আমরা কীভাবে জানি যে 1 এবং 2 রোলিংয়ের সম্ভাবনা 1/18?

Question

আমার প্রথম সম্ভাব্যতা ক্লাসের পর থেকে আমি নিম্নলিখিতগুলি নিয়ে ভাবছি।

সম্ভাব্যতা গণনা করা সাধারণত সম্ভব সম্ভাব্য ইভেন্টগুলির "অনুগ্রহকৃত ইভেন্ট" এর অনুপাতের মাধ্যমে প্রবর্তন করা হয়। দুটি 6-তরফা পাশা ঘূর্ণায়মান ক্ষেত্রে, নীচের সারণীতে প্রদর্শিত হিসাবে সম্ভাব্য ইভেন্টগুলির পরিমাণ is$36$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

সুতরাং আমরা যদি ইভেন্ট A "রোলিং $1$ এবং $2$ " এর সম্ভাব্যতা গণনা করতে আগ্রহী , আমরা দেখতে পাই যে দুটি "অনুকূল ঘটনা" রয়েছে এবং ইভেন্টটির সম্ভাবনাটিকে \ frac {2} {36} = হিসাবে গণনা করি rac frac {1} {18}$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$ ।

এখন, যা আমাকে সর্বদা অবাক করে তুলেছিল তা হল: আসুন বলি যে দুটি পাশ্বের মধ্যে পার্থক্য করা অসম্ভব হবে এবং সেগুলি ঘূর্ণিত হওয়ার পরে আমরা কেবল সেগুলি পর্যবেক্ষণ করব, উদাহরণস্বরূপ আমরা পর্যবেক্ষণ করব "কেউ আমাকে একটি বাক্স দেয়। আমি বাক্সটি খুলি। একটি $1$ এবং একটি $2$ "রয়েছে। এই কাল্পনিক দৃশ্যে আমরা দুটি পাশ্বের মধ্যে পার্থক্য করতে সক্ষম হব না, সুতরাং আমরা জানব না যে এই পর্যবেক্ষণের দিকে পরিচালিত দুটি সম্ভাব্য ঘটনা রয়েছে। তারপরে আমাদের সম্ভাব্য ইভেন্টগুলি এটি পছন্দ করবে:

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

এবং আমরা যত ঘটনা একটি সম্ভাবনা নিরূপণ করবে $\frac{1}{21}$ ।

আবার, আমি এই সত্যটি সম্পর্কে পুরোপুরি সচেতন যে প্রথম পদ্ধতিটি আমাদের সঠিক উত্তরের দিকে নিয়ে যাবে। আমি যে প্রশ্নটি নিজেকে জিজ্ঞাসা করছি তা হ'ল:

আমরা কীভাবে জানব যে $\frac{1}{18}$ ? সঠিক?

আমি যে দুটি উত্তর নিয়ে এসেছি তা হ'ল:

• আমরা অনুগতভাবে এটি পরীক্ষা করতে পারি। এতে আমি যতটা আগ্রহী, আমাকে স্বীকার করতে হবে যে আমি নিজে এটি করি নি। তবে আমি বিশ্বাস করি এটি হবে।
• বাস্তবে আমরা পাশাটির মধ্যে পার্থক্য করতে পারি, যেমন একটি কালো এবং অন্যটি নীল, বা অন্যটির সামনে ফেলে দিতে বা কেবল সম্ভাব্য ঘটনা সম্পর্কে জানতে পারে এবং তারপরে সমস্ত মানক তত্ত্ব কাজ করে।$36$

আপনার কাছে আমার প্রশ্নগুলি হ'ল:

• আমাদের জানার জন্য আরও কী কী কারণ রয়েছে যে other ? সঠিক? (আমি বেশ নিশ্চিত যে কয়েকটি অবশ্যই থাকতে হবে (কমপক্ষে প্রযুক্তিগত) কারণ এবং এই কারণেই আমি এই প্রশ্নটি পোস্ট করেছি)$\frac{1}{18}$
• এই ধারণাটি গ্রহণ করার বিরুদ্ধে কি কিছু মৌলিক যুক্তি রয়েছে যে আমরা পাশ্বকে একেবারেই পার্থক্য করতে পারি না?
• যদি আমরা ধরে নিই যে আমরা পাশ্বের মধ্যে পার্থক্য করতে পারছি না এবং সম্ভাব্যতা পরীক্ষা করে দেখার উপায় নেই তবে এমনকি সঠিক বা আমি কিছু উপেক্ষা করেছি?$P(A) = \frac{1}{21}$

আমার প্রশ্নটি পড়তে আপনার সময় দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ এবং আমি আশা করি এটি যথেষ্ট সুনির্দিষ্ট।

Comments

সহজ উত্তর: কারণ এটি পার্থক্যযুক্ত ঘটনার সম্ভাবনা। অবিচ্ছেদ্য ইভেন্টগুলির পদার্থবিজ্ঞানে সম্ভাব্য মডেল রয়েছে (যেমন আইনস্টাইন-বোস স্ট্যাটিস্টিক )।

— টিম

সম্ভাবনার অক্ষরেখার একটি কারণ রয়েছে : আপনি যখন পুরোপুরি অক্ষর এবং যুক্তির নিয়মগুলি ব্যবহার করে এটিকে পারেন তখন আপনি জানতে পারবেন যে সঠিক। $1/18$

— whuber

এক জোড়া ডাইস ব্যবহার করুন যেখানে একটি লাল এবং অন্যটি সবুজ। আপনি এগুলি আলাদা করে বলতে পারেন, তবে লাল-সবুজ রঙ-অন্ধ হয়ে থাকা কেউ পারেন না। সম্ভাবনাগুলি কি আপনি যা দেখেন বা যা দেখেন তার ভিত্তিতে হওয়া উচিত?

— মন্টি হার্ডার

যদিও সমস্ত পোস্ট করা উত্তরগুলি অত্যন্ত তথ্যবহুল ছিল (যারা অবদান রেখেছিলেন তাদের সবাইকে ধন্যবাদ!) এবং বেশিরভাগই আমাকে উপলব্ধি করেছিল যে - বাস্তবে যে কেউ এটি রাখুক না কেন - ডাইস আলাদা করা যায় বলে আমি মনে করি @ টিমের জবাব আমি কী দেখছিলাম (dziękuję bardzo) জন্য! আমি এই বিষয়ে আরও কিছু গবেষণা করেছি এবং এই নিবন্ধটি এবং এই ভিডিওটি সত্যই পছন্দ করেছি ।

— ELM

@ এলএম এটি শুনে ভাল লাগল :) সম্পূর্ণতার জন্য আমি আমার নিজের উত্তর যুক্ত করেছি।

— টিম

Answer 1

কল্পনা করুন যে আপনি আপনার ন্যায্য ছয় পক্ষের মৃত্যুকে ছুড়ে ফেলেছেন এবং আপনি পেয়েছেন ⚀ ফলাফলটি এত আকর্ষণীয় ছিল যে আপনি আপনার বন্ধু ডেভকে ফোন করেছিলেন এবং তাকে এটি সম্পর্কে বলেছিলেন। যেহেতু তিনি তার উত্সাহটি ছয় পক্ষের মৃত্যুকে ছুঁড়ে মারার সময় যা পেয়েছিলেন তা জানতে আগ্রহী ছিলেন, তাই তিনি তা ফেলে দিয়েছিলেন ⚁

একটি স্ট্যান্ডার্ড ডাইয়ের ছয় দিক রয়েছে। আপনি যদি প্রতারণা না করে থাকেন তবে এটি প্রতিটি দিকে সমান সম্ভাব্যতার সাথে ল্যান্ড করে, অর্থাৎ বারের মধ্যে । সম্ভাব্যতা যা আপনি অন্য পক্ষের সঙ্গে একই নিক্ষেপ ⚀, হয় । আপনি throw, এবং আপনার বন্ধু নিক্ষেপ করার সম্ভাবনাটি হ'ল events যেহেতু দুটি ইভেন্ট স্বতন্ত্র এবং আমরা বহুগুণ স্বাধীন সম্ভাবনা। এটি অন্যভাবে বললে, এমন জোড়াগুলির ব্যবস্থা রয়েছে যা সহজেই তালিকাভুক্ত করা যায় (যেমন আপনি ইতিমধ্যে করেছিলেন)। বিপরীত ইভেন্টের সম্ভাবনা (আপনি ফেলে দেন এবং আপনার বন্ধু নিক্ষেপ করেন) এছাড়াও6 $1$$6$$\tfrac{1}{6}$$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$$\tfrac{1}{36}$। আপনি যে abilities, এবং আপনার বন্ধু নিক্ষেপ করেন ⚁, বা আপনি ⚁, এবং আপনার বন্ধু নিক্ষেপ করেন abilities তার সম্ভাবনাগুলি একচেটিয়া , তাই আমরা সেগুলি । সম্ভাব্য সমস্ত ব্যবস্থার মধ্যে এই শর্ত দুটি পূরণ করে।$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

আমরা এই সমস্ত কীভাবে জানি? ঠিক আছে, সম্ভাবনার ভিত্তিতে , সংযুক্তিবিদ্যা এবং যুক্তি, তবে এই তিনটির উপর নির্ভর করার জন্য কিছু তথ্যগত জ্ঞান প্রয়োজন। আমরা হাজার হাজার জুয়াড়ি এবং কিছু পদার্থবিজ্ঞানের অভিজ্ঞতার ভিত্তিতে জানি, এটি বিশ্বাস করার কোনও কারণ নেই যে একটি ন্যায্য ছয়-পক্ষীয় ডাই প্রতিটি পাশেই অবতরণের সম্ভাবনাময় সুযোগ ছাড়া অন্য কোনও বিষয়। একইভাবে, দুটি স্বতন্ত্র ছোঁড়া কোনওভাবে সম্পর্কিত এবং একে অপরকে প্রভাবিত করে এমন সন্দেহ করার কোনও কারণ আমাদের নেই ।

আপনি টিকিট সহ একটি বাক্স কল্পনা করতে পারেন যে থেকে অবধি সমস্ত সংক্ষেপণ (পুনরাবৃত্তি সহ) ব্যবহার করে লেবেলযুক্ত । এটি সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা সীমাবদ্ধ করবে$2$$1$$6$$21$ এবং সম্ভাব্যতাগুলিকে পরিবর্তন করবে। তবে আপনি যদি পাশের শর্তে এই জাতীয় সংজ্ঞাটি ভাবেন, তবে আপনাকে দুটি ডাইস কল্পনা করতে হবে যা একরকম একসাথে আটকানো রয়েছে। এটি দুটি ডাইসের চেয়ে খুব আলাদা যেটি স্বাধীনভাবে কাজ করতে পারে এবং একে অপরকে প্রভাবিত না করেই সমান সম্ভাবনা নিয়ে একপাশে একা অবতরণ করতে পারে।

সব যে বলেন, এক চাহিদা মন্তব্য করতে যে এই ধরনের মডেল হয় সম্ভব, কিন্তু পাশা ভালো জিনিস জন্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, অনুভূতিগত পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে কণা পদার্থবিজ্ঞানে এটি প্রদর্শিত হয়েছিল যে বোস-আইনস্টাইন অ-পৃথকযোগ্য কণার পরিসংখ্যান ( তারার এবং বারগুলির সমস্যাটিও দেখুন) পার্থক্যযুক্ত-কণার মডেলের চেয়ে বেশি উপযুক্ত appropriate পিটার হুইটেলের দ্বারা প্রত্যাশার মাধ্যমে সম্ভাব্যতা বা সম্ভাবনার মধ্যে সেই মডেলগুলি সম্পর্কে আপনি কিছুটা মন্তব্য পেতে পারেন , বা উইলিয়াম ফেলারের দ্বারা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের পরিচিতি এবং এর প্রয়োগগুলির একটি খণ্ডে volume

Comments

আমি কেন এটি সেরা উত্তর হিসাবে বেছে নিয়েছি? যেমন আমি উপরে বলেছি, সমস্ত উত্তরগুলি খুব তথ্যবহুল ছিল (যারা সময় বিনিয়োগ করেছেন তাদের প্রত্যেককে আবারও ধন্যবাদ জানাই, আমি সত্যিই এটি প্রশংসা করি!) এবং এও আমাকে দেখিয়ে দিয়েছিলেন যে যতক্ষণ না ডাইসের মধ্যে নিজেকে পার্থক্য করা আমার পক্ষে প্রয়োজন তা নয়। পাশা উদ্দেশ্যমূলকভাবে পৃথক করা যেতে পারে। তবে যত তাড়াতাড়ি তাদের উদ্দেশ্যমূলকভাবে আলাদা করা যায় তা আমার কাছে স্পষ্ট হয়েছিল যে দ্বিতীয় দৃশ্যের ঘটনাগুলি সমানভাবে সম্ভাব্য নয়, সুতরাং আমার কাছে বোস-আইনস্টাইন-মডেল যা আমি খুঁজছিলাম।

— ELM

Answer 2

আমি মনে করি আপনি এই সত্যটিকে উপেক্ষা করছেন যে "আমরা" পাশা আলাদা করতে পারব কিনা তা বিবেচ্য নয়, বরং এটি গুরুত্বপূর্ণ যে পাশাটি অনন্য এবং স্বতন্ত্র এবং তাদের নিজের মত করে কাজ করে act

সুতরাং যদি বন্ধ বাক্সের দৃশ্যে আপনি বাক্সটি খোলেন এবং একটি 1 এবং 2 দেখুন, আপনি এটি জানেন না যে এটি বা ( 2 , 1 ) , কারণ আপনি পাশা আলাদা করতে পারবেন না। যাইহোক, ( 1 , 2 ) এবং ( 2 , 1 ) উভয়ই আপনার একই দৃষ্টিভঙ্গির দিকে পরিচালিত করবে, এটি একটি 1 এবং একটি 2. সুতরাং সেই চাক্ষুষের পক্ষে দুটি ফলাফল রয়েছে। একইভাবে প্রতিটি অ-একই জুটির জন্য, প্রতিটি চাক্ষুষের পক্ষে দুটি ফলাফল রয়েছে এবং এইভাবে 36 টি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে।$(1,2)$$(2,1)$$(1,2)$$(2,1)$

গাণিতিকভাবে, কোনও ইভেন্টের সম্ভাবনার সূত্রটি হ'ল ইভেন্টের

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

যাইহোক, প্রতিটি সূত্রের সমান সম্ভাবনা থাকলে এই সূত্রটি কেবল তখনই ধারণ করে । প্রথম সারণীতে, এই জোড়াগুলির প্রতিটিই সমানভাবে সম্ভবত, তাই সূত্রটি ধারণ করে। আপনার দ্বিতীয় সারণীতে, প্রতিটি ফলাফল সমানভাবে সম্ভাব্য নয়, সুতরাং সূত্রটি কার্যকর করে না। আপনার টেবিলটি ব্যবহার করে আপনি উত্তরটি খুঁজে পাচ্ছেন

1 এবং 2 এর সম্ভাব্যতা + এর সম্ভাব্যতা ( 2 , 1 ) = $(1,2)$$(2,1)$ ।$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$

এ সম্পর্কে চিন্তাভাবনার আরেকটি উপায় হ'ল এই পরীক্ষাটি প্রতিটি ডাইকে আলাদাভাবে ঘুরিয়ে দেওয়ার মতো হ'ল, যেখানে আপনি ডাই 1 এবং ডাই 2 দেখতে পাবেন Thus সুতরাং ফলাফল এবং তাদের সম্ভাবনাগুলি বন্ধ বক্স পরীক্ষার সাথে মিলবে।

Answer 3

অনুমান করা যাক যে প্রথম দৃশ্যে একটি লাল ডাই এবং একটি নীল ডাই ঘূর্ণায়মান জড়িত রয়েছে, অন্যটিতে আপনি জুড়িটি সাদা ডাইস যুক্ত করেন।

প্রথম ক্ষেত্রে, প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফল (লাল ডাই, নীল ডাই) হিসাবে লিখতে পারেন, যা আপনাকে এই টেবিলটি দেয় (আপনার প্রশ্ন থেকে পুনরুত্পাদন করা): আমাদের idealized পাশা ন্যায্য হয় (প্রতিটি ফলাফল সমান সম্ভাবনা হয়) এবং আপনি প্রতি পরিণতি তালিকাভুক্ত করেছি। এর ভিত্তিতে, আপনি সঠিকভাবে উপসংহারে পৌঁছেছেন যে সম্ভাব্যতা2 এরসাথে একটি এবং দুটি ঘটে

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ , বা$\frac{2}{36}$এ পর্যন্ত সব ঠিকই.$\frac{1}{18}.$

$(n,n)$

পরের প্রশ্নটি "আমি কীভাবে জানতে পারি যে ঘটনাগুলি সমানভাবে সম্ভাব্য নয়?" এটি সম্পর্কে চিন্তা করার একটি উপায় হ'ল আপনি যদি দুটি পাশা আলাদা করতে পারতেন তবে কী হবে তা কল্পনা করা । আপনি প্রতিটি মরে একটি ছোট চিহ্ন লাগিয়েছেন সম্ভবত। এটি ফলাফল পরিবর্তন করতে পারে না, তবে এটি পূর্বের সমস্যাটিকে হ্রাস করে। পর্যায়ক্রমে, ধরুন আপনি চার্টটি লেখেন যাতে নীল / লাল পরিবর্তে এটি বাম ডাই / রাইট ডাই পড়বে।

আরও অনুশীলন হিসাবে, আদেশ প্রাপ্ত ফলাফল (লাল = 1, নীল = 2) বনাম একটি নিরস্তর (একটিতে মারা 1, একজন দেখানো মর 2) দেখার পার্থক্যটি সম্পর্কে ভাবুন।

Comments

এই. পাশা পার্থক্য করতে সক্ষম হওয়ায় ফল পরিবর্তন হয় না। পর্যবেক্ষক ফলাফলটিতে কাজ করতে পারবেন না। (যাদু না হলে?) আপনি লাল এবং নীল মধ্যে পার্থক্য করতে পারেন যদি পাশা যত্ন নেই।

— njzk2

"আপনি ভুলভাবে ধরে নিয়েছেন যে এই ফলাফলগুলির সমান সম্ভাবনা রয়েছে" আমি মনে করি এটিই মূল অংশ এবং সম্ভবত মূল প্রশ্নের সবচেয়ে সরাসরি উত্তর।

— গেদিমিনাস

Answer 4

মূল ধারণাটি হ'ল যদি আপনি দুটি পৃথক ডাইসের 36 টি সম্ভাব্য ফলাফলকে তালিকাবদ্ধ করেন তবে আপনি সমান সম্ভাব্য ফলাফলগুলি তালিকাভুক্ত করছেন । এটি সুস্পষ্ট বা অজানা নয়; এটি কেবল সত্য যদি আপনার পাশা ফর্সা হয় এবং কোনওভাবে সংযুক্ত থাকে না। আপনি যদি অবিচ্ছেদ্য ডাইসের ফলাফলগুলি তালিকাভুক্ত করেন তবে এগুলিও সমান সম্ভাবনাযুক্ত নয়, কারণ এগুলি কেন হওয়া উচিত, ফলাফলগুলি "লটারি জিতবেন" এবং "লটারি জিতবেন না" এর চেয়ে বেশি সমান সম্ভাব্য।

উপসংহারে পৌঁছানোর জন্য আপনার প্রয়োজন:

• আমরা ফর্সা পাশা নিয়ে কাজ করছি, যার জন্য সমস্ত ছয়টি সংখ্যা সমান সম্ভাব্য able
• দুটি পাশা স্বতন্ত্র, যাতে একটি নির্দিষ্ট নম্বর প্রাপ্ত ডাই নম্বর দুটি হওয়ার সম্ভাবনা সর্বদা স্বতন্ত্র থাকে যে কোনও নম্বর ডাই নম্বর দিয়েছিল of (কল্পনা করুন পরিবর্তে কোনও রকমের স্টিকি পৃষ্ঠের উপরে একই মরাকে দু'বার ঘূর্ণায়মানভাবে তৈরি করা হয়েছে যা দ্বিতীয় রোলটি আলাদা করে তুলেছে))

$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$(b,a)$$a \neq b$), যাতে আপনি নিরাপদে পাওয়ার সম্ভাবনাগুলি যুক্ত করতে পারেন $(a,b)$ এবং $(b,a)$ যদি তারা আলাদা হয়।

আপনি কেবল সম্ভাবনা গণনা করেই সম্ভাবনাগুলি পেতে পারেন এই ধারণাটি সমান সম্ভাবনা এবং স্বাধীনতার অনুমানের উপর নির্ভর করে। এই অনুমানগুলি বাস্তবে খুব কমই যাচাই করা হয় তবে প্রায় সবসময় শ্রেণিকক্ষে সমস্যা হয়।

Comments

আমাদের সাইটে আপনাকে স্বাগতম! আপনি এখানে গণিতের জন্য ল্যাটেক্স ফর্ম্যাটিং ব্যবহার করতে পারেন এটির চারপাশে ডলার চিহ্ন রেখে, যেমন $a^x$উত্পাদন করে$a^x$

— সিলভারফিশ

Answer 5

যদি আপনি এটি মুদ্রার পদগুলিতে অনুবাদ করেন - বলুন, দুটি পৃথক পৃথক পেনিসকে পিছলে ফেলা - এটি কেবল তিনটি ফলাফলের প্রশ্নে পরিণত হয়: 2 টি মাথা, 2 টি লেজ, প্রত্যেকটির 1 এবং সমস্যাটি চিহ্নিত করা সহজ। একই যুক্তি প্রযোজ্য এবং আমরা দেখতে পাচ্ছি যে 2 টি মাথা বা 2 টি লেজ পাওয়ার চেয়ে প্রতিটিের মধ্যে 1 টি পাওয়ার সম্ভাবনা বেশি।

এটিই আপনার দ্বিতীয় টেবিলের স্লিপারনেস - এটি প্রথম টেবিলে যেমন সমস্ত সমানভাবে ওজনযুক্ত সম্ভাবনা নয় তবুও এটি সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের প্রতিনিধিত্ব করে । দ্বিতীয় সারণীতে প্রতিটি সারি এবং কলামটির অর্থ কী তা বানানের চেষ্টা করার জন্য এটি সংজ্ঞায়িত হবে - তারা কেবল সম্মিলিত টেবিলের অর্থবোধক যেখানে প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাবনা নির্বিশেষে 1 টি বাক্স রয়েছে, তবে প্রথম টেবিলটি "সমস্তগুলি প্রদর্শন করে" মর 1 এর সমান সম্ভাব্য ফলাফল, যার প্রত্যেকের নিজস্ব সারি রয়েছে, "এবং একইভাবে কলাম এবং মরা 2।

Answer 6

আসুন অনুমানটি দিয়ে শুরু করা যাক: অবিচ্ছেদ্য ডাইস কেবল 21 সম্ভাব্য ফলাফলগুলি রোল করে দেয়, তবে পৃথক ডাইস রোল 36 সম্ভাব্য ফলাফলগুলি।

পার্থক্যটি পরীক্ষা করতে, এক জোড়া অভিন্ন সাদা পাশা পান। সানস্ক্রিনের মতো UV- শোষণকারী উপাদানগুলিতে একটি কোট, যা খালি চোখে অদৃশ্য। আপনি যখন একটি কালো আলোর নীচে তাদের দিকে তাকাচ্ছেন তখন পর্যন্ত ডাইসটি অদৃশ্য হয়ে যায়, যখন পরিষ্কার ডাইয়ের জ্বলজ্বল থাকে while

একটি বাক্সে জোড়া পাশা গোপন করুন এবং এটি ঝাঁকুনি করুন। আপনি যখন বাক্সটি খুলবেন তখন আপনি একটি 2 এবং 1 টি কী পেতে পারেন? স্বজ্ঞাতভাবে আপনি মনে করতে পারেন যে "একটি 1 এবং 2 রোলিং" 21 এর সম্ভাব্য ফলাফলগুলির মধ্যে 1 মাত্র কারণ আপনি পাশা আলাদা করে বলতে পারবেন না। তবে যদি আপনি একটি কালো আলোর নীচে বাক্সটি খোলেন, তবে আপনি তাদের আলাদা করে বলতে পারেন । আপনি যখন পাশা বাদে বলতে পারবেন, "একটি 1 এবং 2 রোলিং" হ'ল সম্ভাব্য সংমিশ্রণের মধ্যে 2।

এর অর্থ কি একটি কালো আলো একটি নির্দিষ্ট ফলাফল প্রাপ্তির সম্ভাবনা পরিবর্তন করার ক্ষমতা রাখে, এমনকি যদি পাশাটি কেবল আলোর মুখোমুখি হয় এবং তারা ঘূর্ণায়মান হওয়ার পরে পর্যবেক্ষণ করে ? অবশ্যই না. আপনি বাক্সটি কাঁপানো বন্ধ করার পরে কোনও কিছুই ডাইস পরিবর্তন করে না। প্রদত্ত ফলাফলের সম্ভাবনা পরিবর্তন করতে পারে না।

যেহেতু মূল অনুমানটি এমন কোনও পরিবর্তনের উপর নির্ভর করে যা বিদ্যমান নেই, তাই এই ধারণাটি যুক্তিসঙ্গতভাবে যুক্তিযুক্ত যে মূল অনুমানটি ভুল ছিল। তবে আসল অনুমানটি কী কী ভুল - যে অবিচ্ছেদ্য পাশা কেবল 21 সম্ভাব্য ফলাফলগুলি রোল করে, বা সেই স্বতন্ত্র ডাইস রোল 36 সম্ভাব্য ফলাফলগুলি কী?

স্পষ্টতই ব্ল্যাক লাইট পরীক্ষায় প্রমাণিত হয়েছিল যে পর্যবেক্ষণটির সম্ভাবনার উপর কোনও প্রভাব নেই (কমপক্ষে এই স্কেলটিতে - কোয়ান্টাম সম্ভাব্যতা আলাদা বিষয়) বা বস্তুর স্বতন্ত্রতা। "অবিভাজ্য" শব্দটি কেবল এমন কিছু বর্ণনা করে যা পর্যবেক্ষণ অন্য কিছু থেকে আলাদা করতে পারে না। অন্য কথায়, কিছু পরিস্থিতিতে ডাইস একইরূপে প্রদর্শিত হয় (অর্থাত তারা কোন কালো আলোর অধীনে নয়) এবং অন্যরা সত্যিকার অর্থে দুটি স্বতন্ত্র বস্তু বলে এই বিষয়ে বিশ্বাস রাখে না। এটি সত্য হবে এমনকি যদি আপনি যে পরিস্থিতিগুলির মধ্যে তাদের মধ্যে পার্থক্য করতে সক্ষম হন তা কখনও আবিষ্কার না করা হয়।

সংক্ষেপে: নির্দিষ্ট ফলাফলের সম্ভাবনা বিশ্লেষণ করার সময় আপনার পাশা ঘূর্ণায়মানের মধ্যে পার্থক্য করার ক্ষমতা অপ্রাসঙ্গিক। প্রতিটি ডাই সহজাত স্বতন্ত্র। সমস্ত ফলাফল এই সত্যের উপর ভিত্তি করে, কোনও পর্যবেক্ষকের দৃষ্টিভঙ্গির ভিত্তিতে নয়।

Answer 7

আমরা অনুমান করতে পারি যে আপনার দ্বিতীয় টেবিলটি দৃশ্যের সঠিকভাবে প্রতিনিধিত্ব করে না।

আপনি (1, 2) এবং (2, 1) একত্রিত এবং অতএব অপ্রয়োজনীয় ফলাফল হিসাবে অনুমিত ভিত্তিতে তির্যকগুলির নীচে এবং বামে সমস্ত কক্ষগুলি সরিয়ে দিয়েছেন।

পরিবর্তে মনে করুন যে আপনি একের পর এক দু'বার মারা যান। 1-তারপর-2 কে 2-তারপর-1 হিসাবে অভিন্ন ফলাফল হিসাবে গণনা করা বৈধ? স্পষ্টভাবে না। যদিও দ্বিতীয় রোল ফলাফল প্রথমটির উপর নির্ভর করে না , তবুও তারা স্বতন্ত্র ফলাফল। আপনি সদৃশ হিসাবে পুনঃস্থাপনগুলি মুছে ফেলতে পারবেন না। এখন, একবারে দুটি ডাইস ঘূর্ণন করা একই উদ্দেশ্যে একইভাবে পরপর দু'বার মারা যায়। আপনি অতএব পুনরুদ্ধার করতে পারবেন না।

(তবুও বোঝা গেল না? এখানে বিভিন্ন ধরণের সাদৃশ্য your আপনি নিজের বাড়ি থেকে পাহাড়ের চূড়ায় হাঁটেন omorrow কাল আপনি পিছিয়ে যাবেন both একই দিনে থাকাকালীন উভয় দিনেই কি কোনও সময় ছিল? সম্ভবত? এখন কল্পনা করুন) আপনি আপনার বাড়ি থেকে পাহাড়ের চূড়ায় হাঁটেন, এবং একই দিনে অন্য ব্যক্তি পাহাড়ের চূড়া থেকে আপনার বাড়ির দিকে হাঁটেন। সেদিন কোনও মিলিত হওয়ার সময় কি আছে? অবশ্যই হ্যাঁ They এগুলি একই প্রশ্ন p স্থানান্তর সময় untangled ঘটনা কর্তন ঐ ঘটনা থেকে তৈরি করা যাবে পরিবর্তন করে না।)

Answer 8

যদি আমরা কেবল পর্যবেক্ষণ করি "কেউ আমাকে একটি বাক্স দেয়। আমি বাক্সটি খুলি There $1$ এবং ক $2$", আরও তথ্য ছাড়াই, আমরা সম্ভাব্যতা সম্পর্কে কিছুই জানি না।

যদি আমরা জানি যে দুটি পাশা ন্যায্য এবং সেগুলি ঘূর্ণিত হয়েছে, তবে অন্যান্য সমস্ত উত্তর যেমন ব্যাখ্যা করেছে তেমন সম্ভাবনা 1/18। আমরা জানি না যে 1 এর সাথে মরে 2 দিয়ে ডাই প্রথমে ঘূর্ণিত হয়েছিল কি না, কারণ আমাদের উভয় উপায়েই দায়বদ্ধ হতে হবে - এবং সুতরাং সম্ভাবনাটি 1/36 এর পরিবর্তে 1/18 হয়।

তবে যদি আমরা না জানি যে কোন প্রক্রিয়াটি 1-2 টি সংমিশ্রণে পরিচালিত করে, তবে সম্ভাব্যতা সম্পর্কে আমরা কিছুই জানতে পারি না। যে ব্যক্তি আমাদের বাক্সটি কেবল উদ্দেশ্যমূলকভাবে এই সংমিশ্রণটি বেছে নিয়েছে এবং বাক্সটিতে পাশা আটকে দিয়েছে (সম্ভাবনা = 1), অথবা হয়ত সে পাশের ঘূর্ণায়মান বাক্সটি কাঁধে ফেলেছে (সম্ভাব্যতা = 1/18) অথবা তিনি এলোমেলোভাবে বেছে নিয়েছেন might আপনি আমাদের সারণীতে 21 টি সংমিশ্রণের সংমিশ্রণটি দিয়েছিলেন, এবং এর ফলে সম্ভাবনা = 1/21।

সংক্ষেপে, আমরা সম্ভাব্যতা জানি কারণ আমরা জানি যে কী প্রক্রিয়াটি চূড়ান্ত পরিস্থিতির দিকে পরিচালিত করে, এবং আমরা প্রতিটি পর্যায়ে সম্ভাব্যতা গণনা করতে পারি (প্রতিটি পাশের সম্ভাবনা)। প্রক্রিয়াটি গুরুত্বপূর্ণ, যদিও আমরা এটিটি ঘটতে দেখিনি।

উত্তরটি শেষ করতে আমি কয়েকটি উদাহরণ দেব যেখানে প্রক্রিয়াটি অনেকটাই গুরুত্বপূর্ণ:

• আমরা দশটি কয়েন ফ্লিপ করি। সমস্ত দশ বার মাথা পেতে সম্ভাবনা কি? আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে সম্ভাব্যতা (1/1024) 10 পাওয়ার সম্ভাবনার চেয়ে অনেক ছোট তবে যদি আমরা কেবল 0 এবং 10 (1/11) এর মধ্যে একটি এলোমেলো সংখ্যা বেছে নিই।
• আপনি যদি এই সমস্যাটি উপভোগ করেন তবে আপনি মন্টি হল সমস্যাটি ব্যবহার করে দেখতে পারেন । এটি একটি অনুরূপ সমস্যা যেখানে প্রক্রিয়াটি আমাদের অন্তর্দৃষ্টি দ্বারা প্রত্যাশা করা তার চেয়ে অনেক বেশি গুরুত্বপূর্ণ।

Answer 9

ইভেন্ট এ এবং বি এর সম্ভাব্যতা উভয় সম্ভাবনার গুণক দ্বারা গণনা করা হয়।

যখন ছয়টি সম্ভাব্য বিকল্প থাকে তখন 1 টি ঘূর্ণায়মান হওয়ার সম্ভাবনা 1/6। যখন ছয়টি সম্ভাব্য বিকল্প থাকে তখন 2 রোলিংয়ের সম্ভাবনাটি 1/6।

1/6 * 1/6 = 1/36।

যাইহোক, ইভেন্টটি সময়মতো আক্রমণাত্মক নয় (অন্য কথায়, এটি প্রয়োজন হয় না যে আমরা 2 এর আগে 1 টি রোল করি; কেবল যে আমরা দুটি রোলের জন্য 1 এবং 2 উভয় রোল করব)।

সুতরাং, আমি একটি 1 এবং তারপরে 2 রোল করতে পারি এবং 1 এবং 2 উভয় রোলিংয়ের শর্ত পূরণ করতে পারি, বা আমি একটি 2 এবং তারপরে 1 রোল করতে পারি এবং 1 এবং 2 উভয় রোলিংয়ের শর্ত পূরণ করতে পারি।

2 এবং তারপরে 1 রোলিংয়ের সম্ভাব্যতার একই গণনা রয়েছে:

1/6 * 1/6 = 1/36।

A বা B উভয়ের মধ্যে সম্ভাব্যতা হ'ল সম্ভাবনার যোগফল। সুতরাং আসুন ধরা যাক ইভেন্ট এ 1 এর পরে 2 ঘুরছে, এবং ইভেন্ট বি 2 তারপর 1 ঘুরছে।

ইভেন্ট এ এর ​​সম্ভাব্যতা: 1/3 ইভেন্ট বিয়ের সম্ভাবনা: 1/3

1/36 + 1/36 = 2/36 যা হ্রাস করে 1/1 হয়।