বিটা বিতরণের দুটি কোয়ান্টাইল কি তার পরামিতিগুলি নির্ধারণ করে?

Question

আমি যদি দুই কোয়ান্টাইল দিই $(q_1,q_2)$ এবং তাদের সম্পর্কিত অবস্থানগুলি $(l_1,l_2)$ (প্রতিটি) উন্মুক্ত ব্যবধানে $(0,1)$, আমি কি সবসময় একটি বিটা বিতরণের প্যারামিটারগুলি সুনির্দিষ্ট অবস্থানে থাকতে পারি?

Comments

না, মৌলিক কাউন্টারিক্স নমুনা (কিউ 1, কি 2) = (0,1) এবং (এল 1, এল 2) = (0,1) পরামিতিগুলির কোনও বিষয় নয়।

— টিম

@ টিম আমি মনে করি আমি আপনার বক্তব্যটি দেখতে পাচ্ছি, তবে আপনার পাল্টা নমুনা আমার নির্দিষ্ট শর্তগুলি পূরণ করে না (উদাহরণস্বরূপ যে অবস্থানগুলি উন্মুক্ত বিরতিতে রয়েছে) $(0,1)$)।

— বোটা

আমি মনে করি আপনি এটি সংখ্যাগতভাবে করতে পারেন (এবং এটির একটি অনন্য সমাধান হবে) তবে এটিতে একটু চেষ্টা জড়িত।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমিও মনে করি - সংখ্যাগত সমাধান করা খুব কঠিন নয়, তবে স্বতন্ত্রতার পক্ষে যুক্তি খুঁজে পাওয়া সহজ নয়।

— এলভিস

এলভিস আসলে, আমি সন্দেহ করি যে উভয় ভেরিয়েবলের লগিটগুলি দেখে এটি করার একটি উপায় থাকতে পারে (ওপি'র) $l$ এবং $q$)।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 1

উত্তর হ্যাঁ, প্রদত্ত ডেটা সুস্পষ্ট ধারাবাহিকতার প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে। একটি সহজ নির্মাণের উপর ভিত্তি করে যুক্তিটি সোজাসাপ্টা, তবে এটির জন্য কিছু সেটআপ প্রয়োজন। এটি একটি স্বজ্ঞাতভাবে আবেদনমূলক সত্য নেমে আসে: প্যারামিটার বাড়ানো increasing$a$ একটি বিটাতে$(a,b)$ বিতরণ বৃহত্তর জন্য আরও তার ঘনত্ব (পিডিএফ) এর মান বৃদ্ধি করে $x$ ছোট চেয়ে $x$; এবং বৃদ্ধি$b$ বিপরীত: ছোট $x$ পিডিএফ এর মান আরও বৃদ্ধি পায়।

বিস্তারিত অনুসরণ করুন।

---

কাঙ্ক্ষিত হোক $q_1$ কোয়ান্টাইল হতে $x_1$ এবং পছন্দসই $q_2$ কোয়ান্টাইল হতে $x_2$ সঙ্গে $1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$ এবং সেইজন্য) $1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$। তারপরে অনন্য রয়েছে$a$ এবং $b$ যার জন্য বিটা$(a,b)$ বিতরণ এই কোয়ান্টাইলস আছে।

এটি দেখানোর ক্ষেত্রে অসুবিধাটি হ'ল বিটা বিতরণে একটি পুনরুদ্ধারকরা স্বাভাবিক ধ্রুবক জড়িত। সংজ্ঞাটি প্রত্যাহার করুন: জন্য$a\gt 0$ এবং $b \gt 0$বিটা$(a,b)$ বিতরণ একটি ঘনত্ব ফাংশন আছে (পিডিএফ)

$$f(x;a,b) = \frac{1}{B(a,b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}.$$

স্বাভাবিককরণের ধ্রুবকটি হ'ল বিটা ফাংশন

$$B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,\mathrm{d}x = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$

আমরা আলাদা করার চেষ্টা করলে সবকিছু অগোছালো হয়ে যায় $f(x;a,b)$ সরাসরি সম্মান সঙ্গে $a$ এবং $b$, যা একটি বিক্ষোভ চেষ্টা করার জন্য নিষ্ঠুর শক্তি উপায় হবে।

বিটা ফাংশন বিশ্লেষণ করা এড়ানোর একটি উপায় হ'ল কোয়ান্টাইলগুলি আপেক্ষিক অঞ্চল। এটাই,

$$q_i = F(x_i;a,b)=\frac{\int_0^{x_i} f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}$$

জন্য $i=1,2$। এখানে, উদাহরণস্বরূপ, পিডিএফ এবং संचयी বিতরণ ফাংশন (সিডিএফ)$F$ একটি বিটা$(1.15, 0.57)$ বিতরণ যার জন্য $x_1=1/3$ এবং $q_1=1/6$।

ঘনত্ব ফাংশন $x\to f(x;a,b)$ বাম দিকে চক্রান্ত করা হয়। $q_1$হয় এলাকায় বাঁদিকে বক্ররেখা অধীনে$x_1$, রেখাচিত্রে প্রদর্শিত, বক্ররেখার নিচে মোট ক্ষেত্রের তুলনায় । $q_2$ বাম দিকের অঞ্চল $x_2$, equal to the sum of the red and blue regions, again relative to the total area. The CDF at the right shows how $(x_1,q_1)$ and $(x_2,q_2)$ mark two distinct points on it.

In this figure, $(x_1,q_1)$ was fixed at $(1/3,1/6)$, $a$ was selected to be $1.15$, and then a value of $b$ was found for which $(x_1,q_1)$ lies on the Beta$(a,b)$ CDF.

Lemma: Such a $b$ can always be found.

To be specific, let $(x_1, q_1)$ be fixed once and for all. (They stay the same in the illustrations that follow: in all three cases, the relative area to the left of $x_1$ equals $q_1$.) For any $a\gt 0$, the Lemma claims there is a unique value of $b$, written $b(a),$ for which $x_1$ is the $q_1$ quantile of the Beta$(a,b(a))$ distribution.

To see why, note first that as $b$ approaches zero, all the probability piles up near values of $0$, whence $F(x_1;a,b)$ approaches $1$. As $b$ approaches infinity, all the probability piles up near values of $1$, whence $F(x_1;a,b)$ approaches $0$. In between, the function $b\to F(x_1;a,b)$ is strictly increasing in $b$.

This claim is geometrically obvious: it amounts to saying that if we look at the area to the left under the curve $x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ relative to the total area under the curve and compare that to the relative area under the curve $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$ for $b^\prime \gt b$, then the latter area is relatively larger. The ratio of these two functions is $(1-x)^{b^\prime-b}$. This is a function equal to $1$ when $x=0,$ dropping steadily to $0$ when $x=1.$ Therefore the heights of the function $x\to f(x;a,b^\prime)$ are relatively larger than the heights of $x\to f(x;a,b)$ for $x$ to the left of $x_1$ than they are for $x$ to the right of $x_1.$ Consequently, the area to the left of $x_1$ in the former must be relatively larger than the area to the right of $x_1.$ (This is straightforward to translate into a rigorous argument using a Riemann sum, for instance.)

We have seen that the function $b\to f(x_1;a,b)$ is strictly monotonically increasing with limiting values at $0$ and $1$ as $b\to 0$ and $b\to\infty,$ respectively. It is also (clearly) continuous. Consequently there exists a number $b(a)$ where $f(x_1;a,b(a))=q_1$ and that number is unique, proving the lemma.

The same argument shows that as $b$ increases, the area to the left of $x_2$ increases. Consequently the values of $f(x_2;a, b(a))$ range over some interval of numbers as $a$ progresses from almost $0$ to almost $\infty.$ The limit of $f(x_2;a,b(a))$ as $a\to 0$ is $q_1.$

Here is an example where $a$ is close to $0$ (it equals $0.1$). With $x_1=1/3$ and $q_1=1/6$ (as in the previous figure), $b(a) \approx 0.02.$ There is almost no area between $x_1$ and $x_2:$

The CDF is practically flat between $x_1$ and $x_2,$ whence $q_2$ is practically on top of $q_1.$ In the limit as $a\to 0$, $q_2 \to q_1.$

At the other extreme, sufficiently large values of $a$ lead to $F(x_2;a,b(a))$ arbitrarily close to $1.$ Here is an example with $(x_1,q_1)$ as before.

Here $a=8$ and $b(a)$ is nearly $10.$ Now $F(x_2;a,b(a))$ is essentially $1:$ there is almost no area to the right of $x_2.$

Consequently, you may select any $q_2$ between $q_1$ and $1$ and adjust $a$ until $F(x_2;a,a(b))=q_2.$ Just as before, this $a$ must be unique, QED.

---

Working R code to find solutions is posted at Determining beta distribution parameters $\alpha$ and $\beta$ from two arbitrary points (quantiles) .

Comments

This answer shows that if we have choose a fixed $a$ or $b$ we will find a unique corresponding value. It would be possible to construct functions that have a fixed area in $[0,x_1]$, $[x_1,x_2]$ and $[x_2,1]$. I do not immediately see why this would guarantee that the set of $\alpha$ and $\beta$ is unique. Would you be willing to elaborate and enlighten me?

— Jan

@Jan Could explain what you mean by the "set of $\alpha$ and $\beta$"? Those symbols do not appear anywhere in this thread.

— whuber