পরিসংখ্যানবিদরা কেন এলোমেলো ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞায়িত করলেন?

Question

আমি এক দশক আগে গণিত অধ্যয়ন করেছি, সুতরাং আমার একটি গণিত এবং পরিসংখ্যানের পটভূমি রয়েছে তবে এই প্রশ্নটি আমাকে হত্যা করছে।

এই প্রশ্নটি আমার কাছে এখনও কিছুটা দার্শনিক। পরিসংখ্যানবিদরা এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করার জন্য কেন সমস্ত ধরণের কৌশল বিকাশ করেছিল? মানে, কোনও এলোমেলো ভেক্টর সমস্যার সমাধান করেনি? যদি তা না হয় তবে এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের ডিফেরেন্ট কলামগুলির অর্থ কী? অ্যান্ডারসন (2003, উইলি) একটি র্যান্ডম ভেক্টরকে কেবল একটি কলাম সহ একটি র্যান্ডম ম্যাট্রিক্সের একটি বিশেষ কেস হিসাবে বিবেচনা করে।

আমি এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের বিষয়টি দেখতে পাচ্ছি না (এবং আমি নিশ্চিত যে এটি আমি অজ্ঞ)। তবে, আমার সাথে সহ্য করুন। ভাবুন আমার কাছে 20 টি এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি মডেল রয়েছে। যদি আমি যৌথ সম্ভাব্যতা ফাংশনটি গণনা করতে চাই তবে আমি কেন তাদের ভেক্টরের পরিবর্তে ম্যাট্রিক্স হিসাবে চিত্র করব?

আমি কী মিস করছি?

PS: দুর্বল ট্যাগযুক্ত প্রশ্নের জন্য আমি দুঃখিত, কিন্তু এলোমেলো-ম্যাট্রিক্সের জন্য কোনও ট্যাগ নেই এবং আমি এখনও একটি তৈরি করতে পারি না!

সম্পাদনা: শিরোনামে ম্যাট্রিক্সে ম্যাট্রিক্সে পরিবর্তন হয়েছে

Comments

আমার মনে হয় আপনি এলোমেলো ভেক্টর হিসাবে পুনরায় সাজানো হয়েছে যাতে এটি ম্যাট্রিক্স হিসাবে ধারণাগতভাবে ভাবছেন।

— ম্যাথিউ গন

সম্ভবত প্রাসঙ্গিক: এন.ইউইকিপিডিয়া.আর / উইকি / র্যান্ডম_প্রজেক্ট ।

— dsaxton

আপনি পাশাপাশি জিজ্ঞাসা করতে পারেন কেন ম্যাট্রিকগুলি আগ্রহী। বাস্তব জগতে পর্যবেক্ষণ বা পরিমাপকৃত কোন ঘটনাকে প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত কোনও ম্যাট্রিক্স এলোমেলো হিসাবে দেখা একেবারেই স্বাভাবিক। এলোমেলো গ্রাফের সংলগ্ন ম্যাট্রিক থেকে শুরু করে নমুনা কোভরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স এবং আরও অনেক কিছুতে এলোমেলো ম্যাট্রিকের জন্য সম্ভাব্য প্রকার এবং মডেলগুলির আধিক্যের ফলস্বরূপ।

— whuber

@ আকসাকাল আমার মনে হয় ওপি'র বক্তব্যটি কখন এলোমেলো ম্যাট্রিক হিসাবে কোনও বিশ্লেষণ করা কার্যকর হয়। উদাহরণস্বরূপ চিত্রের শ্রেণিবিন্যাসে আপনি সাধারণত আপনার চিত্রের ম্যাট্রিকগুলি ভেক্টরগুলিতে পরিণত করেন..এখানে ম্যাট্রিক্স 'বিশ্লেষণ' নেই। সুতরাং whuber এর মন্তব্য এ পর্যন্ত সেরা উত্তর: যেমন একটি covariance ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক আধা নির্দিষ্ট হতে হবে - আপনি যদি এলোমেলো কোভরিয়েন্স ম্যাট্রিক অনুকরণ করতে চান একটি ভেক্টর চেয়ে ম্যাট্রিক্স স্পেসিফিকেশন সঙ্গে কাজ করা তার সহজ।

— seanv507

এলোমেলো ম্যাট্রিক্সগুলি এলোমেলো টেনারগুলির একটি বিশেষ কেস।

— অ্যানি-মৌসে -রিনস্টেট মনিকা

Answer 1

এটি নির্ভর করে যে আপনি কোন ক্ষেত্রে রয়েছেন তবে, এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের অধ্যয়নের জন্য বড় একটি প্রাথমিক ধাক্কা পরমাণু পদার্থবিজ্ঞানের বাইরে এসেছিল এবং উইগনার তার নেতৃত্ব দিয়েছিলেন। আপনি এখানে একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ পেতে পারেন । বিশেষত, এলোমেলো ম্যাট্রিকগুলির ইগেনভ্যালুগুলি (যা পারমাণবিক পদার্থবিজ্ঞানের শক্তির স্তর) ছিল যা প্রচুর পরিমাণে আগ্রহ তৈরি করেছিল কারণ ইগেনভ্যালুগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কগুলি পারমাণবিক ক্ষয় প্রক্রিয়াগুলির নির্গমন বর্ণনকে অন্তর্দৃষ্টি দিয়েছিল।

আরও সাম্প্রতিককালে, এই ক্ষেত্রে একটি বড় পুনরুত্থান, আবির্ভাব সঙ্গে হয়েছে ট্রেসি-Widom বন্টন / র্যান্ডম ম্যাট্রিক্সের বৃহত্তম eigenvalues জন্য গুলি, যেমন আপাতদৃষ্টিতে সম্পর্কহীন ক্ষেত্র, এর সংযোগ অত্যাশ্চর্য সহ টালি তত্ত্ব পরিসংখ্যান পদার্থবিদ্যা, সমাকলনযোগ্য সিস্টেম , কেপিজেড ঘটনা , এলোমেলো সংমিশ্রণ এবং এমনকি রিমান হাইপোথেসিস । আপনি এখানে আরও কিছু উদাহরণ পেতে পারেন ।

নীচে থেকে পৃথিবীর উদাহরণগুলির জন্য, সারি ভেক্টরগুলির একটি ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা একটি প্রাকৃতিক প্রশ্ন এটির পিসিএ উপাদানগুলি দেখতে কেমন। আপনি কিছু বন্টন থেকে ডেটা এসেছে বলে ধরে নিয়ে এর জন্য তাত্ত্বিক অনুমান পেতে পারেন এবং তারপরে কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স ইগেনভ্যালুগুলি দেখে যা এলোমেলো ম্যাট্রিক্স সার্বজনীনতা থেকে অনুমান করা হবে : আপনার ভেক্টরগুলির বিতরণকে নির্বিশেষে (কারণের মধ্যে) সীমিত বিতরণ করতে হবে ইগেনভ্যালুগুলি সর্বদা জ্ঞাত শ্রেণির একটি সেটগুলির কাছে উপস্থিত হবে। আপনি এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের জন্য এক ধরণের সিএলটি হিসাবে ভাবতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ এই কাগজ দেখুন ।

Comments

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. আমার সন্দেহ হয়েছিল এটি কিছু গাণিতিক প্রযুক্তিগুলির সাথে যুক্ত হতে পারে। এখন এটি সব বোঝা যায়, পদার্থবিজ্ঞান সবসময় গণিত এবং অন্যদিকেও প্রায় ছিল around

— এডুয়ার্ডো

উইগনারের কাগজ 1950 এর দশকের মাঝামাঝি ছিল, উইশার্টের কাগজটি 1920 এর দশকের শেষভাগে ছিল। সুতরাং, এটি দাবি করা কঠিন যে আমার মতে উইগনার প্রথম বড় ধাক্কা দিয়েছে।

— আকসকল

Answer 2

আপনি এলোমেলো ভেক্টরগুলির প্রয়োগগুলিতে আরামদায়ক বলে মনে হচ্ছে seem উদাহরণস্বরূপ, আমি প্রতিদিন এ জাতীয় এলোমেলো ভেক্টরদের সাথে ডিল করি: বিভিন্ন টেনারদের সুদের হার। ফেডারেল রিজার্ভ ব্যাঙ্কের এইচ 15 সিরিজ রয়েছে , ট্রেজারি বিলগুলি 4-সপ্তাহ, 3-মাস, 6-মাস এবং 1-বছরের দেখুন। আপনি 4 টি উপাদান সহ ভেক্টর হিসাবে এই 4 হারগুলি ভাবতে পারেন। এটি ক্রেম এলোমেলো, নীচের চক্রান্তের .তিহাসিক মানগুলি দেখুন।

যেকোন এলোমেলো সংখ্যার মতো আমরাও নিজেকে জিজ্ঞাসা করতে পারি: এগুলির মধ্যে কোমলতা কী? এখন আপনি 4x4 কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স পান। আপনি যদি এক মাসের দৈনিক ডেটাতে এটি অনুমান করেন, আপনি যদি অ-ওভারল্যাপিং করতে চান তবে আপনি প্রতি বছর 12 টি আলাদা কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক পাবেন। র্যান্ডম সিরিজের নমুনা কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স নিজেই একটি এলোমেলো বস্তু, উইশার্টের কাগজটি দেখুন "সাধারণ বহুগুণ জনসংখ্যার মাধ্যমে নমুনায় জেনারেলাইজড প্রোডাক্ট মোমেন্ট ডিস্ট্রিবিউটশন।" এখানে । তার পরে একটি বিতরণ ডেকে আনা হয়েছে।

এলোমেলো ম্যাট্রিক্সে যাওয়ার এক উপায়। অবাক হওয়ার কিছু নেই যে র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব (আরএমটি) অর্থায়নে ব্যবহৃত হয়, আপনি এখন দেখতে পাচ্ছেন।

Comments

আপনি "এক মাসের ডেটা" এ অনুমান করার কথা উল্লেখ করেছেন, আপনার অর্থ কি "এক মাসের দৈনিক ডেটা মূল্য?"

— জন

@ জন, এই বিশেষ উদাহরণে হ্যাঁ, প্রতিদিন। তবে কিছু সিরিজ ইন্টি ডে হিসাবে পরিমাপ করা হয়, যেমন ইক্যুইটির দাম। আপনার কাছে যদি স্টকের একটি পোর্টফোলিও থাকে তবে আপনি খুব উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে ইন্ট্রা ডে কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স পেতে পারেন।

— আকসকাল

+1 টি। এখানে প্যারাফ্রেসিং, তবে আমি মনে করি এলোমেলো ম্যাট্রিকগুলি প্রেরণার একটি উপায় হ'ল এই ক্ষেত্রে আমরা প্রায়শই র্যান্ডম ভেক্টরগুলির মধ্যে সম্পর্কের বিষয়ে আগ্রহী । এটি স্বাভাবিকভাবে ভেক্টরের পরিবর্তে ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করে।

— ক্লিফ এবি

@ আকসাকাল আপনার উল্লেখ করা ডেটা দৈনিক পাশাপাশি মাসিক ফ্রিক্যোয়েন্সিতে আসে। আপনি পোস্টটি সংশোধন করার আগেই আমি এটি বিভ্রান্তিকর বলে মনে করেছি কারণ এক মাসের মাসিক ডেটা ব্যবহার করে কোনও কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স অনুমান করার কোনও মানে হবে না।

— জন

@ জন, আপনি মাসিক বা সাপ্তাহিক তথ্য, ওভারল্যাপিং বা নন-ওভারল্যাপিং ইত্যাদির উপর কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স অনুমান করতে পারেন এটি করার কোনও সঠিক উপায় নেই।

— আকসকল

Answer 3

তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে এলোমেলো ম্যাট্রিকগুলি নির্দিষ্ট প্রতিসাম্যগুলির সাথে সিস্টেমের শক্তি বর্ণালীগুলির সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যগুলি বোঝার জন্য গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানের আমার পটভূমি আমাকে এখানে কিছুটা পক্ষপাতদুষ্ট দৃষ্টিভঙ্গি উপস্থাপন করতে পারে, তবে আমি এমনকি এতদূর যেতে চাই যে এলোমেলো ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব (আরএমটি) এর জনপ্রিয়তা পদার্থবিদ্যায় এর সফল প্রয়োগ থেকে উদ্ভূত হয়েছিল।

খুব বেশি বিশদে না গিয়ে, উদাহরণস্বরূপ কোয়ান্টাম মেকানিক্সে শক্তি বর্ণালী হ্যামিলটোনীয় সিস্টেমগুলির ইগেনুয়ালুগুলি গণনা করে পাওয়া যায় - যা হার্মিটিয়ান ম্যাট্রিক্স হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। প্রায়শই পদার্থবিজ্ঞানীরা নির্দিষ্ট সিস্টেমে আগ্রহী হন না তবে বিশৃঙ্খলাবদ্ধ কোয়ান্টাম সিস্টেমগুলির সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি কী কী তা জানতে চান যা শক্তি বা অন্যান্য পরামিতিগুলির পরিবর্তনের পরে হার্মিটিয়ান হ্যামিলটানিয়ান ম্যাট্রিক্সের ম্যাট্রিক্স-স্পেসটি ভ্রান্তভাবে পূরণ করতে পরিচালিত করে ( যেমন সীমানা শর্ত)। এটি এক ধরণের শারীরিক সিস্টেমকে এলোমেলো ম্যাট্রিক হিসাবে গণ্য করতে এবং এই সিস্টেমগুলির গড় বৈশিষ্ট্যগুলি অনুসন্ধান করার জন্য অনুপ্রাণিত করে। আপনি যদি আরও গভীরভাবে ডুব দিতে চান তবে আমি বোহিগাস-জিয়ানোনি-শ্মিড্ট অনুমানের সাহিত্যের প্রস্তাব দিই।

সংক্ষেপে, একটি উদাহরণস্বরূপ দেখাতে পারে যে সিস্টেমগুলির শক্তির স্তরগুলির সময় বিপরীতমুখী প্রতিসাম্য রয়েছে এমন সিস্টেমের শক্তির স্তরের তুলনায় সার্বজনীনভাবে আলাদা আচরণ করে যার কোনও সময় বিপরীতমুখী প্রতিসাম্য নেই (যা আপনি যদি চৌম্বকীয় ক্ষেত্র যুক্ত করেন তবে উদাহরণস্বরূপ ঘটে)। গাউসিয়ান এলোমেলো ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে বাস্তবে যথেষ্ট সংক্ষিপ্ত গণনা প্রমাণ করতে পারে যে উভয় সিস্টেমে শক্তির মাত্রা আলাদাভাবে থাকে।

এই ফলাফলগুলি আরও বাড়ানো যেতে পারে এবং অন্যান্য প্রতিসাম্যগুলি বুঝতে সহায়তা করে, যা বিভিন্ন ক্ষেত্রে যেমন কণা পদার্থবিজ্ঞান বা মেসোস্কোপিক ট্রান্সপোর্টের তত্ত্ব এবং পরে আর্থিক বাজারেও বড় প্রভাব ফেলেছিল।

Comments

এই কারণেই আমি পদার্থবিজ্ঞান ছেড়ে দিলাম :) অত্যধিক "মস্তিষ্কের ক্ষতি"

— আকসকল

উইশার্টের মতো পরিসংখ্যানবিদরা যেখানে পারমাণবিক পদার্থবিদদের আগে।

— কেজিটিল বি হালওয়ারসেন

Answer 4

একটি লিনিয়ার মানচিত্র ভেক্টর স্পেসের মধ্যে একটি মানচিত্র। মনে করুন আপনার কাছে একটি রৈখিক মানচিত্র রয়েছে এবং এর ডোমেন এবং ব্যাপ্তি জায়গাগুলির জন্য বেসগুলি বেছে নিয়েছেন। তারপরে আপনি একটি ম্যাট্রিক্স লিখতে পারেন যা লিনিয়ার মানচিত্রকে এনকোড করে। যদি আপনি এই দুটি স্পেসের মধ্যে এলোমেলো রৈখিক মানচিত্র বিবেচনা করতে চান তবে আপনার এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের একটি তত্ত্ব নিয়ে আসা উচিত। এলোমেলো প্রজেকশন হ'ল এ জাতীয় একটি সাধারণ উদাহরণ।

এছাড়াও, পদার্থবিজ্ঞানে ম্যাট্রিক্স / টেনসর মূল্যবান বস্তু রয়েছে। সান্দ্র স্ট্রেস টেন্সর যেমন (ক যথার্থ চিড়িয়াখানার মধ্যে) অন্যতম। প্রায় একজাতীয় ভিজোকেলেস্টিক উপকরণগুলিতে স্ট্রেনগুলি (ইলাস্টিক, সান্দ্র, ইত্যাদি) মডেল করার জন্য এটি কার্যকর হতে পারে এবং তাই স্ট্রেসগুলি ছোট প্রকারের সাথে একটি এলোমেলো টেন্সর হিসাবে পয়েন্টওয়াসাইজ করে। যদিও এই স্ট্রেস / স্ট্রেনের জন্য "লিনিয়ার ম্যাপ" ইন্দ্রিয় রয়েছে, তবে এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের এই প্রয়োগটিকে এলোমেলোভাবে এমন কিছু হিসাবে বর্ণনা করা আরও বেশি সত্য যা ইতিমধ্যে একটি ম্যাট্রিক্স ছিল।

Answer 5

চিত্র প্রক্রিয়াকরণের ক্ষেত্রে অ্যাপ্লিকেশন হিসাবে সংবেদনশীল সংবেদন 2D সংকেতের সম্মিলিত পরিমাপ হিসাবে এলোমেলো ম্যাট্রিকগুলিতে নির্ভর করে। এই ম্যাট্রিকগুলির নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলি, যেমন সুসংহততা , এই ম্যাট্রিকগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং তত্ত্বের ক্ষেত্রে একটি ভূমিকা পালন করে।

সামগ্রিকভাবে সরল করে দেখা গেছে যে গাউসিয়ান ম্যাট্রিক্সের একটি নির্দিষ্ট পণ্য এবং একটি বিরল ইনপুট সিগন্যালের এল 1 আদর্শকে হ্রাস করা আপনাকে প্রত্যাশার চেয়ে অনেক বেশি তথ্য পুনরুদ্ধার করতে দেয়।

আমি জানি এই অঞ্চলের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য প্রাথমিক গবেষণাটি হ'ল রাইস বিশ্ববিদ্যালয়ের কাজ: http://dsp.rice.edu/research/compressive-sencing/random-matrices

"সংকেতের পরিমাপ" হিসাবে ম্যাট্রিক্স পণ্যগুলির তত্ত্বটি কমপক্ষে ডাব্লুডাব্লু 2 হিসাবে অনেক পিছনে যায়। আমার প্রাক্তন প্রফেসর হিসাবে আমার কাছে বর্ণনা করার সময়, সিফিলিসের জন্য প্রতিটি সেনা সদস্যকে পৃথকভাবে পরীক্ষা করা ব্যয়বহুল ছিল। নিয়মিত পদ্ধতিতে এই নমুনাগুলি একসাথে মিশ্রিত করা (প্রতিটি রক্তের নমুনার কিছু অংশ একসাথে মিশিয়ে তাদের পরীক্ষা করে) পরীক্ষা করাতে প্রয়োজনীয় সময়কে হ্রাস করবে। এটিকে এলোমেলো বাইনারি ভেক্টর হিসাবে একটি স্পার্স ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণিত হিসাবে মডেল করা যেতে পারে।