কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্য বনাম বিপুল সংখ্যার আইন

14

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যটি বলে যে আইড ভেরিয়েবলগুলির গড়, যেমন অনন্তে যায়, সাধারণত বিতরণ হয়। $N$

এটি দুটি প্রশ্ন উত্থাপন করে:

আমরা কি এটি থেকে প্রচুর সংখ্যক আইনটি অনুমান করতে পারি? যদি বৃহত সংখ্যার আইনটি বলে যে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মানগুলির নমুনার সত্য অর্থের সমান হয় যেমন অসীমের দিকে যায়, তখন এটি আরও শক্তিশালী বলে মনে হয় (কেন্দ্রীয় সীমাটি বলে যে) মানটি হয়ে যায় যেখানে হ'ল মান বিচ্যুতি। তাহলে কি বলা উচিত যে কেন্দ্রীয় সীমাটি বিপুল সংখ্যার আইনকে বোঝায়? $\mu$ $N$ $\mathcal N(\mu, \sigma)$ $\sigma$
কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি ভেরিয়েবলের রৈখিক সংমিশ্রণে প্রযোজ্য?

probability central-limit-theorem law-of-large-numbers

— user9097
সূত্র

5

আপনার বক্তব্য যে "কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি বলে যে আইড ভেরিয়েবলগুলির গড়, যেমন অনন্তের দিকে যায়, সাধারণত বিতরণ হয়ে যায়" ভুল is এই সাম্প্রতিক প্রশ্নের আমার উত্তরটি দেখুন যা অনুরূপ সমস্যা উত্থাপন করে। এই প্রশ্নের আর একটি উত্তর পোস্ট করা হয়েছিল তবে তারপরেই মুছে ফেলা হয়েছিল, এবং সেই উত্তরের পরে আলোচনাটিও এখন চলে গেছে, এই বিষয়গুলিও নিয়ে আলোচনা করেছে।

N

$N$

— দিলীপ সরোতে

1

কেন জনসংখ্যা নমুনা গড় সমকেন্দ্রি মানে হয়

একটি নমুনা গড় সমকেন্দ্রি চেয়ে দুর্বল ফলাফলের নমুনা A থেকে

বন্টন?

μ

$\mu$

N (μ, σ)

$\mathcal N(\mu, \sigma)$

— দিলীপ সরোতে

@ দিলিপ সরওয়াতে পতাকাটির জন্য ধন্যবাদ, তবে আপনার মন্তব্যটি আইএমও যথেষ্ট হ'ল প্রশ্নে ভ্রান্ত ধারণা প্রকাশ করে এবং যুক্তিসঙ্গত উত্তরগুলি উপস্থিত হয়েছিল did

10

ওপি জানিয়েছে

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যটি বলে যে আইড ভেরিয়েবলগুলির গড়, যেমন এন অনন্তে যায়, সাধারণত বিতরণ হয়।

আমি এই নিতে হবে মানে এটি ওপি বিশ্বাস হয় IID র্যান্ডম ভেরিয়েবল যে গড় সঙ্গে এবং মানক চ্যুতির , ক্রমবর্ধমান বণ্টনের ফাংশনের এর $X_i$ $\mu$ $\sigma$ $F_{Z_n}(a)$ এর ক্রমবর্ধমান বন্টনের ফাংশনে এগোয়অর্থ সঙ্গে একটি স্বাভাবিক দৈব চলকএবং মানক চ্যুতির। অথবা, ওপি বিশ্বাস করে যে এই সূত্রের ছোটখাট পুনরায় ব্যবস্থা, যেমন বিতরণেরবিতরণের-র দিকে এগোয়, অথবা বিতরণের

Z_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$Z_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

N (μ, σ)

$\mathcal N(\mu,\sigma)$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

Z_{n} - μ

$Z_n - \mu$

N (0, σ)

$\mathcal N(0,\sigma)$

(Z_{n} - μ) / σ

$(Z_n - \mu)/\sigma$

এর বিতরণে রূপান্তর করে , সাধারণ সাধারণ এলোমেলো পরিবর্তনীয়। একটি উদাহরণ হিসাবে নোট করুন যে এই বিবৃতিগুলি বোঝায় যে

N (0, 1)

$\mathcal N(0,1)$

যেমন

।

P {| Z_{n} - μ | > σ} = 1 - F_{Z_{n}} (μ + σ) + F_{Z_{n}} ((μ + σ)^{-}) \to 1 - Φ (1) + Φ (- 1) \approx 0.32

$P\{|Z_n - \mu| > \sigma\} = 1 - F_{Z_n}(\mu + \sigma) + F_{Z_n}((\mu + \sigma)^-) \to 1-\Phi(1)+\Phi(-1) \approx 0.32$

n \to \infty

$n \to \infty$

ওপি বলে চলেছে

এটি দুটি প্রশ্ন উত্থাপন করে:

আমরা কি এটি থেকে প্রচুর সংখ্যক আইনটি অনুমান করতে পারি? যদি বিশাল সংখ্যার আইনটি বলে যে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মানগুলির নমুনার গড়টি সত্য অর্থের সমান হয় - N যেমন অনন্তের দিকে যায়, তবে এটি আরও শক্তিশালী বলে মনে হয় (কেন্দ্রীয় সীমাটি যেমন বলে) যে মানটি N হয়ে যায় ( μ, σ) যেখানে হ'ল মান বিচ্যুতি।

$X_i$ $\mu$ $\epsilon > 0$

P {| Z_{n} - μ | > ϵ} \to 0 as n \to \infty .

$P\{|Z_n - \mu| > \epsilon\} \to 0 ~~ \text{as}~ n \to \infty.$

সুতরাং, ওপি-র প্রশ্নের উত্তর দিতে,

$n \to \infty$ $P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0.317\cdots$ $P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0$
কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতার উপপাদ্যের সঠিক বিবৃতি থেকে , সীমাবদ্ধ গড় এবং মানক বিচ্যুতি সহ এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলিতে প্রয়োগ করা সংখ্যক দুর্বল আইনকে কেবলমাত্র একটি সীমাবদ্ধ ফর্মটি সর্বোত্তমভাবে ছাড়াই যায়। তবে প্রচুর সংখ্যার দুর্বল আইনও এলোমেলো ভেরিয়েবল যেমন প্যারেটো র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ অর্থ সহ অসীম স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি ধরে রাখে।
আমি বুঝতে পারছি না যে নমুনাটির অর্থ নোনজারো স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির সাথে একটি সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলে রূপান্তরিত হওয়ার চেয়ে আরও শক্তিশালী বক্তব্য যে নমুনাটির অর্থ জনসংখ্যায় রূপান্তরিত হয় যার অর্থ একটি ধ্রুবক (বা শূন্য মানের বিচ্যুতির সাথে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল যদি হয়) তুমি পছন্দ কর).

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

আমি আশ্চর্য হয়েছি যে আমার উত্তরটিকে যে ব্যক্তি হ্রাস করেছে সে কী বলেছিল যা আমি আপত্তিজনক বা ভুল বলেছি।

— দিলীপ সরোতে

7

$\bar X_n$ $n$ $\bar X_n$ $\bar X_{n+1}$ বলুন। সুতরাং না, বিতরণে রূপান্তরটি বৃহত সংখ্যার আইনকে বোঝায় না, যদি না আপনার সমস্ত ভেরিয়েবলের জন্য সাধারণ সম্ভাবনার স্থান থাকে।

— StasK
সূত্র

(+1) আপনি যা বলেন তা সত্য এবং একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। ত্রিভুজাকার অ্যারে প্রতিটি "সারি" এর ভেরিয়েবলগুলিকে পূর্ববর্তী সারিগুলির তুলনায় বিভিন্ন সম্ভাব্য স্থানগুলিতে বাস করার অনুমতি দেয়। অন্যদিকে, আমরা যদি এমন একটি প্রাইরি বলে থাকি যে আমরা আইআইডি র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির ক্রম বিবেচনা করছি, তবে স্পষ্টতই স্বাধীনতার ধারণাটি উপলব্ধি করার জন্য একটি সাধারণ অন্তর্নিহিত স্থানে তাদের অবশ্যই উপস্থিত থাকতে হবে।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল: সুতরাং যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি, "সাধারণ" ক্ষেত্রে যেখানে সমস্ত একই জায়গাতে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে কেন কেন্দ্রিয়তা বড় সংখ্যার আইনকে বোঝায়? অথবা না?

— ব্যবহারকারী 9097

@ user9097 যেহেতু আমরা এখন সূক্ষ্ম বিবরণ, এর রাজ্য মধ্যে পাচ্ছেন যা বৃহৎ সংখ্যক আইন সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা হচ্ছে? দুর্বল আইন নাকি শক্ত আইন?

— দিলীপ সরোতে

এই বিষয়টি কেবলমাত্র বিপুল সংখ্যক শক্তিশালী আইনের জন্যই সত্য , দুর্বল আইনের পক্ষে নয়

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

4

$\sqrt{n}(\bar{X}_n-EX)$ $\mathcal N(0, Var(X))$ $\bar{X}$ $n$ $X$

$X$ $Y$

\sqrt{n} (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (a X_{j} + Y_{j}) - E (a X + Y)) \to N (0, V a r (a X + Y))

$\sqrt{n}(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n(aX_j+Y_j) - E(aX+Y)) \to \mathcal N(0, Var(aX+Y))$

\sqrt{n} a ({\bar{X}}_{n} - E X) + \sqrt{n} ({\bar{Y}}_{n} - E Y) \to N (0, a^{2} V a r (X) + V a r (Y)) .

$\sqrt{n}a(\bar{X}_n- EX)+\sqrt{n}(\bar{Y}_n -EY) \to \mathcal N(0, a^2Var(X)+Var(Y)).$

অন্য কথায়, এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ সিএলটি এর অধীনে নরমালগুলির একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণে রূপান্তর করবে না, কেবল একটি সাধারণ। এটি বোধগম্য হয় কারণ এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হ'ল একটি ভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা সিএলটি সরাসরি প্রয়োগ করা যেতে পারে।

— ড্যানিয়েল জনসন
সূত্র

1

{\bar{X}}_{n} = \sum_{i = 1}^{n} w_{n i} X_{i}

$\bar X_n = \sum_{i=1}^n w_{ni} X_i$

w_{n i} = 1 / n

$w_{ni} = 1/n$

i = 1, \dots, n

$i = 1,\ldots,n$ , একটি প্রাকৃতিক প্রশ্ন যা জিজ্ঞাসা করতে পারে তা হ'ল আমরা যখন এই "ইউনিফর্ম" ওজনকে অন্য কিছু (আরও স্বেচ্ছাচারী) এর সাথে প্রতিস্থাপন করি তখন কী হয়। আমরা এখনও কখন একটি সিএলটি পাই? এই প্রশ্নটি পেতে লিন্ডবার্গের সিএলটি ব্যবহার করা যেতে পারে।

— কার্ডিনাল

\sum_{j = 1}^{n} w_{n j} X_{j}

$\sum^n_{j=1}w_{nj}X_j$

w_{n j} = w_{j} / n

$w_{nj} = w_{j}/n$

w_{j}

$w_j$

w_{j}

$w_{j}$

w_{j} X

$w_jX$

w

$w$

n

$n$

1

E X = 0

$\mathbb E X = 0$

w_{j}

$w_j$

w_{1} = 1

$w_1 = 1$

w_{2} = 0

$w_2 = 0$

w_{j}

$w_j$

w_{j} = 0

$w_j = 0$

\sum_{i = 1}^{j} w_{i} / j \leq 1 / 4

$\sum_{i=1}^j w_i /j \leq 1/4$

\sum_{i = 1}^{j} w_{i} / j \geq 1 / 2

$\sum_{i=1}^j w_i /j \geq 1/2$

0

$0$

1

$1$

1 / 2

$1/2$

1 / 4

$1/4$

0

$0$

1

$1$