একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এর ভেরিয়েবল পরিবর্তনের বিকাশ?

বইয়ের প্যাটার্ন স্বীকৃতি এবং মেশিন লার্নিংয়ে (সূত্র 1.27), এটি দেয়

p_{y} (y) = p_{x} (x) | \frac{d x}{d y} | = p_{x} (g (y)) | g^{'} (y) |

$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$ যেখানে , হল সেই পিডিএফ যা ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের সাথে সাথে সম্পর্কিত।

x = g (y)

$x=g(y)$

p_{x} (x)

$p_x(x)$

p_{y} (y)

$p_y(y)$

বই বলছেন কারণ যে পর্যবেক্ষণ সীমার মধ্যে পতনশীল এর , ছোট মানের জন্য হবে , পরিসর রুপান্তরিত করা । $(x, x + \delta x)$ $\delta x$ $(y, y + \delta y)$

এটি কীভাবে আনুষ্ঠানিকভাবে প্রাপ্ত?

দিলীপ সরওয়াতে আপডেট

ফলাফলটি কেবল তখনই ধারণ করে যদি কঠোরভাবে একঘেয়েমি বা ক্রমহ্রাসমান ক্রিয়া হয়। $g$

এলভি রাওয়ের উত্তরে কিছুটা ছোটখাটো সম্পাদনা সুতরাং যদি একঘেয়েভাবে একঘেয়েমি হ্রাস

P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y) = {\begin{cases} P (X \leq g^{- 1} (y)), & if g is monotonically increasing \\ P (X \geq g^{- 1} (y)), & if g is monotonically decreasing \end{cases}

$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$

g

$g$

F_{Y} (y) = F_{X} (g^{- 1} (y))

$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$

f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$

F_{Y} (y) = 1 - F_{X} (g^{- 1} (y))

$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$

f_{Y} (y) = - f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$

∴ f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) |

$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$

— dontloo
সূত্র

ফলাফলটি কেবল তখনই ধারণ করে যদি কঠোরভাবে একঘেয়েমি বা ক্রমহ্রাসমান ক্রিয়া হয়। একটি গ্রাফ আঁকুন এবং উপজাত (না Epsilon এবং ব-দ্বীপ সঙ্গে আনুষ্ঠানিক ডেফিনেশন) সংজ্ঞা পিছনে মৌলিক ধারণা ব্যবহার করে এটি ধাঁধা। এছাড়াও, এই সাইটে @ ভুবারের একটি উত্তর রয়েছে যা বিশদটি বর্ণনা করে; এটি হ'ল নকল হিসাবে এটি বন্ধ করা উচিত।

g

$g$

g

$g$

— দিলীপ সরোতে

আপনার বইয়ের ব্যাখ্যাটি আমি stats.stackexchange.com/a/14490/919 এ দেওয়া একটির স্মরণ করিয়ে দিচ্ছি । আমি একটি সাধারণ বীজগণিত পদ্ধতিও stats.stackexchange.com/a/101298/919 এ এবং একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা stats.stackexchange.com/a/4223/919 এ পোস্ট করেছি ।

— হোবার

আপনার ব্যাখ্যা জন্য @DilipSarwate ধন্যবাদ, আমি স্বজ্ঞা বুঝি, কিন্তু আমি কিভাবে এটা বিদ্যমান নিয়ম এবং উপপাদ্য :) ব্যবহার আহরিত হতে পারে আরও আগ্রহী

— dontloo

$X$ pdf $Y=g(X)$ pdf $Y$

\begin{array}{rcl} P (Y \leq y) & = & P (g (X) \leq y) \\ = & P (X \leq g^{- 1} (y)) \\ o r F_{Y} (y) & = & F_{X} (g^{- 1} (y)), by the definition of CDF \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$

y

$y$

Y

$Y$

Y

$Y$

f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$

Y

$Y$

f_{Y} (y) = - f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$

∴ f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) |

$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$

— LVRao
সূত্র

তবে fx ওভার অবিচ্ছেদ্য হিসাবে অবশ্যই 1 এর সমষ্টি হতে হবে এবং fy এফএক্স এর একটি মাপানো সংস্করণ, এর অর্থ Fy সঠিক পিডিএফ নয়, যদি না অ্যাবস () এর জ্যাকোবিয়ান 1 বা -1 হয়?

— ক্রিস

g^{- 1}

$g^{-1}$