ওয়েবেল বিতরণের জন্য EM সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমান

24

দ্রষ্টব্য: আমি আমার প্রাক্তন ছাত্রের কাছ থেকে প্রযুক্তিগত কারণে নিজের পোস্ট দিতে অক্ষম থেকে একটি প্রশ্ন পোস্ট করছি।

একটি আইডির নমুনা দেওয়া একটি ডিস্ট্রিবিউশন থেকে পিডিএফ জন্য একটি দরকারী অনুপস্থিত ভেরিয়েবল উপস্থাপনা এবং সেইজন্য কোনও সম্পর্কিত EM (প্রত্যাশা-সর্বাধিকীকরণ) অ্যালগরিদম যা সরাসরি এর পরিবর্তে এর MLE সন্ধান করতে ব্যবহৃত হতে পারে সংখ্যাগত অপ্টিমাইজেশন? $x_1,\ldots,x_n$

f_{k} (x) = k x^{k - 1} e^{- x^{k}} x > 0

$f_k(x) = k x^{k-1} e^{-x^k} \quad x>0$

f_{k} (x) = \int_{Z} g_{k} (x, z) d z

$f_k(x) = \int_\mathcal{Z} g_k(x,z)\,\text{d}z$

k

$k$

— সিয়ান
সূত্র

2

কোন সেন্সরিং আছে?

— ocram

2

নিউটন রাফসনে কী দোষ হয়েছে?

— সম্ভাব্যতা ব্লগ

2

@ প্রোব্যাবিলিটিস্লোগিক: কোনও কিছুর সাথে ভুল নেই! আমার ছাত্রটি জানতে চাইবে কোনও EM সংস্করণ আছে কিনা, এটাই সব ...

— শিয়ান

1

আপনি কী আলাদা, সহজ প্রসঙ্গে যা খুঁজছেন তার উদাহরণ দিতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ সম্ভবত গাউসিয়ান বা অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণ সহ? যখন সমস্ত ডেটা পর্যবেক্ষণ করা হয় আমি (এবং অন্যান্য পোস্টারগুলির কিছু, তাদের মন্তব্যের উপর ভিত্তি করে) দেখি না যে EM আপনার প্রশ্নের সাথে কীভাবে প্রাসঙ্গিক।

— আহফস

1

@ প্রোব্যাবিলিটিস্লোগিক আমি মনে করি আপনার বলা উচিত ছিল, "ওহ, আপনি মানে নিউটন র‌্যাফসন ব্যবহার করতে চান?"। ওয়েইবুলগুলি নিয়মিত পরিবার ... আমার ধারণা, এমএল সমাধানগুলি অনন্য। সুতরাং, EM এর "E" ওভারের কিছুই নেই, সুতরাং আপনি কেবল "এম" আইং ... এবং স্কোর সমীকরণের শিকড় সন্ধান করা এটি করার সর্বোত্তম উপায়!

— অ্যাডমো

7

আমি মনে করি উত্তরটি হ্যাঁ, যদি আমি সঠিকভাবে প্রশ্নটি বুঝতে পারি।

লিখুন । তারপরে একটি EM অ্যালগরিদম ধরণের পুনরাবৃত্তি, উদাহরণস্বরূপ দিয়ে শুরু হয় $z_i = x_i^k$ $\hat k = 1$

ই পদক্ষেপ: ${\hat z}_i = x_i^{\hat k}$
এম পদক্ষেপ: $\hat k = \frac{n}{\left[\sum({\hat z}_i - 1)\log x_i\right]}$

এটি আইটকিন এবং ক্লেটন (১৯৮০) দ্বারা ওয়েবুলের আনুপাতিক বিপত্তি মডেলগুলির জন্য প্রস্তাবিত পুনরাবৃত্তির একটি বিশেষ মামলা (কোনও সেন্সরিং এবং কোনও কোভারিয়েট নেই) is এটি আইটকিন এট আল (1989) এর 6.১১ অনুচ্ছেদেও পাওয়া যাবে।

আইটকিন, এম। এবং ক্লেটন, ডি, ১৯৮০। জিএলআইএম ব্যবহার করে জটিল সেন্সর করা বেঁচে থাকার ডেটাতে এক্সফোনেনশিয়াল, ওয়েইবুল এবং চূড়ান্ত মান বিতরণের ফিটিং। ফলিত পরিসংখ্যান , pp.156-163।
আইটকিন, এম।, অ্যান্ডারসন, ডি।, ফ্রান্সিস, বি এবং হিনে, জে।, 1989. জিএলআইএম-তে স্ট্যাটিস্টিকাল মডেলিং । অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস. নিউ ইয়র্ক

— DavidF
সূত্র

অনেক অনেক ধন্যবাদ ডেভিড!

অনুপস্থিত বৈচিত্র হিসাবে চিকিত্সা কখনও আমার মন কাটেনি ...!

x_{i}^{k}

$x_i^k$

— শি'য়ান

7

WEIBULL MLE শুধুমাত্র সংখ্যাসূচকভাবে সমাধেয় হল:

চলুন সাথে

f_{λ, β} (x) = {\begin{cases} \frac{β}{λ} {(\frac{x}{λ})}^{β - 1} e^{- {(\frac{x}{λ})}^{β}} & , x \geq 0 \\ 0 & , x < 0 \end{cases}

$f_{\lambda,\beta}(x) = \begin{cases} \frac{\beta}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{\beta-1}e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{\beta}} & ,\,x\geq0 \\ 0 &,\, x<0 \end{cases}$

।

β, λ > 0

$\beta,\,\lambda>0$

1) Likelihoodfunction :

L_{\hat{x}} (λ, β) = \prod_{i = 1}^{N} f_{λ, β} (x_{i}) = \prod_{i = 1}^{N} \frac{β}{λ} {(\frac{x_{i}}{λ})}^{β - 1} e^{- {(\frac{x_{i}}{λ})}^{β}} = \frac{β^{N}}{λ^{N β}} e^{- \sum_{i = 1}^{N} {(\frac{x_{i}}{λ})}^{β}} \prod_{i = 1}^{N} x_{i}^{β - 1}

$\mathcal{L}_{\hat{x}}(\lambda, \beta) =\prod_{i=1}^N f_{\lambda,\beta}(x_i) =\prod_{i=1}^N \frac{\beta}{\lambda}\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{\beta-1}e^{-\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{\beta}} = \frac{\beta^N}{\lambda^{N \beta}} e^{-\sum_{i=1}^N\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{\beta}} \prod_{i=1}^N x_i^{\beta-1}$

লগ-Likelihoodfunction :

ℓ_{\hat{x}} (λ, β) := \ln L_{\hat{x}} (λ, β) = N \ln β - N β \ln λ - \sum_{i = 1}^{N} {(\frac{x_{i}}{λ})}^{β} + (β - 1) \sum_{i = 1}^{N} \ln x_{i}

$\ell_{\hat{x}}(\lambda, \beta):= \ln \mathcal{L}_{\hat{x}}(\lambda, \beta)=N\ln \beta-N\beta\ln \lambda-\sum_{i=1}^N \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^\beta+(\beta-1)\sum_{i=1}^N \ln x_i$

2) এমএলই-সমস্যা : 3)গ্রেডিয়েন্টদ্বারাসর্বাধিকীকরণ:

\begin{aligned} max_{(λ, β) \in R^{2}} & ℓ_{\hat{x}} (λ, β) \\ s.t. λ > 0 \\ β > 0 \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{aligned} & & \underset{(\lambda,\beta) \in \mathbb{R}^2}{\text{max}}\,\,\,\,\,\, & \ell_{\hat{x}}(\lambda, \beta) \\ & & \text{s.t.} \,\,\, \lambda>0\\ & & \beta > 0 \end{aligned} \end{equation*}$

0

$0$

এটি অনুসরণ করে:

\begin{aligned} \frac{\partial l}{\partial λ} & = - N β \frac{1}{λ} + β \sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{β} \frac{1}{λ^{β + 1}} & \overset{!}{=} 0 \\ \frac{\partial l}{\partial β} & = \frac{N}{β} - N \ln λ - \sum_{i = 1}^{N} \ln (\frac{x_{i}}{λ}) e^{β \ln (\frac{x_{i}}{λ})} + \sum_{i = 1}^{N} \ln x_{i} & \overset{!}{=} 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\partial l}{\partial \lambda}&=-N\beta\frac{1}{\lambda}+\beta\sum_{i=1}^N x_i^\beta\frac{1}{\lambda^{\beta+1}}&\stackrel{!}{=} 0\\ \frac{\partial l}{\partial \beta}&=\frac{N}{\beta}-N\ln\lambda-\sum_{i=1}^N \ln\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)e^{\beta \ln\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)}+\sum_{i=1}^N \ln x_i&\stackrel{!}{=}0 \end{align*}$

\begin{aligned} - N β \frac{1}{λ} + β \sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{β} \frac{1}{λ^{β + 1}} & = 0 \\ - β \frac{1}{λ} N + β \frac{1}{λ} \sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{β} \frac{1}{λ^{β}} & = 0 \\ - 1 + \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{β} \frac{1}{λ^{β}} & = 0 \\ \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{β} & = λ^{β} \end{aligned}

$\begin{align*} -N\beta\frac{1}{\lambda}+\beta\sum_{i=1}^N x_i^\beta\frac{1}{\lambda^{\beta+1}} &= 0\\\\ -\beta\frac{1}{\lambda}N +\beta\frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^N x_i^\beta\frac{1}{\lambda^{\beta}} &= 0\\\\ -1+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i^\beta\frac{1}{\lambda^{\beta}}&=0\\\\ \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i^\beta&=\lambda^\beta \end{align*}$

\Rightarrow λ^{*} = {(\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{β^{*}})}^{\frac{1}{β^{*}}}

$\Rightarrow\lambda^*=\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i^{\beta^*}\right)^\frac{1}{\beta^*}$

Plugging $\lambda^*$ into the second 0-gradient condition:

\begin{aligned} \Rightarrow β^{*} = {[\frac{\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{β^{*}} \ln x_{i}}{\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{β^{*}}} - \bar{\ln x}]}^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align*} \Rightarrow \beta^*=\left[\frac{\sum_{i=1}^N x_i^{\beta^*}\ln x_i}{\sum_{i=1}^N x_i^{\beta^*}}-\overline{\ln x}\right]^{-1} \end{align*}$

This equation is only numerically solvable, e.g. Newton-Raphson algorithm. $\hat{\beta}^*$ can then be placed into $\lambda^*$ to complete the ML estimator for the Weibull distribution.

— emcor
সূত্র

11

Unfortunately, this does not appear to answer the question in any discernible way. The OP is very clearly aware of Newton-Raphson and related approaches. The feasibility of N-R in no way precludes the existence of a missing-variable representation or associated EM algorithm. In my estimation, the question is not concerned at all with numerical solutions, but rather is probing for insight that might become apparent if an interesting missing-variable approach were demonstrated.

— cardinal

@cardinal It is one thing to say there was only numerical solution, and it is another thing to show there is only numerical solution.

— emcor

5

Dear @emcor, I think you may be misunderstanding what the question is asking. Perhaps reviewing the other answer and associated comment stream would be helpful. Cheers.

— cardinal

@cardinal I agree it is not direct answer, but it is the exact expressions for the MLE's e.g. can be used to verify the EM.

— emcor

4

Though this is an old question, it looks like there is an answer in a paper published here: http://home.iitk.ac.in/~kundu/interval-censoring-REVISED-2.pdf

In this work the analysis of interval-censored data, with Weibull distribution as the underlying lifetime distribution has been considered. It is assumed that censoring mechanism is independent and non-informative. As expected, the maximum likelihood estimators cannot be obtained in closed form. In our simulation experiments it is observed that the Newton-Raphson method may not converge many times. An expectation maximization algorithm has been suggested to compute the maximum likelihood estimators, and it converges almost all the times.

— user3204720
সূত্র

1

Can you post a full citation for the paper at the link, in case it goes dead?

— gung - Reinstate Monica

1

This is an EM algorithm, but does not do what I believe the OP wants. Rather, the E-step imputes the censored data, after which the M-step uses a fixed point algorithm with the complete data set. So the M-step is not in closed form (which I think is what the OP is looking for).

— Cliff AB

1

@CliffAB: thank you for the link (+1) but indeed the EM is naturally induced in this paper by the censoring part. My former student was looking for a plain uncensored iid Weibull likelihood optimisation via EM.

— Xi'an

-1

In this case the MLE and EM estimators are equivalent, since the MLE estimator is actually just a special case of the EM estimator. (I am assuming a frequentist framework in my answer; this isn't true for EM in a Bayesian context in which we're talking about MAP's). Since there is no missing data (just an unknown parameter), the E step simply returns the log likelihood, regardless of your choice of $k^{(t)}$ . The M step then maximizes the log likelihood, yielding the MLE.

EM would be applicable, for example, if you had observed data from a mixture of two Weibull distributions with parameters $k_1$ and $k_2$ , but you didn't know which of these two distributions each observation came from.

— ahfoss
সূত্র

6

I think you may have misinterpreted the point of the question, which is: Does there exist some missing-variable interpretation from which one would obtain the given Weibull likelihood (and which would allow an EM-like algorithm to be applied)?

— cardinal

4

The question statement in @Xi'an's post is quite clear. I think the reason it hasn't been answered is because any answer is likely nontrivial. (It's interesting, so I wish I had more time to think about it.) At any rate, your comment appears to betray a misunderstanding of the EM algorithm. Perhaps the following will serve as an antidote:

— cardinal

6

Let

f (x) = π φ (x - μ_{1}) + (1 - π) φ (x - μ_{2})

$f(x) = \pi \varphi(x-\mu_1) + (1-\pi) \varphi(x-\mu_2)$ where

φ

$\varphi$ is the standard normal density function. Let

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (u) d u

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(u)\,\mathrm{d}u$ . With

U_{1}, \dots, U_{n}

$U_1,\ldots,U_n$ iid standard uniform, take

X_{i} = F^{- 1} (U_{i})

$X_i = F^{-1}(U_i)$ . Then,

X_{1}, \dots, X_{n}

$X_1,\ldots,X_n$ is a sample from a Gaussian mixture model. We can estimate the parameters by (brute-force) maximum likelihood. Is there any missing data in our data-generation process? No. Does it have a latent-variable representation allowing for the use of an EM algorithm? Yes, absolutely.

— cardinal

4

My apologies @cardinal; I think I have misunderstood two things about your latest post. Yes, in the GMM problem you could search

R^{2} \times [0, 1]

$\mathbb{R}^2 \times [0,1]$ via a brute force ML approach. Also, I now see that the original problem looks for a solution that involves introducing a latent variable that allows for an EM approach to estimating the parameter

k

$k$ in the given density

k x^{k - 1} e^{- x^{k}}

$k x^{k-1}e^{-x^k}$ . An interesting problem. Are there any examples of using EM like this in such a simple context? Most of my exposure to EM has been in the context of mixture problems and data imputation.

— ahfoss

3

@ahfoss: (+1) to your latest comment. Yes! You got it. As for examples: (i) it shows up in censored data problems, (ii) classical applications like hidden Markov models, (iii) simple threshold models like probit models (e.g., imagine observing the latent

Z_{i}

$Z_i$ instead of Bernoulli

X_{i} = 1_{(Z_{i} > μ)}

$X_i = \mathbf{1}_{(Z_i > \mu)}$ ), (iv) estimating variance components in one-way random effects models (and much more complex mixed models), and (v) finding the posterior mode in a Bayesian hierarchical model. The simplest is probably (i) followed by (iii).

— cardinal