3 টি মাত্রায় একাধিক লিনিয়ার রিগ্রেশন কি সেরা ফিটের একটি বিমান বা সেরা ফিটের একটি লাইন?

Question

আমাদের অধ্যাপক একাধিক লিনিয়ার রিগ্রেশন গণিত বা এমনকি জ্যামিতিক উপস্থাপনা পাচ্ছেন না এবং এটি আমাকে সামান্য বিভ্রান্ত করেছে।

একদিকে এটিকে এখনও একাধিক লিনিয়ার রিগ্রেশন বলা হয় , এমনকি উচ্চ মাত্রায়ও। অন্যদিকে, আমরা উদাহরণস্বরূপ আছে যদি এবং আমরা কোন মানের মধ্যে চলা করতে পারেন আমরা জন্য চাই এবং , এই আমাদের সম্ভাব্য সমাধান একটি প্লেনে দিতে হবে না হবে এবং একটি লাইন না?এক্স1এক্স$\hat{Y} = b_0 + b_1 X_1 + b_2 X_2$$X_1$$X_2$

সাধারণভাবে, ভবিষ্যদ্বাণী একটি হতে যাচ্ছে আমাদের পৃষ্ঠ নয় জন্য মাত্রিক hyperplane স্বাধীন ভেরিয়েবল?$k$$k$

Answer 1

আপনি ঠিক বলেছেন, সমাধান পৃষ্ঠটি সাধারণভাবে একটি হাইপারপ্লেন হতে চলেছে। এটি ঠিক যে হাইপারপ্লেন শব্দটি মুখের, বিমানটি খাটো এবং লাইনটি আরও ছোট। আপনি গণিতে অবিরত হিসাবে, এক মাত্রিক কেসটি খুব কমই আলোচনা হয়ে যায় তাই ট্রেড অফ

Big words for high dimensional, Small words for small dimensional

ভাল, পিছনের দিকে শুরু করা।

$Ax = b$$A$$x, b$

স্বরলিপি দিয়েও এটি ঘটে। কখনও কাউকে লিখতে দেখেছেন

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$$

বাম দিকের প্রতীকটি একটি ফাংশনটির নাম, সুতরাং আনুষ্ঠানিক এবং পেডেন্টিক হওয়ার জন্য আপনার লেখা উচিত

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x) = 2x$$

এটি বহু-মাত্রিক ক্ষেত্রে আরও খারাপ হয়ে যায়, যখন ডেরাইভেটিভ দুটি তর্ক করে, একটি যেখানে আপনি ডেরাইভেটিভটি নিয়ে যান এবং অন্যটি হ'ল আপনি যে অনুচ্ছেদে মূল্যায়ন করেন সেদিকে দৃষ্টিগোচর হয়

$$\nabla_{x} f (v)$$

তবে লোকেরা খুব তাড়াতাড়ি অলস হয়ে যায় এবং প্রসঙ্গের দ্বারা বুঝতে পেরে একটি বা অন্য যুক্তিগুলি পড়তে শুরু করে।

পেশাদার গণিতবিদগণ, দৃ in়ভাবে গালে জিহ্বা, স্বীকৃতিটির অপব্যবহার বলে । এমন বিষয় রয়েছে যেখানে স্বরলিপিটি অপব্যবহার না করে নিজেকে প্রকাশ করা মূলত অসম্ভব হবে, আমার প্রিয় ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিটি একটি বিষয় হিসাবে বিবেচিত। মহান নিকোলাস বাউরবাাকি বিষয়টি খুব স্পষ্টভাবে প্রকাশ করেছেন

যতদূর সম্ভব আমরা টেক্সটটিতে ভাষার অপব্যবহারের দিকে মনোযোগ আকর্ষণ করেছি, যা ছাড়া কোনও গাণিতিক পাঠ্য প্যাডেন্ট্রি ঝুঁকিপূর্ণ করে তোলে, অপঠনযোগ্যতা না বলে।

- বাউরবাকি (1988)

এমনকি আপনি স্বরলিপিটির অপব্যবহারের বিষয়ে মন্তব্যও করেছেন আমি নিজেই এটি নজরে না নিয়েই উপরে পড়ে গেলাম!

প্রযুক্তিগতভাবে যেহেতু আপনি আংশিক ডেরিভেটিভ হিসাবে ডিএফ / ডিএক্স লিখেছেন, যদিও অন্যান্য সূচিত ভেরিয়েবলগুলি ধ্রুবক হিসাবে ধরে থাকবে, আংশিক ডেরিভেটিভ প্রযুক্তিগতভাবে এখনও ডিএফ / ডিএক্সের মতো মূল ফাংশনের সমস্ত ভেরিয়েবলের কাজ করবে না ( x, y, ...)?

আপনি পুরোপুরি সঠিক, এবং আমি এখানে যা পাচ্ছি তার এটি একটি ভাল (অনিচ্ছাকৃত) চিত্রণ দেয়।

$\frac{d f}{d x}$$\partial$

অনুমান করি আমি এটিকে এমনভাবে ভাবি যখন আমরা "পদগুলির সংখ্যা অসীমের কাছাকাছি আসার সাথে সাথে একটি সংখ্যার সীমা" পরিবর্তে "অসীম যোগফল" বলি। আমি এটি সম্পর্কে যেভাবে ভাবছি তা হ'ল যতক্ষণ ধারণাগত পার্থক্য স্পষ্ট। এক্ষেত্রে (একাধিক রিগ্রেশন), আমরা প্রথম স্থানটিতে কী সম্পর্কে কথা বলছিলাম তা সত্যই নিশ্চিত ছিলাম না।

$\Sigma$

অলস মানুষ হিসাবে আমরা সাধারণ ক্ষেত্রে শব্দের অর্থায়ন করতে চাই।

(*) Icallyতিহাসিকভাবে, এইভাবে অসীম অঙ্কের বিকাশ ঘটে না। আংশিক অঙ্কের সংজ্ঞাটির সীমাটি একটি উত্তরোত্তর বিকশিত হয়েছিল যখন গণিতবিদরা এমন পরিস্থিতির মুখোমুখি হতে শুরু করেছিলেন যেখানে খুব সঠিকভাবে যুক্তি দেওয়া প্রয়োজন ছিল।

Comments

এটি মজার যে আপনি আংশিক ডেরাইভেটিভসের উদাহরণ দিয়েছেন কারণ আমি সর্বদা এটি সম্পর্কে (আধ্যাত্মিক পড়াশোনার আনন্দ ...) সম্পর্কে ভাবতাম। উপায় দ্বারা (সম্পর্কহীন এবং আমি পেডেন্টিক নই তবে কেবল সম্ভব হিসাবে আমি যতটা সম্ভব বুঝতে পেরেছি) প্রযুক্তিগতভাবে যেহেতু আপনি df / dx কে আংশিক ডেরাইভেটিভ হিসাবে লিখেছেন, যদিও অন্য নিহিত ভেরিয়েবলগুলি ধ্রুবক হিসাবে ধরে রাখা হবে না, আংশিক ডেরাইভেটিভ প্রযুক্তিগতভাবে এখনও ডিএফ / ডিএক্সের মতো মূল ফাংশনের সমস্ত ভেরিয়েবলের একটি ক্রিয়াকলাপ হতে পারে (x, y, ...)? আমার ধারণা আমার প্রশ্নটি কি আংশিক ডেরাইভেটিভ এখনও সমস্ত ভেরিয়েবলের একটি কার্যকারিতা নয়?

— জেরেমি র‌্যাডক্লিফ

এছাড়াও, এই সমস্ত ব্যাখ্যা করার জন্য ধন্যবাদ। আমি অনুমান করি যে আমি এটির মতোই চিন্তা করি যখন আমরা "পদগুলির সংখ্যা অসীমের কাছে পৌঁছানোর সাথে সাথে একটি যোগফলের সীমা" পরিবর্তে "অসীম যোগফল" বলি। আমি এটি সম্পর্কে যেভাবে ভাবছি তা হ'ল যতক্ষণ ধারণাগত পার্থক্য স্পষ্ট। এক্ষেত্রে (একাধিক রিগ্রেশন), আমরা প্রথম স্থানটিতে কী সম্পর্কে কথা বলছিলাম তা সত্যই নিশ্চিত ছিল না। আমি 3 ডি তে একটি লাইন কল্পনা করার চেষ্টা করেছি এবং তখন বুঝতে পেরেছিলাম যদি আমরা বেশ কয়েকটি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলগুলি অবাধে পরিবর্তিত হতে পারি তবে এটি ঠিক নিশ্চিত করতে চেয়েছিলাম।

— জেরেমি র‌্যাডক্লিফ

+1 দুর্দান্ত উত্তর। কখনও কখনও লোকগুলি অলস হয় এবং প্রচুর বিভ্রান্তি সৃষ্টি করে। এজন্য আমি এই পোস্টে স্বরলিপি জিজ্ঞাসা করার চেষ্টা করছিলাম। stats.stackexchange.com/questions/216286/…

— দু

@ জেরেমির্যাড ক্লিফ আমি কিছু ভাষ্য সম্পাদনা করেছি।

— ম্যাথু ড্র্যারি

@ ম্যাথেজড্রুরি, আমার মন্তব্যগুলিতে সময় দেওয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। এটি আমার পক্ষে খুব সহায়ক কারণ আমি জানি যে আমি গণিত করি তার বেশিরভাগ গণিত আমি স্ব-অধ্যয়ন করি এবং আশেপাশের সংস্কৃতি এবং গণিতবিদদের অ্যাক্সেসের অভাব স্ট্যাকএক্সচেঞ্জের মতো জায়গা তৈরি করে এবং আপনার মত উত্তর আমার কাছে অমূল্য করে তোলে।

— জেরেমি র‌্যাডক্লিফ

Answer 2

"লিনিয়ার" এর অর্থ এই নয় যে আপনি এই প্রসঙ্গে এটি কী মনে করেন - এটি কিছুটা সাধারণ

প্রথমত, এটি আসলে x এর ক্ষেত্রে লিনিয়ারিটি সম্পর্কিত নয় তবে প্যারামিটারগুলি * ("প্যারামিটারগুলিতে রৈখিক")।

$E(Y|X) = X\beta$$\beta$

সুতরাং সেরা ফিটের একটি বিমান (বা আরও সাধারণভাবে হাইপারপ্লেন) এখনও "লিনিয়ার রিগ্রেশন"।

$1$$X\beta$$X$$\beta$