বহুজাতিকের Asyptotic বিতরণ

10

আমি ডি ফলাফলের উপর বহুজাতিক বিতরণ সীমাবদ্ধ বিতরণ সন্ধান করছি। IE, নিম্নলিখিত বিতরণ

lim_{n \to \infty} n^{- \frac{1}{2}} X_{n}

$\lim_{n\to \infty} n^{-\frac{1}{2}} \mathbf{X_n}$

কোথায় ঘনত্ব একটি ভেক্টর মান র্যান্ডম পরিবর্তনশীল জন্য যেমন যে , এবং 0 অন্যান্য সমস্ত for , যেখানে $\mathbf{X_n}$ $f_n(\mathbf{x})$ $\mathbf{x}$ $\sum_i x_i=n$ $x_i\in \mathbb{Z}, x_i\ge 0$ $\mathbf{x}$

f_{n} (x) = n! \prod_{i = 1}^{d} \frac{p_{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}

$f_{n}(\mathbf{x})=n!\prod_{i=1}^d\frac{p_i^{x_i}}{x_i!}$

আমি ল্যারি ওয়াসারম্যানের "সমস্ত পরিসংখ্যান" উপপাদ্য ১৪.6, পৃষ্ঠা 237 তে একটি ফর্ম পেয়েছি তবে বিতরণ সীমাবদ্ধ করার জন্য এটি সাধারণকে একক covariance ম্যাট্রিক্স দিয়ে দেয়, সুতরাং কীভাবে এটি স্বাভাবিক করা যায় তা আমি নিশ্চিত নই। আপনি এলোমেলো ভেক্টরকে (d-1)-মাত্রিক জায়গার সাথে কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে পূর্ণ-র‌্যাঙ্ক তৈরি করতে পারেন, তবে কী প্রজেকশন ব্যবহার করবেন?

আপডেট 11/5

রে কোপম্যানের একক গৌসিয়ান সমস্যাটির দুর্দান্ত সংক্ষিপ্তসার রয়েছে। মূলত, একক কোভরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স ভেরিয়েবলের মধ্যে নিখুঁত সম্পর্ককে প্রতিনিধিত্ব করে, যা কোনও গাউসির সাথে প্রতিনিধিত্ব করা সম্ভব নয়। যাইহোক, এক শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব জন্য একটি গসিয়ান বন্টন, যে র্যান্ডম ভেক্টরের মান বৈধ উপর নিয়ন্ত্রিত পেতে পারে (উপাদান পর্যন্ত যোগ $n$ উপরে ক্ষেত্রে)।

শর্তসাপেক্ষ গাউসির পার্থক্য হ'ল বিপরীতটি সিউডো-ইনভার্সের সাথে প্রতিস্থাপিত হয় এবং নরমালাইজেশন ফ্যাক্টর "সমস্ত ইগনালিয়ালের পণ্য" এর পরিবর্তে "অ-শূন্য ইগেনভ্যালুগুলির পণ্য" ব্যবহার করে। আয়ান ফ্রিসি কিছু বিবরণের সাথে লিঙ্ক দেয় ।

এগেনভ্যালুগুলি উল্লেখ না করে শর্তসাপেক্ষে গাউসিয়ানদের সাধারণীকরণের কারণটি প্রকাশ করারও একটি উপায় রয়েছে, এখানে একটি উপকরণ

asymptotics multinomial

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ
সূত্র

এক্ষেত্রে বিতরণকে সীমাবদ্ধ করে বলতে কী বোঝ?

— রবি ম্যাককিলিয়াম

যেমন, আপনি কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য থেকে যা পেয়েছেন, সে সম্পর্কে আমার বিশদ আপডেট করতে দিন

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

1

আপনি যে বিষয়টি উল্লেখ করছেন তা হ'ল বহুজাতিকের সর্বাধিক সম্ভাবনার প্রাক্কলনকারীর asympotic বিতরণ । এছাড়াও, প্রথম সমীকরণটি n ^ {- 1 be হওয়া উচিত, n ^ {- 1/2} নয়}

— সাইমন বাইর্ন

1

উপরের স্বরলিপিতে, ডি = ২ এর জন্য, এক্স_এন হ'ল এন কয়েন নিক্ষেপ করার পরে মাথার সংখ্যা, সুতরাং এটি X_n / স্কয়ার্ট (এন) যা সাধারণের নিকটে আসে, এক্স_এন / এন নয়?

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

1

হ্যাঁ আপনি ঠিক. আমি শুধু নিজেকে বিভ্রান্ত করছি।

— সাইমন বাইর্ন

6

সহভেদাংক অ-নেতিবাচক নির্দিষ্ট (তাই একটি বৈধ হয় বহুচলকীয় সাধারন বন্টনের ), কিন্তু না ইতিবাচক নির্দিষ্ট কি এর মানে হল যে (অন্তত) র্যান্ডম ভেক্টর এক উপাদান অন্যদের একটি রৈখিক সমন্বয় নেই।

ফলস্বরূপ, এই বিতরণ থেকে যে কোনও অঙ্কন সর্বদা উপস্থানে থাকবে । ফলস্বরূপ, এর অর্থ এটি একটি ঘনত্বের ক্রিয়াটি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব নয় (বিতরণটি উপস্থানে কেন্দ্রীভূত করা হয়েছে: ভেরিয়েন্সটি শূন্য হলে একটি অবিচ্ছিন্ন স্বাভাবিকটি কীভাবে কেন্দ্রীভূত হবে তা চিন্তা করুন)। $R^d$

যাইহোক, রবি ম্যাককিলিয়ামের পরামর্শ অনুসারে, এই ক্ষেত্রে আপনি এলোমেলো ভেক্টরের শেষ উপাদানটি ফেলে দিতে পারেন। এই হ্রাস করা ভেক্টরের কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সটি মূল ম্যাট্রিক্স হবে, শেষ কলাম এবং সারি বাদ পড়েছে, যা এখন ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট হবে এবং এর ঘনত্ব হবে (এই কৌশলটি অন্যান্য ক্ষেত্রে কাজ করবে, তবে আপনাকে অবশ্যই সতর্ক হতে হবে কোন উপাদানটি আপনি ড্রপ, এবং আপনি একাধিক ড্রপ প্রয়োজন হতে পারে)।

— সাইমন বাইর্ন
সূত্র

কিছুটা অসন্তুষ্টিজনক হ'ল পছন্দের স্বাধীনতা, বৈধ ঘনত্ব পাওয়ার জন্য আমাকে A এর ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য জিজ্ঞাসা করতে হবে যেখানে A কিছু d-1 র‌্যাঙ্ক (d) x (d-1) ম্যাট্রিক্স। সীমাবদ্ধ এন এর জন্য সিএলটি আনুমানিক ত্রুটি এ এর সমস্ত পছন্দের সমতুল্য হবে? এটি আমার কাছে পরিষ্কার নয়

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

1

হ্যাঁ, ত্রুটি সর্বদা একই হওয়া উচিত। মনে রাখবেন যে ভেক্টরের শেষ উপাদানটি কার্যকরীভাবে অন্যান্য (ডি -1) উপাদানগুলির উপর নির্ভর করে (সীমাবদ্ধ নমুনা এবং অ্যাসিপোটোটিক উভয় ক্ষেত্রে)।

— সাইমন বাইর্ন

এটি সর্বশেষের উপাদানটি নির্ভরশীল নয়, ইয়ারোস্লাভের সমস্যাটি হ'ল কোন উপাদানটি বাদ দেওয়া উচিত তা চয়ন করার ধারণাটি তিনি পছন্দ করেন না। আপনার দেওয়া উত্তরের সাথে আমি একমত, তবে আমি আরও মনে করি যে এখানে আরও কিছুটা চিন্তা ও যত্নের প্রয়োজন।

— রবি ম্যাককিলিয়াম

@ ইয়ারোস্লাভ: আপনার মনে এখানে কী প্রয়োগ রয়েছে তা সম্পর্কে ধারণা রাখা ভাল হবে কারণ এই পর্যায়ে আপনার প্রশ্নের সম্ভাব্য সংখ্যক উত্তর রয়েছে।

— রবি ম্যাককিলিয়াম

1

রবি - আমার যে অ্যাপ্লিকেশনটি আমার মনে ছিল তা এখানে mathoverflow.net/questions/37582/… মূলত সিএলটি-র প্রস্তাবিত গাউসির সংহতাগুলি দ্বিপদী সহগের পরিমাণগুলিকে খুব ভাল অনুমান দেয় (ছোট এন এর জন্য, সরাসরি গামা উপস্থাপনাকে সংহত করার চেয়েও ভাল!), সুতরাং আমি দেখছিলাম যে আমি বহু-গুণগত সহগের আনুমানিক পরিমাণগুলি পেতে অনুরূপ কিছু করতে পারি কিনা, যা বিভিন্ন ফিটারের (যেমন, সর্বাধিক সম্ভাবনা) জন্য অ-অ্যাসিম্পটোটিক ত্রুটির সীমা আমার পাওয়া দরকার

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

2

এখানে একক একাকীকরণের সাথে কোনও সহজাত সমস্যা নেই। আপনার অ্যাসিম্পটোটিক বিতরণ একক স্বাভাবিক। Http://fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/tutorials/mvahtMLnode34.html দেখুন যা একক ঘনত্বকে স্বাভাবিক দেয়।

— আয়ান ফিসকে
সূত্র

প্রযুক্তিগতভাবে, সমস্যাটি হ'ল একবচনীয় কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের অর্থ হ'ল কিছু ভেরিয়েবলের উপসম সংযোগ পুরোপুরিভাবে সংযুক্ত, সুতরাং সম্ভাবনার ঘনত্ব কিছু ক্ষেত্রে অবশ্যই ঠিক হওয়া উচিত, তবে কোনও গাউসিয়ান দিয়ে এটি সম্ভব নয়। এর সমাধান হ'ল পরিবর্তে শর্তযুক্ত ঘনত্বের দিকে তাকাতে হবে, এ সম্ভাব্য অবস্থার মধ্যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল রয়েছে বলে শর্তযুক্ত। লিঙ্কটিতে তারা কী করছে তা দেখে মনে হচ্ছে এটি। "জি-ইনভার্স" শব্দটি কখনও শুনেনি, আমি অনুমান করছি এটি পেনরোজ-মুর সিউডো-ইনভার্স?

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

যদিও এটি সত্য যে একটি প্রচলিত ডি-ডাইমেনশনাল

সমস্ত on

এর পক্ষে সমর্থন রয়েছে তবে একক গৌসিয়ান এটি করেন না। জি-ইনভার্সকে সাধারণভাবে বিপরীত করা হয়, এবং হ্যাঁ, আমি বিশ্বাস করি যে পেনরোজ-মুর সংজ্ঞা এখানে কাজ করে। আমি মনে করি যে একক covariances জন্য একটি সিএলটি আছে, প্রত্যাশিত হিসাবে উল্লেখ করে, একক সিএলটি বিতরণ রূপান্তর, যদিও আমি এখনই একটি রেফ খুঁজে পাই না।

ℜ^{d}

$\Re^d$

— ইয়ান ফিস্কে

1

এটা একটি ভেক্টর আমাকে দেখায় ওয়েসারম্যান এর সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স মত একবচন হয়, দেখতে সংখ্যাবৃদ্ধি এটা বেশী, অর্থাত দৈর্ঘ্যের । $d$ $[1,1,1,\dots,1]^\prime$ $d$

উইকিপিডিয়া যাই হোক না কেন একই covariance ম্যাট্রিক্স দেয়। যদি আমরা কেবলমাত্র দ্বিপদী বিতরণে নিজেকে সীমাবদ্ধ রাখি তবে স্ট্যান্ডার্ড কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি আমাদের বলে যে দ্বিপদী বিতরণ (যথাযথ স্কেলিংয়ের পরে) বড় হওয়ার সাথে সাথে স্বাভাবিকটিতে রূপান্তরিত হয় ( আবার উইকিপিডিয়া দেখুন )। অনুরূপ ধারণাগুলি প্রয়োগ করে আপনি এটি দেখাতে সক্ষম হবেন যে একটি যথাযথভাবে মাপা মুলিনোমিয়াল মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিকের মধ্যে বিতরণে রূপান্তর করতে চলেছে, অর্থাত্ প্রতিটি প্রান্তিক বিতরণ কেবল দ্বিপাক্ষিক এবং সাধারণ বিতরণে রূপান্তরিত হয় এবং তাদের মধ্যে বৈচিত্রটি জানা যায়। $n$

সুতরাং, আমি খুব আত্মবিশ্বাসী আপনি দেখতে পাবেন যে বিতরণ শূন্য গড় এবং কোভারিয়েন্সসাথে মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিককে রূপান্তর করে

\frac{X_{n} - n p}{\sqrt{n}}

$\frac{X_n - np}{\sqrt{n}}$

যেখানে

প্রশ্নে বহুজাতিকের কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স এবং

সম্ভাবনার ভেক্টর

।

\frac{C}{n}

$\frac{C}{n}$

C

$C$

p

$p$

[p_{1}, \dots, p_{d}]

$[p_1,\dots,p_d]$

— রবি ম্যাককিলিয়াম
সূত্র

1

তবে প্রশ্নে বহুজাতিকের কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স একবচন, আপনি নিজেই এটি দেখিয়েছেন ...

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

d

$d$

C

$C$

[p_{1}, p_{2}, \dots, p_{d - 1}]

$[p_1,p_2,\dots,p_{d-1}]$

একটি পরামর্শ আমি পেয়েছি তা এখনও একটি গাউসিয়ান ব্যবহার করা, তবে নির্ধারকের জায়গায় বিপরীত এবং "অ-শূন্য ইজেনভ্যালুগুলির পণ্য" ব্যবহারের পরিবর্তে সিউডো-ইনভার্স ব্যবহার করুন। ডি = 2 এর জন্য এটি সঠিক ঘনত্বের ফর্মটি দেবে বলে মনে হচ্ছে, তবে স্বাভাবিককরণের কারণটি বন্ধ রয়েছে

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

1

$|S_{-i}|=|S_{-j}|$ $i,j$ $S_{-i}$ $i$

— jvdillon
সূত্র

এই ম্যাট্রিকগুলি সমান নয়, এখানে কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স

— ইয়ারোস্লাভভিবি /

হ্যাঁ, এটি প্রকৃতপক্ষে কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স। গাউসের জন্য একই সাধারণকরণের জন্য কোনও আইথ কলাম এবং সারির ফলাফলগুলি ফেলে দেওয়া আমার বিষয়। সম্ভবত আমি স্পষ্ট কিছু মিস করছি?

— jvdillon

n

$n$

p_{i} = 1 - \sum_{j \neq i} p_{j}

$p_i=1-\sum_{j\ne i}p_j$

p_{i}

$p_i$

S

$S$

বিটিডাব্লু, আমি আপনার এই ধারণার প্রয়োগ পছন্দ করি - এজন্য আমার প্রতিক্রিয়া জানাতে আগ্রহী।

— jvdillon