মার্কভ চেইনের জন্য কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য

$\newcommand{\E}{\mathbb{E}}$ $\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ states কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য (সিএলটি) বলে যে $X_1,X_2,\dots$ স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়েছে (আইআইডি) $\E[X_i]=0$ এবং $\operatorname{ Var} (X_i)<\infty$ , যোগফলটি একটি সাধারণ বন্টনে হিসাবে রূপান্তর করে $n\to\infty$ :

Σ_{আমি = 1}^{এন} {এক্স}_{আমি} \to এন (0, \sqrt{এন}) ।

$\sum_{i=1}^n X_i \to N\left(0, \sqrt{n}\right).$

পরিবর্তে ধরে নিন যে প্রত্যাশা 0 এবং সীমানা বৈকল্পিকের $X_1,X_2,\dots$ সাথে একটি স্থিতিশীল বিতরণ $\P_\infty$ সহ একটি সসীম-রাষ্ট্র মার্কভ চেইন গঠন করে । এই মামলার জন্য কি সিএলটি-র সরল এক্সটেনশন রয়েছে?

মার্কভ চেইনগুলির জন্য সিএলটি-তে আমি যেসব কাগজপত্র পেয়েছি সেগুলি সাধারণত আরও সাধারণ ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। প্রাসঙ্গিক সাধারণ ফলাফলের দিকে নির্দেশক এবং এটি কীভাবে প্রযোজ্য তা ব্যাখ্যা করার জন্য আমি খুব কৃতজ্ঞ হব।

markov-process central-limit-theorem

— tom4everitt
সূত্র

লিন এবং Tegmark এর কাগজ ডীপ ডাইনামিক্স থেকে ক্রিটিক্যাল আচরণ কিছু গভীরতা মধ্যে যায় "সীমাবদ্ধতা মার্কভ প্রক্রিয়া এবং বিশ্লেষণের * ... প্রাপ্তিসাধ্য এখানে ... সম্পর্কে ai2-s2-pdfs.s3.amazonaws.com/5ba0/...

— মাইক হান্টার

উত্তর:

অ্যালেক্স আর এর উত্তর প্রায় যথেষ্ট, তবে আমি আরও কয়েকটি বিবরণ যুক্ত করি। ইন মার্কভ চেইন কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য অন - Galin এল জোনস , যদি আপনি উপপাদ্য 9 তাকান, এটা বলছেন,

যদি স্থির বন্টন with সহ হ্যারিস এরগোডিক মার্কোভ চেইন হয় তবে সমানভাবে অরগডিক এবং হলে সিএলটি রাখে । $X$ $\pi$ $f$ $X$ $E[f^2] < \infty$

সীমাবদ্ধ রাষ্ট্রীয় স্থানগুলির জন্য, সমস্ত অপ্রয়োজনীয় এবং এপিওরিওডিক মার্কোভ চেইনগুলি সমানভাবে অহংকারযুক্ত। এর প্রমাণ হিসাবে মার্কভ চেইন তত্ত্বের কিছুটা যথেষ্ট পটভূমি জড়িত। একটি ভাল রেফারেন্স হবে পৃষ্ঠা 32, এখানে তত্ত্বের 18 নীচে ।

তাই, মার্কভ চেইন CLT কোনো ফাংশন জন্য রাখা হবে একটি নির্দিষ্ট দ্বিতীয় মুহূর্ত রয়েছে। সিএলটি ফর্মটি নীচে বর্ণিত হয়েছে। $f$

এর বার গড় গড় অনুমানকারী Let যাক না , তবে অ্যালেক্স আর, হিসাবে উল্লেখ করেছেন , $\bar{f}_n$ $E_{\pi}[f]$ $n \to \infty$

{\bar{চ}}_{এন} = \frac{1}{এন} Σ_{আমি = 1}^{এন} চ ({এক্স}_{আমি}) \overset{যেমন}{\to} ই_{π} [চ] ।

$\bar{f}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(X_i) \overset{\text{a.s.}}{\to} E_\pi[f].$

মার্কোভ চেইন সিএলটি হ'ল

\sqrt{এন} ({\bar{চ}}_{এন} - ই_{π} [চ]) \overset{ঘ}{\to} এন (0, σ^{2}),

$\sqrt{n} (\bar{f}_n - E_\pi[f]) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$

যেখানে

σ^{2} = \underset{প্রত্যাশিত মেয়াদ}{\underset{⏟}{{var}_{π} (চ ({এক্স}_{1}))}} + + \underset{মার্কভ চেইনের কারণে মেয়াদ}{\underset{⏟}{2 Σ_{ট = 1}^{\infty} {Cov}_{π} (চ ({এক্স}_{1}), চ ({এক্স}_{1 + + ট}))}} ।

$\sigma^2 = \underbrace{\operatorname{Var}_\pi(f(X_1))}_\text{Expected term} + \underbrace{2 \sum_{k=1}^\infty \operatorname{Cov}_\pi(f(X_1), f(X_{1+k}))}_\text{Term due to Markov chain}.$

চার্জ জিয়েরের এমসিসিএম নোটের পৃষ্ঠা 8 এবং 9 পৃষ্ঠায় টার্মের জন্য একটি বিকাশ পাওয়া যাবে $\sigma^2$

— Greenparker
সূত্র

ধন্যবাদ, এটা খুব পরিষ্কার! সীমাবদ্ধ রাষ্ট্র, অদম্য এবং অপেরিয়ডিক মার্কোভ চেইনগুলি সমানভাবে ইर्गোডিক হওয়ার কি কোনও সহজ যুক্তি আছে? (এমন নয় যে আমি আপনাকে বিশ্বাস করি না ^^)

— tom4everitt

@ tom4everitt দুর্ভাগ্যক্রমে, "সহজ" এর সংজ্ঞা বিষয়বস্তু। আপনি যদি মার্কভ চেইনের জন্য ড্রিফট এবং গৌণিক অবস্থার সাথে পরিচিত হন তবে যুক্তিটি সহজ। যদি তা না হয় তবে এটি দীর্ঘদিনের যুক্তি হতে পারে। আমি চেষ্টা করব এবং পরিবর্তে একটি রেফারেন্স খুঁজে পাব। কিছুক্ষণ সময় নিতে পারে।

— গ্রিনপার্কার

এইটা চমৎকার হবে. যদি আপনার কোনওটি না পাওয়া যায় তবে প্রধান পদক্ষেপে ইঙ্গিত করা কয়েকটি বাক্য এখনও সহায়ক হবে।

— tom4everitt

@ tom4everitt উত্তরে একটি রেফারেন্স যুক্ত করেছে। আশা করি তা যথেষ্ট।

— গ্রিনপার্কার

@ গ্রিনিপার্কার আমি কীভাবে আপনার উত্তরটির বৈকল্পিকতা প্রাপ্ত তা বোঝার জন্য আপনাকে জিজ্ঞাসা করতে পারি? আমি আপনার উত্তরে রেফারেন্সটি সন্ধান করেছি, কিন্তু আমি সেখানে কোনও উত্স খুঁজে পাইনি। আমার একটি উত্স আছে, এমসিসিস্টের জন্য এমসি, তবে এটি কীভাবে উত্পন্ন হয়েছে তা আমি পুরোপুরি বুঝতে পারি না। অর্থাৎ, শব্দটি কীভাবে উদ্ভূত হয়? ধন্যবাদ!

σ^{2}

$\sigma^2$

— লেস্টস্কয়ারস ওয়ান্ডারার

মার্কভ চেইনের জন্য "স্বাভাবিক" ফলাফল হ'ল বিরখফ এরগোডিক উপপাদ্য, যা বলে

\frac{1}{এন} Σ_{আমি = 1}^{এন} চ ({এক্স}_{আমি}) \to ই_{π} [চ],

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(X_i)\rightarrow E_{\pi}[f],$

যেখানে হ'ল স্থিতিশীল বিতরণ, এবং মেটে , এবং রূপান্তরটি প্রায় নিশ্চিত। $\pi$ $f$ $E|f(X_1)|<\infty$

দুর্ভাগ্যক্রমে এই রূপান্তরটির ওঠানামা সাধারণত বেশ কঠিন। এটি মূলত স্টেশনারি বিতরণে কত দ্রুত রূপান্তরিত হয় তার সম্পূর্ণ প্রকরণের সীমা নির্ধারণের চরম অসুবিধাজনিত কারণে । এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যেগুলি ওঠানামাগুলি সিএলটি-র সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ এবং আপনি প্রবাহের উপর কিছু পরিস্থিতি খুঁজে পেতে পারেন যা উপমা ধরে রাখে: মার্কোভ চেইন কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের উপর - গ্যালিন এল জোনস (দেখুন উপপাদ্য 1)। $X_i$ $\pi$

পরিস্থিতিও রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ দুটি রাজ্যের একটি শৃঙ্খলা, যেখানে একটি শোষণ করে (যেমন এবং এই ক্ষেত্রে কোনও ওঠানামা নেই এবং আপনি একটি অবনমিত সাধারণ বিতরণ (একটি ধ্রুবক) এ রূপান্তর পান। $P(1\rightarrow 2)=1$ $P(2\rightarrow 1)=0$

— অ্যালেক্স আর।
সূত্র

আমি মনে করি না তিনি প্রায় নিশ্চিত রূপান্তর সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন। আমি মনে করি তিনি সাধারণ জায়গাগুলিতে কয়েকটি সিএলটি-র একটি ধরণের 'অনুবাদ' চান: সম্ভবত সীমাবদ্ধ রাষ্ট্রীয় স্থানের চেইনের নির্দিষ্ট প্রসঙ্গে প্রয়োজনীয় অনুমানের অর্থ কী - এর ব্যাখ্যা সম্ভবত

— টেলর

ধন্যবাদ। একটি সাধারণ, সুন্দর, সসীম-রাষ্ট্রীয় মার্কোভ চেইন তুচ্ছভাবে প্রবাহের শর্তটি পূরণ করবে? আমি এটি কেবল একটি দ্বি-রাষ্ট্রীয় চেইনের জন্য জেনেও খুশি হতে পারি, তবে এটি কীভাবে প্রমাণ করা যায় তা আমার কাছে সুস্পষ্ট।

— tom4everitt