যখন কোনও ইউএমপি নেই সেখানে প্রত্যাখ্যান অঞ্চলকে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করবেন?

লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেল বিবেচনা করুন

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta}+\mathbf{u}$ ,

$\mathbf{u}\sim N(\mathbf{0},\sigma^2\mathbf{I})$ ,

$E(\mathbf{u}\mid\mathbf{X})=\mathbf{0}$ ।

যাক বনাম । $H_0: \sigma_0^2=\sigma^2$ $H_1: \sigma_0^2\neq\sigma^2$

আমরা সেই , যেখানে । এবং the ম্যাট্রিক্সের সাধারণ স্বরলিপি, , যেখানে পরিবর্তনশীল উপর regressed । $\frac{\mathbf{y}^T\mathbf{M_X}\mathbf{y}}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-k)$ $dim(\mathbf{X})=n\times k$ $\mathbf{M_X}$ $\mathbf{M_X}\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}$ $\hat{\mathbf{y}}$ $\mathbf{y}$ $\mathbf{X}$

আমি যে বইটি পড়ছি তা নীচে উল্লেখ করেছে:

আমি পূর্বে জিজ্ঞাসা করেছি কোন প্রত্যাখ্যান অঞ্চল (আরআর) সংজ্ঞায়িত করতে কোন মানদণ্ডটি ব্যবহার করা উচিত, এই প্রশ্নের উত্তর দেখুন এবং প্রধানটি ছিল সেই আরআর নির্বাচন করা যা পরীক্ষাকে যতটা সম্ভব শক্তিশালী করে তুলেছিল।

এক্ষেত্রে বিকল্পটি দ্বিপক্ষীয় সম্মিলিত হাইপোথিসিস হওয়ার সাথে সাথে সাধারণত কোনও ইউএমপি পরীক্ষা হয় না। এছাড়াও, বইটিতে দেওয়া উত্তরের মাধ্যমে, লেখকরা তাদের আরআরটির শক্তি সম্পর্কে অধ্যয়ন করেছেন কিনা তা দেখান না। তবুও, তারা একটি দ্বি-পুচ্ছ আরআর বেছে নিয়েছে। কেন, অনুমানটি 'একতরফাভাবে' আরআর নির্ধারণ করে না কেন?

সম্পাদনা করুন: এই চিত্রটি 4.14 অনুশীলনের সমাধান হিসাবে এই বইয়ের সমাধান ম্যানুয়ালটিতে রয়েছে ।

— সমুদ্রের এক বৃদ্ধা।
সূত্র

দয়া করে বইটিতে একটি রেফারেন্স যুক্ত করুন। সম্পর্কিত: অসমমিত নাল বিতরণ সহ একটি দ্বি-পুচ্ছ পরীক্ষায় পি-মান ।

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন

লিঙ্কের জন্য ধন্যবাদ আমি কি আপনাকে এই প্রশ্ন সম্পর্কে কিছু জিজ্ঞাসা করতে পারি? আপনি এটি আকর্ষণীয় মনে করেন? আমি মূল্যায়ন করার চেষ্টা করছি আমি আকর্ষণীয় প্রশ্ন করছি কিনা, বা আমার আগ্রহগুলি অন্য ক্ষেত্রগুলির দিকে পরিচালিত করা উচিত কিনা ...

— সমুদ্রের একজন বৃদ্ধ।

প্রত্যেকে অবশ্যই তত্ত্বটি আকর্ষণীয় মনে করে না তবে কিছু লোক (আমাকে সহ) করে এবং আমরা প্রায় 2 কে কিউএস ট্যাগmathematical-statistics দিয়েছি । সুতরাং, একটি সূক্ষ্ম q। আইএমও। এটি সামান্য বিস্তৃত তবে আমার মনে হয় একটি উত্তম উত্তর বিভিন্ন পন্থা এবং বিবেচনার জরিপ করবে এবং একটি অনুপ্রেরণামূলক উদাহরণ অনেক সহায়তা করে। (আমি যতটা সম্ভব সহজ উদাহরণ বেছে নিয়েছি যদিও - সাধারণ বিতরণের বিবিধতা সম্পর্কে জ্ঞাত অর্থ, বা তাত্ক্ষণিক বন্টনের গড় সম্পর্কে পরীক্ষা করা হয়েছে)] [বিটিডাব্লু আমি প্রায়শই কিউএস-এ ভোট দিতে ভুলে যাই যখন আমি সে সম্পর্কে মন্তব্য করি) ।]

— Scortchi - পুনর্বহাল মনিকা

আপনার প্রতিক্রিয়া জন্য @ স্কার্টচি ধন্যবাদ। কখনও কখনও আমি নিশ্চিত না যে আমি প্রশ্নটি ভালভাবে গঠন করি কিনা, যেহেতু আমি নিজেই এই বিষয়ে অধ্যয়ন করছি।

— সমুদ্রের এক বৃদ্ধ।

আপনার

M_{X}

$M_X$

— টেইলর

উত্তর:

রিগ্রেশন সহগগুলি জানা যায় এবং নাল অনুমানটি তাই সহজ through তারপরে পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান হ'ল , যেখানে হল অবশিষ্টাংশ; শূন্যের নীচে এর বিতরণটি একটি চি-স্কোয়ার্ডও দ্বারা স্কেল করে থাকে & নমুনার আকার সমান স্বাধীনতার ডিগ্রি সহ । $T=\sum z^2$ $z$ $\sigma^2_0$ $n$

সম্ভাবনার অনুপাতটি & এবং নিশ্চিত করুন যে এটি কোনও জন্য এর ক্রমবর্ধমান ফাংশন : $\sigma=\sigma_1$ $\sigma=\sigma_2$ $T$ $\sigma_2 > \sigma_1$

লগ সম্ভাবনা অনুপাতের ক্রিয়াটি হ'ল , & সরাসরি সমানুপাতিকধনাত্মক গ্রেডিয়েন্ট যখন সঙ্গে।
$ℓ (σ_{2}; টি, এন) - ℓ (σ_{1}; টি, এন) = \frac{এন}{2} \cdot [লগ (\frac{σ_{1}^{2}}{σ_{2}^{2}}) + + \frac{টি}{এন} \cdot (\frac{1}{σ_{1}^{2}} - \frac{1}{σ_{2}^{2}})]$ $\ell(\sigma_2;T,n)-\ell(\sigma_1;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right) + \frac{T}{n} \cdot \left(\frac{1}{\sigma_1^2} - \frac{1}{\sigma_2^2}\right) \right]$ $T$ $\sigma_2>\sigma_1$

সুতরাং কার্লিন – রুবিন উপপাদ্য দ্বারা প্রতিটি এক-লেজযুক্ত পরীক্ষার বনাম এবং বনাম একরকম সবচেয়ে শক্তিশালী। স্পষ্টতই বনাম এর কোনও ইউএমপি পরীক্ষা নেই । যেমনটি এখানে আলোচনা করা হয়েছে $H_0:\sigma=\sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$ $H_0:\sigma = \sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$ $H_0:\sigma = \sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$ উভয় এক-লেজযুক্ত পরীক্ষা চালিয়ে যাওয়া এবং একাধিক তুলনা সংশোধন প্রয়োগ করে উভয় লেজগুলিতে সমান আকারের প্রত্যাখ্যান অঞ্চলগুলির সাথে সাধারণভাবে ব্যবহৃত পরীক্ষার দিকে পরিচালিত হয়, এবং আপনি যখন দাবি করতে যাচ্ছেন তখন এটি বেশ যুক্তিসঙ্গত হয় বা আপনি নাল প্রত্যাখ্যান করার সময়। $\sigma>\sigma_0$ $\sigma<\sigma_0$

পরবর্তী অধীনে likelihoods অনুপাত এটি , এর সর্বোচ্চ-সম্ভাবনা অনুমান , & : $\sigma=\hat\sigma$ $\sigma$ $\sigma=\sigma_0$

হিসাবে , লগ সম্ভাবনা অনুপাত পরীক্ষার পরিসংখ্যান হয় $\hat\sigma^2=\frac{T}{n}$
$ℓ (\hat{σ}; টি, এন) - ℓ (σ_{0}; টি, এন) = \frac{এন}{2} \cdot [লগ (\frac{এন σ_{0}^{2}}{টি}) + + \frac{টি}{এন σ_{0}^{2}} - 1]$ $\ell(\hat\sigma;T,n)-\ell(\sigma_0;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{n\sigma_0^2}{T}\right) + \frac{T}{n\sigma_0^2} - 1 \right]$

$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$ $H_0:\sigma = \sigma_0$ $T$

$\sigma$

$\frac{ঘ ℓ (σ; টি, এন)}{ঘ σ} = \frac{টি}{σ^{3}} - \frac{এন}{σ}$ $\frac{\mathrm{d}\,\ell(\sigma;T,n)}{\mathrm{d}\,\sigma}=\frac{T}{\sigma^3} - \frac{n}{\sigma}$

$\sigma_0$ $H_0:\sigma=\sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$

$\alpha$ $\phi(T)= 1$ $T<c_1$ $T>c_2$ $\phi(T)= 0$

\begin{aligned} ই (φ (টি)) & = α \\ ই (টি φ (টি)) & = α ই টি \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{E}(\phi(T)) &= \alpha \\ \operatorname{E}(T\phi(T)) &= \alpha \operatorname{E} T \end{align}$

সমতল-অঞ্চলগুলির পরীক্ষায় এবং এটি কীভাবে উত্থাপিত হয় তা প্লট পক্ষপাতদর্শন দেখাতে সহায়তা করে:

$\sigma$ $\sigma_0$

পক্ষপাতহীন হওয়া ভাল; তবে এটি স্ব-স্পষ্ট নয় যে বিকল্পের মধ্যে প্যারামিটার স্পেসের একটি ছোট অঞ্চলের চেয়ে আকারের চেয়ে সামান্য কম শক্তি থাকা এতটাই খারাপ যে পুরোপুরি একটি পরীক্ষা বাতিল করতে পারে।

উপরের দুটি লেজযুক্ত পরীক্ষাগুলির মধ্যে দুটি মিলছে (এই ক্ষেত্রে, সাধারণভাবে নয়):

নিরপেক্ষ পরীক্ষার মধ্যে এলআরটি হ'ল ইউএমপি। যে ক্ষেত্রে এটি সত্য নয় এলআরটি এখনও তাত্পর্যপূর্ণভাবে পক্ষপাতহীন হতে পারে।

আমি সব, এমনকি ওয়ান-টেইলড পরীক্ষার মনে করি, গ্রাহ্য হয়, অর্থাত কোন পরীক্ষা অধিক শক্তিশালী বা শক্তিশালী অধীনে সব বিকল্প-আপনি শুধুমাত্র অন্য বিকল্প বিরুদ্ধে এটি কম শক্তিশালী করার মাধ্যমে এক দিক বিকল্প বিরুদ্ধে পরীক্ষা অধিক শক্তিশালী করতে পারেন অভিমুখ. নমুনার আকার বাড়ার সাথে সাথে চি-স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশন আরও বেশি প্রতিসাম্যীতে পরিণত হয় এবং দুটি-লেজযুক্ত পরীক্ষাগুলি একই রকম হয়ে যায় (সহজ সমান-লেজযুক্ত পরীক্ষাটি ব্যবহারের আর একটি কারণ)।

সংমিশ্রিত নাল হাইপোথিসিসের সাথে যুক্তিগুলি আরও জটিল হয়ে ওঠে তবে আমি মনে করি আপনি ব্যবহারিকভাবে একই ফলাফল পেতে পারেন, মিউট্যাটিস মিউট্যান্ডিস। মনে রাখবেন যে এক-লেজযুক্ত পরীক্ষাগুলির অন্য একটি নয় তবে ইউএমপি!

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

আপনার উত্তরের জন্য স্কর্চচি ধন্যবাদ। যদিও আমার এখনও কিছু সন্দেহ রয়েছে। প্রথমত, আপনি নিম্নলিখিত বাক্যটি আরও কিছুটা ব্যাখ্যা করতে পারেন? Multiple একাধিক তুলনা সংশোধন প্রয়োগ করে উভয় লেজগুলিতে সমান আকারের প্রত্যাখ্যান অঞ্চলগুলির সাথে সাধারণভাবে ব্যবহৃত পরীক্ষার দিকে পরিচালিত হয় এবং আপনি যখন নালটিকে প্রত্যাখ্যান করেন তখন আপনি যে that> σ0 বা σ <either0 দাবি করতে যাচ্ছেন এটি বেশ যুক্তিসঙ্গত » এছাড়াও আপনি কেন এটি যুক্তিসঙ্গত বলছেন? আমি মনে করি এটি আমার প্রশ্নের মূল কারণ যদি আমি ভুল না করি। ;)

— সমুদ্রের এক বৃদ্ধা।

আমি এই অনুচ্ছেদে আপনার লিঙ্কিত উত্তরটি পড়েছি, তবে আমি এটি ভালভাবে বুঝতে পারি নি «সর্বনিম্ন এক-লেজযুক্ত পি-মান দ্বিগুণ করা দুটি এক-লেজযুক্ত পরীক্ষা করার জন্য একাধিক তুলনা সংশোধন হিসাবে দেখা যেতে পারে» আপনি দয়া করে এটি আরও কিছুটা ব্যাখ্যা করতে পারলে আমি কৃতজ্ঞ হব। ;)

— সমুদ্রের এক বৃদ্ধা।

α / 2

$\alpha/2$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

এক্ষেত্রে বিকল্পটি দ্বিপক্ষীয় সম্মিলিত হাইপোথিসিস হওয়ায় সাধারণত কোনও ইউএমপি পরীক্ষা হয় না।

আমি সাধারণভাবে এটি সত্য কিনা তা নিশ্চিত নই। অবশ্যই, প্রচুর ধ্রুপদী ফলাফল (নেইমন-পিয়ারসন, কার্লিন-রুবিন) হয় সাধারণ বা একতরফা অনুমানের উপর ভিত্তি করে, তবে দ্বিমুখী যৌগিক অনুমানের সাধারণীকরণের উপস্থিতি রয়েছে। আপনি এখানে কিছু নোট এবং এখানে পাঠ্যপুস্তকে আরও আলোচনার সন্ধান করতে পারেন ।

$\chi^2$

— Greenparker
সূত্র

σ_{0}

$\sigma_0$