৪. ব্যতীত অন্য কোনও সংখ্যায় অবতরণ না হওয়া পর্যন্ত একটি ডাই রোল করুন ফলাফল 4> হওয়ার সম্ভাবনা কী?

Question

একজন খেলোয়াড়কে ন্যায্য, ছয়তরফা ডাই দেওয়া হয়। জয়ের জন্য, তাকে অবশ্যই 4 টিরও বেশি সংখ্যার রোল করতে হবে (অর্থাত্ একটি 5 বা একটি 6)। যদি সে একটি 4 রোল করে তবে তাকে অবশ্যই আবার রোল করা উচিত। তার জয়ের অসুবিধা কী?

আমি মনে করি এর বিজয়ী হওয়ার সম্ভাবনাটি পুনরাবৃত্তি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:$P(W)$

$$P(W) = P(r = 5 \cup r = 6) + P(r = 4) \cdot P(W)$$

জাভাতে 1 মিলিয়ন ট্রায়াল চালিয়ে আমি কে 0.3999 হিসাবে অনুমান করেছি :$P(W)$$0.3999$

import java.util.Random;
public class Dice {

    public static void main(String[] args) {
        int runs = 1000000000;
        int wins = 0;
        for (int i = 0; i < runs; i++) {
            wins += playGame();
        }
        System.out.println(wins / (double)runs);
    }

    static Random r = new Random();

    private static int playGame() {
        int roll;
        while ((roll = r.nextInt(6) + 1) == 4);
        return (roll == 5 || roll == 6) ? 1 : 0;
    }
}

এবং আমি দেখতে পাচ্ছি যে এটির মতো পি (ডাব্লু) প্রসারিত হতে পারে $P(W)$:

$$P(W) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)\right)...$$

তবে আমি জানি না কীভাবে এই ধরণের পুনর্বিবেচনার অবলম্বন না করে পুনরাবৃত্তির সম্পর্কটি সমাধান করা যায়। এটা কি সম্ভব?

Comments

পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক স্থাপনের জন্য এটি অনেক প্রচেষ্টা। উত্তরটি 0.4 হয় বলে আপনার বিশ্বাস করার ভাল কারণ রয়েছে। এটি একটি শক্তিশালী ইঙ্গিত যা সমস্যার কথা চিন্তা করার আর একটি উপায় যা আপনাকে সরাসরি উত্তর দেয়। খোঁজা. জিওমেটের উত্তর আপনাকে সেখানে পৌঁছে দেবে, যার ফলশ্রুতিতে আপনি এখানে কী ঘটছে তা বুঝতে এবং এমনকি এই ধরণের প্রচেষ্টা ছাড়াই আরও দ্রুত সমস্যার মুখোমুখি হওয়া আপনার আরও সহজতর করতে সহায়তা করবে। আপাতদৃষ্টিতে জটিল সমস্যাটির যদি সহজ উত্তর হয় বলে মনে হয় তবে আপনার কারণটি খুঁজে বের করার চেষ্টা করার জন্য সর্বদা সময় বিনিয়োগ করা উচিত। পরে বিশাল লভ্যাংশ প্রদান করে।

— জোয়েল

একবার আপনি বুঝতে পেরেছেন যে ছয়টি ফলাফলের সমান সম্ভাবনা এবং রোলসের স্বতন্ত্রতার কারণে এই পরীক্ষার কোনও নির্দিষ্ট ফলাফলের জন্য বিশেষ কিছু নেই, এটি সম্ভবত স্পষ্ট যে সম্ভাব্য ফলাফলগুলির পাঁচটিই সমানভাবে সম্ভাব্য।

— whuber

আমি সামান্য হতাশ হয়েছি কেউ এখনও এর জন্য শোভিত মার্কভ চেইন সমাধানটি গ্রহণ করতে পারেনি :-) ম্যাথ স্ট্যাক এক্সচেঞ্জের "ওভারকিল সলিউশন" এর একটি দুর্দান্ত traditionতিহ্য রয়েছে যা খুব কমই ক্রস ভ্যালিটেটেডে প্রসারিত বলে মনে হয় ...

— সিলভারফিশ

Sim 2 থেকে of either এর মধ্যে বাছাই 2/5, সুতরাং আপনার সম্ভবত সঠিক। $\{5,6\}$$\{1,2,3,5,6\}$

— mathreadler

উত্তর বনাম এই পোস্টটি আমি ডেটা বিজ্ঞানীরা বনাম পরিসংখ্যানবিদদের মতো কল্পনা করি।

— বিডিওনোভিক

Answer 1

বীজগণিত ব্যবহার করে এটি সমাধান করুন:

$$\begin{aligned} P(W) &= \tfrac 2 6 + \tfrac 1 6 \cdot P(W) \\[7pt] \tfrac 5 6 \cdot P(W) &= \tfrac 2 6 \\[7pt] P(W) &= \tfrac 2 5. \end{aligned}$$

Comments

দ্রষ্টব্য যে এই গণনাটি কেবল বৈধ কারণ স্ট্রং মার্কভ সম্পত্তি বিচ্ছিন্ন মার্কভ চেইনের জন্য ধারন করে।

— চিল 2 ম্যাচ

আমি আমার বিচ্ছিন্ন মার্কভ চেইনগুলি স্মরণ করি না, তবে আমি সাধারণ গণিত থেকে ঝুঁকি নিয়েছিলাম, আপনার অর্থ এই যে পুনরাবৃত্তির সম্পর্কটি কেবলমাত্র স্ট্রং মার্কভ প্রপার্টিটির কারণে বৈধ। সম্পর্ক স্থাপনের পরে, আমরা কেবল এক্স এর জন্য সমাধান করছি।

— জোসিনালভো

এটা কি সঠিক?

— জোসিনালভো

@ জোসিনালভো: প্রযুক্তিগতভাবে, প্রশ্নটি হচ্ছে সমীকরণের উভয় দিকের পি (ডাব্লু) এর একই অর্থ কিনা? স্ট্রং মার্কভ সম্পত্তি তারা বোঝায়। এই সম্পত্তিটির অনুপস্থিতিতে, বাম পাশের পি (ডাব্লু) এর অর্থ "এই রোলটি দিয়ে জয়ের সুযোগ" এবং ডানদিকে 1/6 * পি (ডাব্লু) এর অর্থ "একটি 4 রোল করার পরে জয়ের সুযোগ"।

— MSalters

Answer 2

দ্রষ্টব্য: এটি পুনরাবৃত্তির পরিবর্তে প্রাথমিক প্রশ্নের উত্তর is

যদি সে একটি 4 রোল করে, তবে তা মূলত গণনা করা হয় না, কারণ পরবর্তী রোলটি স্বাধীন। অন্য কথায়, একটি 4 ঘূর্ণায়মানের পরে পরিস্থিতিটি তিনি যখন শুরু করেছিলেন ঠিক একইরকম। সুতরাং আপনি 4 টি উপেক্ষা করতে পারেন তবে তারপরে যে ফলাফলগুলি গুরুত্বপূর্ণ তা হতে পারে 1-3 এবং 5-6। এখানে 5 টি পৃথক ফলাফল রয়েছে যার মধ্যে 2 টি জিতেছে। সুতরাং উত্তরটি 2/5 = 0.4 = 40%।

Comments

আপনি এটিকে আরও কিছুটা সরাসরি করতে পারেন: "প্রথম রোলটি বিবেচনা করুন যা একটি নয় 4. তারপরে ফলাফলগুলি ..."

— জোয়েল

বেশিরভাগ লোকেরা যখন অজস্র গণিত দেখেন তখন চোখ জুড়ে যায়, তাই আমি এটি আরও ভাল পছন্দ করি। মূলত আপনি ফলাফলগুলি থেকে 4 সরিয়ে দিচ্ছেন, সুতরাং এটি 1, 2, 3, 5, 6. এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে আপনার 40% সুযোগ রয়েছে।

— নেলসন

আমি এটি শিরোনাম থেকে ভেবেছি, তাই আমি এটি ক্লিক করার পরে বেশিরভাগই পুরো প্রশ্নটি স্কিম করেছিলাম। অন্যথায় আমি সম্ভবত নিজেকে বিভ্রান্ত এবং দ্বিতীয় অনুমান করা হত!

— জিওম্যাট

@Nelson আমি আরও অনেক বেশি মানুষের যাদের চোখ উপর পাকানো যখন তারা যাদের চোখের উপর পাকানো যখন তারা দেখে চেয়ে সম্ভাব্যতা সমস্যা যুক্তি এই ধরনের দেখতে দেখা করেছি । $p=a+bp$

— জাইকে

হ্যাঁ. গল্পটির নৈতিকতা হ'ল: সমস্যাটি যতটা প্রয়োজন তার চেয়ে শক্ত করার চেষ্টা করবেন না।

— জয়

Answer 3

Dsaxton করে উত্তর ( /stats//a/232107/90759 ) এবং GeoMatt22 ( /stats//a/232107/90759 ) সমস্যা সেরা পন্থা দেব। অন্যটি হল আপনার অনুভূতিটি উপলব্ধি করা

$$P(W) = \frac13+\frac16\left(\frac13+\frac16(\cdots)\right)$$

আসলেই জ্যামিতিক অগ্রগতি :

$$\frac13+\frac16\frac13+\frac1{6^2}\frac13+\cdots$$

সাধারণভাবে আমাদের আছে

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_0q^n = \frac{a_0}{1-q}$$

সুতরাং এখানে আমাদের আছে

$$P(W) = \frac{\frac13}{1-\frac16} = \frac13:\frac56=\frac{6}{15}=\frac25.$$

অবশ্যই, জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফলের সাধারণ সূত্রটি প্রমাণ করার উপায়টি হ'ল ডিসেক্সটনের অনুরূপ বীজগণিত সমাধান ব্যবহার করে।

Comments

@ উইলিয়াম, আমি মনে করি না যে আপনার মন্তব্য বেশ কয়েকটি কারণে উপযুক্ত। 1. আমি কখনই বলিনি যে এর জন্য আপনার জ্যামিতিক সিরিজ দরকার । ২. আপনার উত্তরে আপনি যে ধারণাগুলি ব্যবহার করেন তা অনেক বেশি ভারী যন্ত্রপাতি, এটি "আপনার জ্যামিতিক সিরিজের দরকার নেই! আপনার কেবলমাত্র আরও উন্নত এবং পরিশীলিত শক্তিশালী মার্কোভ সম্পত্তি প্রয়োজন" বলার জন্য বিড়ম্বনা। ৩. একটি সমাধান যা সহজ এবং কঠোর ইতিমধ্যে dsaxton দ্বারা সরবরাহ করা হয়েছিল। আপনার পদ্ধতিটি আরও চতুর্দিকে এবং এই সমস্যার জন্য ওভারকিল। ৪. ওপিতে ইতিমধ্যে জ্যামিতিক সিরিজের সমতুল্য একটি অভিব্যক্তি ছিল, কারও কাছে এটি সম্বোধন করতে হয়েছিল, পাশাপাশি আমিও হতে পারি।

— মেনি রোজনফিল্ড

@ উইলিয়াম: শেষ পর্যন্ত, আপনার নিজের উত্তরটি সূক্ষ্ম, অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ এবং প্রশ্নের উত্তর সংগ্রহের ক্ষেত্রে একটি দরকারী সংযোজন। এর অর্থ এই নয় যে আপনার অন্য প্রতিটি উত্তরে গিয়ে বলা উচিত যে আপনার চেয়ে অনেক ভাল। তারা সব ঠিক আছে। সর্বাধিক বিমূর্ত এবং সাধারণ উপায়ে সমস্ত কিছুর কাছে যেতে হবে না।

— মেনি রোজেনফিল্ড

আমি গণিতের মেজর হওয়ার অনেক সময় হয়ে গেছে, তাই আমার উত্তরটিতে যদি অনড়তা থাকে তবে আমি ক্ষমা চাইছি। (শুধু দয়া করে আমাকে বলবেন না এটি পছন্দসই

— অট্টালিকার

Answer 4

উপরের সমস্ত উত্তর সঠিক, তবে তারা কেন সঠিক তা তারা ব্যাখ্যা করে না এবং কেন আপনি এতগুলি বিবরণ উপেক্ষা করতে পারেন এবং জটিল পুনরাবৃত্তির সম্পর্কের সমাধান করতে হবে তা এড়াতে পারেন।

কারণ কেন অন্যান্য উত্তর সঠিক হয় স্ট্রং মার্কভ সম্পত্তি , যা একটি বিযুক্ত মার্কভ চেইন জন্য নিয়মিত মার্কভ সম্পত্তিতে সমতুল্য। https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_property#Strong_Markov_property

মূলত ধারণাটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল

প্রথমবারের মতো 4 এ মারা না যাওয়ার আগ পর্যন্ত সংখ্যা)$\tau:=($

একটি বিরতি সময় । https://en.wikedia.org/wiki/Stopping_time একটি থামার সময় একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা ভবিষ্যতের কোনও তথ্যের উপর নির্ভর করে না ।

$n$$\tau=n$$\tau$

$\tau$$X_{\tau}$

$\tau -1$$\tau$$X_{\tau} > 4$

$$\mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=1)=\mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=2)=\dots = \mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=50,000,000)=\dots$$

$\tau=1$

$$\mathbb{P}(X_1>4|X\not=4) = \frac{\mathbb{P}(X_1 > 4 \cap X_1 \not=4)}{\mathbb{P}(X_1 \not= 4)} = \frac{\mathbb{P}(X_1 > 4)}{\mathbb{P}(X_1 \not=4)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}=\frac{2}{5}$$

আপনি থামার সময় এবং স্ট্রং মার্কভ সম্পত্তি সম্পর্কে ডিউরেটের সম্ভাব্যতা থিওরি এবং উদাহরণগুলির বিভাগ 8.3 (4 র্থ সংস্করণ) এ আরও পড়তে পারেন p 365।

Comments

আমি উইকি এন্ট্রি থেকে যতদূর বলতে পারি, একটি থামানো সময়ের অস্তিত্ব প্রয়োজনীয় তবে এটি যথেষ্ট নয় যে সিরিজের বিভিন্ন ইভেন্ট এসএমপি প্রদর্শন করে। দুঃখিত যদি আমি কোনও রসিকতা বা গভীর অন্তর্দৃষ্টি অনুপস্থিত, তবে কেন কেবল রোলগুলি স্বাধীন বলে ধরে নেওয়া যায় না এবং এটি নিয়েই চালিয়ে যাচ্ছি?

— জ্যাকব রায়হলে

@ জ্যাকোব্রাইহলে "শক্তিশালী মার্কভের সম্পত্তি, যা আলাদা মার্কোভ চেইনের জন্য নিয়মিত মার্কভ সম্পত্তির সমতুল্য" " এই দৃশ্যটি স্পষ্টতই একটি পৃথক মার্কভ চেইন গঠন করে। রোলগুলি স্বতন্ত্র, সে কারণেই এটি একটি পৃথক মার্কভ চেইন। সমস্যাটি হ'ল ইভেন্টটি "প্রথম রোল যা 4 এ অবতরণ করে না" পূর্ববর্তী রোলগুলির চেয়ে স্বতন্ত্র নয় , কারণগুলির জন্য যা আশাবাদী সুস্পষ্ট।

— চিল 2 ম্যাচ

এটি সমানভাবে স্পষ্ট যে রোলগুলি স্বাধীন। তাহলে এসএমপি কী অতিরিক্ত সুবিধা দেয়?

— জ্যাকব রায়হলে

@ জ্যাকোব্রাইহলে রোলগুলির মান স্বতন্ত্র হলেও, ডাইয়ের মানটি প্রথমবারের মতো 4 এর সমান নয় এমন একটি মানের উপরে অবতরণ করে যা মর আগের রোলগুলিতে অবতরণ করে of

— চিল 2 ম্যাচ

এটি হওয়া উচিত, যেহেতু রোলিংটি এটি হওয়ার সাথে সাথেই বন্ধ হয়ে যায়। কোনও নন -4 রোল থাকতে পারে যা প্রথমটিও নয়। এমনকি যদি তা নাও হয় তবে আপনি কী ধরনের সম্পর্কের পরামর্শ দিচ্ছেন তা আমি নিশ্চিত নই।

— জ্যাকব রায়হলে

Answer 5

সমস্যাটি দেখার আরও একটি উপায়।

একটি 'রিয়েল রেজাল্ট' কল করতে দিন 1,2,3,5 বা 6।

আপনি যদি 'সত্যিকারের ফলাফল' পান তবে প্রথম রোলটিতে জয়ের সম্ভাবনা কী? 2/5

দ্বিতীয় রোলটিতে প্রথমবার 'সত্যিকারের ফলাফল' পাওয়ার পরে যদি দ্বিতীয় রোলটিতে জয়ের সম্ভাবনা কত? 2/5

তৃতীয়, চতুর্থ জন্য একই।

সুতরাং, আপনি (নমুনা) আরও ছোট নমুনাগুলিতে আপনার নমুনা ভাঙ্গতে পারেন এবং সেই সমস্ত নমুনাগুলি একই সম্ভাবনা দেয়।