অভিন্ন বিতরণ থেকে সূচকীয় বিতরণ এবং তদ্বিপরীত

Question

এটি সম্ভবত একটি তুচ্ছ প্রশ্ন, তবে এই উইকিপিডিয়া নিবন্ধ এবং "বিতরণের সংশ্লেষ" নথি সহ আমার সন্ধান এখন পর্যন্ত ফলদায়ক হতে পারে ।

যদি এর অভিন্ন বিতরণ থাকে তবে এর অর্থ কি একটি ঘনিষ্ঠ বিতরণ অনুসরণ করে?ই $X$$e^X$

একইভাবে, যদি কোনও ঘনিষ্ঠ বিতরণ অনুসরণ করে তবে এর অর্থ একটি অভিন্ন বিতরণ অনুসরণ করবে?l n ( Y $Y$$ln(Y)$

Comments

আপনি কেন এমনটি আশা করবেন? নাম বলে? পরীক্ষা করে দেখুন en.wikipedia.org/wiki/... দেখতে অন্য ডিস্ট্রিবিউশন সূচকীয় সাথে সম্পর্কিত হয়। এছাড়াও ... ...$\exp(X) \not\in [0, \infty)$

— টিম

না, আমি মনে করি যে আমি স্ট্যান্ডার্ড ফাংশন ট্রান্সফর্মেশনের সাথে উপমাগুলি অনুসরণ করছি, ভুলে যাচ্ছি যে বিতরণের সাথে জিনিসগুলি আলাদা।

— লুচোনাচো

Answer 1

এটি এমনটি নয় যে ইউনিফর্মের এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে ঘনিষ্ঠ করে তোলে বা তাত্পর্যপূর্ণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের লগ গ্রহণের ফলে ইউনিফর্ম পাওয়া যায় না।

যাক উপর অভিন্ন হতে দিন ।( 0 , 1 ) এক্স = এক্সপ্রেস ( ইউ $U$$(0,1)$$X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

সুতরাং $f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$ ।

এটি কোনও তাত্পর্যপূর্ণ পরিবর্তন নয়। অনুরূপ গণনা দেখায় যে কোনও ক্ষতিকারক লগ অভিন্ন নয়।

যাক $Y$ মান সূচকীয় হতে, তাই $F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$ ।

আসুন । তারপরে।F V ( v ) = P ( V ≤ v ) = P ( ln Y ≤ v ) = P ( Y ≤ e v ) = 1 - e - e $V=\ln Y$$F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

এটি কোনও ইউনিফর্ম নয়। (প্রকৃতপক্ষে একটি হল Gumbel দৈব চলক -distributed, তাই আপনি বিতরণের কল পারে একটি 'ফ্লিপ Gumbel'।)$-V$$V$

তবে প্রতিটি ক্ষেত্রে আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলের সীমানা বিবেচনা করে আরও দ্রুত এটি দেখতে পাচ্ছি। যদি অভিন্ন (0,1) এটা 0 এবং 1 এর মধ্যে তাই এই ব্যবস্থার সবচেয়ে গুরত্বপূর্ণ মধ্যে মিথ্যা এবং ... তাই এটি সূচকীয় না। একইভাবে, এক্সফেনসিয়ালের জন্য, চালু রয়েছে , যাতে এটি ইউনিফর্ম হতে পারে না (0,1), না প্রকৃতপক্ষে অন্য কোনও ইউনিফর্ম।এক্স = এক্সপ্রেস ( ইউ ) 1 ই ওয়েন এলএন ওয়াই ( - ∞ , ∞ $U$$X=\exp(U)$$1$$e$$Y$$\ln Y$$(-\infty,\infty)$

আমরা অনুকরণ করতে পারি এবং আবার এটি এখনই দেখতে পাচ্ছি:

প্রথমত, একটি ইউনিফর্ম প্রকাশ করা -

[নীলের বক্ররেখাটি ঘনত্ব (নির্দেশিত ব্যবধানে 1 / এক্স) যা আমরা উপরে কাজ করেছি ...]

দ্বিতীয়ত, একটি ক্ষতিকারক লগ:

যা আমরা দেখতে পাচ্ছি ইউনিফর্ম থেকে অনেক দূরে! (যদি আমরা আগে যে সিডিএফটি তৈরি করেছিলাম তার মধ্যে পার্থক্য করি, যা ঘনত্ব দেয়, এটি আমাদের এখানে দেখা আকারের সাথে মিলে যায়।)

প্রকৃতপক্ষে বিপরীত সিডিএফ পদ্ধতিটি ইঙ্গিত করে যে একটি ইউনিফর্মের লগের নেতিবাচক (0,1) ভেরিয়েটেট গ্রহণ করা একটি মানক তাত্পর্যপূর্ণ বিভাজন দেয় এবং বিপরীতভাবে, একটি স্ট্যান্ডার্ড এক্সফেনসিয়ালের নেতিবাচকটিকে একটি ইউনিফর্ম দেয়। [এছাড়াও সম্ভাবনা অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর দেখুন ]

এই পদ্ধতিটি আমাদের জানায় যে যদি , । যদি আমরা সিডিএফ এর বিপরীতটি , একটি আদর্শ ইউনিফর্মের রূপান্তর হিসাবে প্রয়োগ করি , ফলস্বরূপ এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিতরণ ফাংশন ।Y = F - 1 ( U ) U F $U=F_Y(Y)$$Y = F^{-1}(U)$$U$$F_Y$

যদি আমরা কে অভিন্ন হতে পারি (0,1), তবে । যাক । (দ্রষ্টব্য যে এছাড়াও (0,1) তে অভিন্ন, সুতরাং আপনি আসলে , তবে আমরা এখানে সম্পূর্ণ বিপরীত সিডিএফ পদ্ধতি অনুসরণ করছি)P ( U ≤ u ) = u Y = - ln ( 1 - U ) 1 - U Y = - ln $U$$P(U\leq u) = u$$Y=-\ln (1-U)$$1-U$$Y=-\ln U$

তারপরে , এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড এক্সপেনসিয়ালের সিডিএফ।$P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

[ বিপরীত সিডিএফ রূপান্তরটির এই সম্পত্তি হ'ল রূপান্তরটি আসলে একটি ঘনঘন বিতরণ পেতে প্রয়োজনীয় হয়, এবং সম্ভাব্যতার অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরটি কেন negative ণাত্মক ঘাতকটির ঘনত্বকে এক ইউনিফর্মে ফিরে আসে]]$\log$

Comments

দুর্দান্ত উত্তর! ধন্যবাদ। এখন বুঝতে পারছি. আমি উভয় ক্ষেত্রেই সিডিএফ গণনা করেছি, এবং আমি পূর্বের ক্ষেত্রে লগের নেতিবাচক এবং পরবর্তীটির ক্ষেত্রে একটি বিপরীতের পরম মানের পেতে পারি। আমি মনে করি যে আমার বিভ্রান্তি স্ট্যান্ডার্ড ফাংশন ট্রান্সফর্মেশনের ক্ষেত্রে চিন্তাভাবনা করে, যা বিতরণের ক্ষেত্রে আসে না। গ্রাফের জন্য +1!

— লুচোনাচো

Answer 2

আপনি প্রায় সামনে এটি ফিরে। তুমি জিজ্ঞেস করেছিলে:

• "যদি অভিন্ন বিতরণ থাকে, তবে এর অর্থ কি একটি ঘনিষ্ঠ বিতরণ অনুসরণ করে?"ই $X$$e^X$

• "একইভাবে, যদি কোনও ঘনিষ্ঠ বিতরণ অনুসরণ করে তবে এর অর্থ কি অভিন্ন বিতরণ অনুসরণ করবে?"ln ( Y $Y$$\ln(Y)$

আসলে

• যদি এ অভিন্ন হয় তবে পরামিতি সহ একটি সূচকীয় বিতরণ অনুসরণ করে[ 0 , 1 ] - লগ ই ( এক্স ) $X$$[0,1]$$-\log_e(X)$$1$
• যদি প্যারামিটার দিয়ে ক্ষতিকারক বিতরণ অনুসরণ করে তবে a অভিন্ন বিতরণ রয়েছে ।$Y$$1$$e^{-Y}$$[0,1]$

আরও সাধারণভাবে আপনি বলতে পারেন:

• যদি সমান হয় তবে রেট প্যারামিটার সহ সূচকীয় বিতরণ অনুসরণ করবে$X$$[a,b]$$-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$$k$
• যদি রেট প্যারামিটার সহ সূচকীয় বিতরণ অনুসরণ করে তবে অভিন্ন বিতরণ রয়েছে যখন অভিন্ন বিতরণ রয়েছে$Y$$k$$e^{-kY}$$[0,1]$$a+(b-a)e^{-kY}$$[a,b]$