52 টি ডেক থেকে 20 কার্ড আঁকলে চার ধরনের আঁকার সম্ভাবনা কত?

Question

গতকাল আমি এবং আমার বাড়ির বন্ধুরা কার্ড গেম খেলছিলাম এবং কেউ এই প্রশ্নটি পপ করেছে। আমরা সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করেছি, তবে আমরা তা বের করতে পারি নি। এই সকালে ঘুম থেকে উঠে আমি এখনও কীভাবে এটি সমাধান করব তা নিয়ে ভাবছি। তুমি কি আমাকে সাহায্য করবে?

Answer 1

এখানে 13 ধরণের রয়েছে, তাই আমরা একক ধরণের সমস্যার সমাধান করতে পারি এবং তারপরে সেখান থেকে এগিয়ে যেতে পারি।

তারপরে প্রশ্নটি হ'ল 4 সফলতা (বাদশাহ) এর একই বন্টন থেকে 20 টি নমুনায় 4 সাফল্য (রাজার মতো) অঙ্কন করার সম্ভাবনা কী এবং প্রতিস্থাপন ছাড়াই 48 ব্যর্থতা রয়েছে?

অধিজ্যামিতিক বন্টন (wikipedia) তিনি আমাদের এই প্রশ্নের উত্তর দেয়, এবং এটা 1.8% হয়।

যদি কোনও বন্ধু 4 জন রাজা অর্জনে বাজি ধরে, এবং আরেকজন চারটি রানী পেয়ে বাজি ধরে, তবে তাদের উভয়ের জয়ের সম্ভাবনা রয়েছে 1.8%। এর মধ্যে কমপক্ষে একজনের জয়ের সম্ভাবনা কী তা বলার জন্য আমাদের দুটি বাজি কতটা ওভারল্যাপ করে তা জানতে হবে।

উভয় জয়ের ওভারল্যাপ প্রথম প্রশ্নের অনুরূপ, যথা: 8 সাফল্য (রাজা এবং রানী) এবং 44 ব্যর্থতা বিতরণ থেকে 20 নমুনায় 8 সাফল্য (রাজা এবং রানী) আঁকার সম্ভাবনা কী?

উত্তরটি আবার হাইপিজোমেট্রিক, এবং আমার গণনা অনুসারে এটি 0.017%।

সুতরাং কমপক্ষে দু'জন বন্ধুর জয়ের সম্ভাবনা হ'ল 1.8% + 1.8% - 0.017% = 3.6%

এই যুক্তি অব্যাহত রাখার জন্য, সহজ অংশটি স্বতন্ত্র ধরণের (১৩ * ১.৮% = ২৩.৪%) জন্য সম্ভাবনার সংক্ষিপ্তসার তৈরি করছে এবং এই ১৩ টি পরিস্থিতিতে এর সমস্ত ওভারল্যাপ কতটুকু ওভারল্যাপ করে তা নির্ধারণ করা কঠিন অংশ।

4 জন রাজা বা 4 রানী বা 4 টি এসিস পাওয়ার সম্ভাবনা হ'ল প্রতিটি চার-এক-ধরনের বিয়োগফলকে তাদের ওভারল্যাপ পাওয়ার সমষ্টি। ওভারল্যাপটিতে 4 রাজা এবং 4 রানী (তবে 4 টি এসি নয়) পাওয়া, 4 জন রাজা এবং 4 টি এসি (তবে 4 রানী নয়) পাওয়া, 4 রানী এবং 4 টি এসি (তবে 4 রাজা নয়) এবং 4 রাজা এবং 4 রানী রয়েছে এবং 4 টেক্কা।

এটি এখানেই চালিয়ে যাওয়া আমার পক্ষে খুব লোমশ হয়ে ওঠে, তবে উইকিপিডিয়ায় হাইপারজোমেট্রিক সূত্র ধরে এইভাবে এগিয়ে যাওয়া, আপনি এগিয়ে যেতে পারেন এবং এগুলি সমস্ত লিখতে পারেন।

কেউ আমাদের সমস্যা কমাতে সাহায্য করতে পারে?

Comments

আপনি প্রায় সেখানে আছেন: পিআইই ব্যবহার করুন । উত্তরটি । $64545257011/293693771315\approx 0.219771$

— হোবার

Answer 2

কমপক্ষে নির্দিষ্ট করে ফোর-অফ-এ-প্রকারের আঁকতে, আমাদের অবশ্যই প্রয়োজনীয় সমস্ত কার্ড আঁকতে হবে । এই অধিজ্যামিতিক বন্টন, যেখানে আমরা সবাই আঁকা হবে আকারের জনসংখ্যা থেকে সফলতা আছে যেমন চার-একটি-ধরণের সেট। অতএব, কমপক্ষে - -এ-প্রকারের সুযোগ পাওয়ার সুযোগ রয়েছে4 k 4 k $k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$ জন্য$0\leq k\leq5.$

অন্তর্ভুক্তি-বর্জন নীতি অনুসারে, কমপক্ষে একটি-চার-এক ধরণের আঁকার সম্ভাবনা তাই সমান

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

এটি প্রায় হিসাবে গণনা করা যেতে পারে$0.2197706.$

উপরের রূপটি যদি আমরা পরে পদ বিয়োগ করি , যেহেতু এর শর্তগুলি শূন্যের সমান। আমি অবাক হই যে যদি এরকম যোগফলকে সহজ করার কোনও উপায় থাকে।$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$

Comments

অতিরিক্ত creditণের জন্য :-), 50% (কমপক্ষে 4 টির একটি সেট) এর সম্ভাব্যতায় পৌঁছানোর জন্য প্রত্যাশিত কার্ডগুলির সংখ্যা কী হবে? :-)

— কার্ল উইথফট

নিবন্ধন করুন কার্ড আঁকার জন্য আপনি , বা । এটি এর কোয়াড-রুটের উপরে কিছুটা , তাই আপনি কার্ড আঁকার জন্য দ্রুত পৌঁছে যাওয়ার জন্য থেকে শুরু করে মানগুলি দিয়ে যেতে পারেন । এটি আপনাকে সম্ভাবনা দেয় । $d$$13 \binom{48}{d-4} \geq \frac{1}{2} \binom{52}{d}$$d(d-1)(d-2)(d-3) \geq \frac{1}{26} \frac{52!}{48!} = 249900$$22$$d$$23$$24$$0.5102521$

— দুর্ঘটনার পরিসংখ্যানবিদ