ষ্য মানগুলির সাথে সমান হয় না 0 বর্তমান সংজ্ঞাটি ভুল।

— আন্ডারথারিনবো

Answer 4

আপনি যদি ভিজ্যুয়াল ব্যাখ্যা উপভোগ করেন তবে আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ (নীচে উদ্ধৃত) এ বিষয়ে একটি দুর্দান্ত 'শিক্ষকের কর্নার' নিবন্ধ ছিল। বোনাস হিসাবে, লেখাগুলি শেখার সুবিধার্থে একটি আর প্যাকেজ অন্তর্ভুক্ত করেছিল ।

@article{lafaye09,
  title={Understanding Convergence Concepts: A Visual-Minded and Graphical Simulation-Based Approach},
  author={Lafaye de Micheaux, P. and Liquet, B.},
  journal={The American Statistician},
  volume={63},
  number={2},
  pages={173--178},
  year={2009},
  publisher={ASA}
}

Answer 5

এই শেষ লোকটি এটি খুব ভালভাবে ব্যাখ্যা করে। আপনি সম্ভাব্যতা 1 / n এবং অন্যথায় শূন্য সহ র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সএন = 1 এর ক্রম নেন। এটি সম্ভাব্যতায় শূন্যে রূপান্তরিত করে এমন সীমাবদ্ধতা গ্রহণ করা সহজ, তবে প্রায় নিশ্চিতভাবে রূপান্তর করতে ব্যর্থ হয়। যেমনটি তিনি বলেছিলেন, সম্ভাবনার বিষয়টি আমাদের যত্নশীল নয় যে আমরা রাস্তায় নামতে পারি। প্রায় অবশ্যই।

প্রায় অবশ্যই সম্ভাবনার একত্রিতকরণ বোঝায়, কিন্তু ইয়াহ এর অন্য উপায়ে নয়?

Comments

@ টিম-ব্রাউন, সাইটে আপনাকে স্বাগতম, আমরা এখানে প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আপনার সহায়তার প্রশংসা করি। একটি বিষয় লক্ষণীয় যে উত্তরদাতার ব্যবহারকারীর নাম দ্বারা অন্যান্য উত্তরগুলি সনাক্ত করা ভাল, "এই শেষ লোক" খুব কার্যকর হবে না। উদাহরণস্বরূপ, লোকেরা ভোট দেওয়ার সাথে সাথে তালিকাকে সময়ের সাথে সাথে পুনরায় অর্ডার দেওয়া হবে। আপনি আমাদের প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্নগুলি পড়তে চাইতে পারেন ।

— গাং

Answer 6

একটি জিনিস যা আমাকে পার্থক্য বুঝতে সাহায্য করেছিল তা হল নীচের সমতুল্যতা

∀ ε > $P({\lim_{n\to\infty}|X_n-X|=0})=1 \Leftarrow \Rightarrow \lim_{n\to\infty}({\sup_{m>=n}|X_m-X|>\epsilon })=0$ $\forall \epsilon > 0$

তুলনায় স্টোকাস্টিক রূপান্তর:

∀ ϵ > $\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|>\epsilon) = 0$ $\forall \epsilon >0$

উপরের সমতলের ডান দিকটি স্টোকাস্টিক কনভার্জেন্সের সাথে তুলনা করার সময়, পার্থক্যটি আরও স্পষ্ট হয়ে ওঠে বলে আমি মনে করি।