এআর (1) একটি মার্কভ প্রক্রিয়া?

Question

এআর (1) প্রক্রিয়া যেমন একটি মার্কভ প্রক্রিয়া?$y_t=\rho y_{t-1}+\varepsilon_t$

যদি তা হয়, তবে ভিএআর (1) মার্কোভ প্রক্রিয়াটির ভেক্টর সংস্করণ?

Answer 1

নিম্নলিখিত ফলাফল ঝুলিতে: যদি হয় স্বাধীন মধ্যে গ্রহণ মান এবং ফাংশন হয় তারপর যেমন যাও recursively সংজ্ঞায়িতE f 1 , f 2 , … f n : F × E → F X $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$$E$$f_1, f_2, \ldots$$f_n: F \times E \to F$$X_n$

$$X_n = f_n(X_{n-1}, \epsilon_n), \quad X_0 = x_0 \in F$$

প্রক্রিয়া মধ্যে থেকে শুরু মারকভ প্রক্রিয়া । যদি একইভাবে বিতরণ করা হয় এবং সমস্ত ফাংশনগুলি অভিন্ন হয় তবে প্রক্রিয়াটি সময়-একজাতীয় । এফ x 0 ϵ $(X_n)_{n \geq 0}$$F$$x_0$$\epsilon$$f$

এআর (1) এবং ভিএআর (1) উভয়ই এই ফর্মের সাথে প্রদত্ত প্রক্রিয়া

$$f_n(x, \epsilon) = \rho x + \epsilon.$$

এভাবে তারা সজাতি মার্কভ প্রসেস যদি এর IID হয়$\epsilon$

টেকনিক্যালি, স্পেস এবং একটি পরিমাপযোগ্য গঠন প্রয়োজন এবং -functions পরিমাপযোগ্য হতে হবে। এটি বেশ আকর্ষণীয় যে স্পেস একটি বোরেল স্পেস যদি কোনও কথোপকথনের ফলাফল ধারণ করে । জন্য কোন মার্কভ প্রক্রিয়া একটি Borel স্থান সেখানে IID অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল মধ্যে এবং ফাংশন যেমন সম্ভাব্যতার সাথে এক আধুনিক সম্ভাবনার ভিত্তি , ক্যালেনবার্গে প্রস্তাব 8.6 দেখুন ।F f F ( X n ) n ≥ 0 F ϵ 1 , ϵ 2 , … [ 0 , 1 ] f n : F × [ 0 , 1 ] → F X n = f n ( X n - 1 , ϵ n ) $E$$F$$f$$F$$(X_n)_{n \geq 0}$$F$$\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$$[0,1]$$f_n : F \times [0, 1] \to F$

$$X_n = f_n(X_{n-1}, \epsilon_n).$$

Answer 2

একটি প্রসেস হ'ল একটি এআর (1) প্রক্রিয়া যদি হয়$X_{t}$

$$X_{t} = c + \varphi X_{t-1} + \varepsilon_{t}$$

যেখানে ত্রুটি, IID করছে। একটি প্রক্রিয়া মার্কভ সম্পত্তি আছে যদি$\varepsilon_{t}$

$$P(X_{t} = x_t | {\rm entire \ history \ of \ the \ process }) = P(X_{t}=x_t| X_{t-1}=x_{t-1})$$

$X_{t}$$X_{t-1}$

Comments

$\varepsilon_t$

$X_t=c+\phi c+\phi^2X_{t-2}+\phi\varepsilon_{t-1}+\varepsilon_{t}$$P(X_t=x_t|\text{entire history})=P(X_{t}=x_t|X_{t-2}=x_{t-2})$।

— এমপিক্টাস

$X_{t-2}$$X_{t-1}$$X_{t-2}$$X_{t-1}$

$X_{t-2}$$X_{t-1}$$\varepsilon_{t-1}$$X_t$$X_{t-2}$$X_{t-1}$, এটা স্পষ্টভাবে না। (PS আমি শামওয়ে এবং স্টোফারের সময় সিরিজের বইয়ের জন্য একটি এআর (1) প্রক্রিয়াটির একটি স্ট্যান্ডার্ড সংজ্ঞা ব্যবহার করছিলাম)

— ম্যাক্রো

নোট আমি উত্তরটি ভুল বলছি না is আমি কেবল বিশদটি দেখছি, অর্থাত্ দ্বিতীয় সমতাটি স্বজ্ঞাতভাবে স্পষ্ট but তবে আপনি যদি এটি আনুষ্ঠানিকভাবে প্রমাণ করতে চান তবে এটি এত সহজ নয়, আইএমএইচও।

— এমপিক্টাস

Answer 3

একটি মার্কভ প্রক্রিয়া কী? (আলগাভাবে বক্তৃতা) শর্ত থাকলে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হ'ল প্রথম অর্ডার মার্কভ প্রক্রিয়া

$$P\left [ X\left ( t \right )= x\left ( t \right ) | X\left ( 0 \right )= x\left ( 0 \right ),...,X\left ( t-1 \right )= x\left ( t-1 \right )\right ]=P\left [ X\left ( t \right )= x\left ( t \right ) | X\left ( t-1 \right )= x\left ( t-1 \right )\right ]$$

$AR(1)$

একই অর্থে ভিএআর (1) প্রথম অর্ডার মাল্টিভারিয়েট মার্কোভ প্রক্রিয়া হিসাবে রয়েছে।

Comments

$\varepsilon_t$

আমি ভেবেছিলাম যে মার্কভ প্রক্রিয়া ধারাবাহিক ক্ষেত্রে বোঝায়। সাধারণ এআর টাইম সিরিজটি পৃথক, সুতরাং এটি একটি মার্কভ প্রক্রিয়া পরিবর্তে একটি মার্কভ চেইনের সাথে মিলিত হওয়া উচিত।

— যৌথ_পি

$X_t$$X_{t-1},X_{t-2},...$

@ জয়েন্ট_পি, পরিভাষা সাহিত্যে সম্পূর্ণরূপে সামঞ্জস্য নয়। Icallyতিহাসিকভাবে, আমি এটি দেখতে পেয়েছি যে, "প্রক্রিয়া" এর পরিবর্তে "চেইন" ব্যবহারটি সাধারণত প্রক্রিয়াটির রাষ্ট্রীয় স্থানের জন্য পৃথক হলেও মাঝে মাঝে সময় স্বচ্ছ হওয়ার ক্ষেত্রেও একটি উল্লেখ ছিল । আজ অনেকে বিচ্ছিন্ন সময় উল্লেখ করার জন্য "চেইন" ব্যবহার করে তবে সাধারণ রাজ্য স্থানের জন্য অনুমতি দেয় যেমন মার্কভ চেইন মন্টি কার্লো। তবে, "প্রক্রিয়া" ব্যবহার করাও সঠিক।

— এনআরএইচ

$t$$t-1, t-2,...$$t+1$$t+1$