প্রাকৃতিক লগ পরিবর্তনগুলি শতাংশের পরিবর্তন কেন হয়? লগগুলি এমন কী করে যা এটি করে?

43

কেউ কি ব্যাখ্যা করতে পারেন যে লগগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি কীভাবে এটি তৈরি করে আপনি লিনিয়ার রেজিস্ট্রেশনগুলি করতে পারেন যেখানে সহগুণগুলি শতাংশ পরিবর্তন হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়?

regression logarithm mathematical-statistics

— thewhitetie
সূত্র

9

l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ , এবং হল 1 এর সাথে শতাংশ পরিবর্তন।

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$

এক্স 1 এর সাথে সম্পর্কিত সমীকরণের পার্থক্য করা আমি মনে করি সিরিজের প্রকাশগুলি বিবেচনা করার চেয়ে প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার ক্ষেত্রে আমাদের আরও ভাল করে ফেলেছে।

— চার্লস

45

জন্য এবং একে অপরের কাছাকাছি, শতাংশ পরিবর্তন লগ পার্থক্য পরিমাপক । $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ $\log x_2 - \log x_1$

শতাংশ পরিবর্তন লগ পার্থক্য আনুমানিক কেন?

ক্যালকুলাস থেকে একটি ধারণা আপনি লাইন দিয়ে একটি মসৃণ ফাংশন আনুমানিক করতে পারেন। লিনিয়ার আনুমানিকতা কেবল কোনও টেলর সিরিজের প্রথম দুটি পদ । আশেপাশে order এর প্রথম অর্ডারটি দেওয়া হয়েছে: $\log(x)$ $x=1$

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$ ডান হাতটি :

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

সুতরাং 1 এর আশেপাশের এর জন্য , আমরা রেখার সাথে আনুমানিক করতে পারি নীচে এবং একটি গ্রাফ রয়েছে । $x$ $\log(x)$ $y = x - 1$ $y = \log(x)$ $y = x - 1$

উদাহরণ: । $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

এখন দুটি ভ্যারিয়েবল এবং বিবেচনা করুন যেমন । তারপরে লগের পার্থক্য আনুমানিক শতাংশ পরিবর্তন : $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

শতাংশ পরিবর্তন লগ পার্থক্য একটি লিনিয়ার আনুমানিক হয়!

লগ পার্থক্য কেন?

প্রায়শই যখন আপনি যৌগিক শতকরা পরিবর্তনের ক্ষেত্রে চিন্তা করেন তখন গণিতের ক্লিনার ধারণাটি লগের পার্থক্যের ক্ষেত্রে চিন্তা করা। আপনি যখন বারবার শর্তগুলি একসাথে গুন করছেন তখন প্রায়শই লগগুলিতে কাজ করা এবং পরিবর্তে শর্তগুলি একসাথে যুক্ত করা আরও বেশি সুবিধাজনক।

আসুন ধরা যাক আমাদের সময়ে দেওয়া হয়: তারপরে এটি লেখা আরও সুবিধাজনক হতে পারে: যেখানে । $T$

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

শতাংশ পরিবর্তন এবং লগ পার্থক্য এক নয় যেখানে?

বড় শতাংশের পরিবর্তনের জন্য, লগের পার্থক্য শতাংশের পরিবর্তনের মতো একই জিনিস নয় কারণ রেখার সাথে বক্ররেখ আরও খারাপ হতে থাকে এবং আরও বেশি খারাপ হয়ে যায় আপনি আরও থেকে পাবেন । উদাহরণ স্বরূপ: $y = \log(x)$ $y = x - 1$ $x=1$

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

এই ক্ষেত্রে লগ পার্থক্য কি?

এটি সম্পর্কে চিন্তা করার এক উপায় হ'ল .৪৪ লগের একটি পার্থক্য 47 টি বিভিন্ন .01 লগের পার্থক্যের সংগ্রহের সমতুল্য, যা প্রায় একসাথে মিশ্রিত প্রায় 47% পরিবর্তন হয়।

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

তারপরে উভয় পক্ষকে :

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

.47 এর লগ পার্থক্যটি প্রায় 47 টি বিভিন্ন 1% বৃদ্ধি বা সমতুল্য 470 বিভিন্ন .1% সমস্ত সংশ্লেষ ইত্যাদি বৃদ্ধি করে ... এর সমান ...

এখানে বেশ কয়েকটি উত্তর এই ধারণাটিকে আরও স্পষ্ট করে তোলে।

— ম্যাথু গন
সূত্র

+1, আশায় এই উত্তরটির পরিকল্পিত ধারাবাহিকতা এমন পরিস্থিতি নিয়ে আলোচনা করবে যেখানে আনুমানিকতা ভেঙে যায়।

— whuber

4

+1 টি। একটি ছোটখাটো বিন্দু যুক্ত করতে, 1.6 থেকে 1 একটি 37.5% হ্রাস, 1 থেকে 1.6 একটি 60% বৃদ্ধি, লগের পার্থক্য 0.47 পরিবর্তনের দিক থেকে পৃথক এবং সর্বদা 0.375 এবং 0.6 এর মধ্যে থাকে। আমরা যখন জানি না বা পরিবর্তনের দিক সম্পর্কে চিন্তা করি না তখন শতাংশ পরিবর্তন বড় হলেও লগ পার্থক্য দুই শতাংশ পরিবর্তনের গড় গ্রহণের বিকল্প হতে পারে।

— পল

9

ডমিগুলির জন্য এখানে একটি সংস্করণ ...

$Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

সুতরাং আমরা পরিবর্তে মডেলটিকে (ব্র্যান্ডের নতুন সহগ) করতে পারি। এখন unit একই ইউনিট বৃদ্ধির জন্য আমাদের পরিবর্তন হয়েছে $\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

শতাংশ পরিবর্তনের জন্য প্রভাবগুলি দেখতে, আমরা করতে পারি : $(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ হ'ল আপেক্ষিক পরিবর্তন এবং $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

প্রশ্নের উত্তরের মূল চাবিকাঠিটি হ'ল ছোট মানগুলির জন্য , যা টেলর সম্প্রসারণের প্রথম দুটি শর্তের একই ব্যবহারের সমান that ম্যাথিউ ব্যবহার করেছেন, তবে এবার ( ম্যাকালাউরিন সিরিজ ) শূন্যের মূল্যায়ন করা হয়েছে কারণ আমরা লগারিদমের বিপরীতে এক্সপোস্টেন্টদের সাথে কাজ করছি: $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

বা ভেরিয়েবল হিসাবে দিয়ে : $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

সুতরাং শূন্যের কাছাকাছি (আমরা যখন টেলর সিরিজটি করলাম তখন আমরা শূন্যের বহুভুতির বিস্তারকে মূল্যায়ন করেছি)। দৃশ্যরূপে, $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

— আন্তনি পরল্লদা
সূত্র

আপনার উত্তরটি বেশ পরিষ্কার: লগ-পার্থক্যকে শতাংশের পরিবর্তনের হিসাবে ব্যাখ্যা করতে আমাদের ক্ষুদ্র সহগ প্রয়োজন, তবে @াক্ষাকালের উত্তরটি দেখায় যে আমাদের কেবলমাত্র ছোট পরিবর্তন প্রয়োজন (যেমন lim Δx --> 0)। আপনি দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারেন যে কিভাবে দুটি সমান?

— তোয়াই_প্যাটারেলিজম

7

\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

$b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

যদি আপনার লগ ট্রান্সফর্ম না থাকে তবে আপনি এর পরম পরিবর্তনের ঝাল পাবেন $y$

d y = B d x

$dy=B dx$

$dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

— Aksakal
সূত্র

4

$r$ $n$

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

$n \rightarrow \infty$

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

উভয় পক্ষের লগারিদম গ্রহণ করা , যার অর্থ প্রাথমিক বিনিয়োগের জন্য চূড়ান্ত বিনিয়োগের অনুপাতের লোগারিদম ধারাবাহিকভাবে সুদের হার is এই ফলাফল থেকে, আমরা দেখতে পাই যে সময়-সিরিজের ফলাফলগুলিতে লোগারিথমিক পার্থক্যগুলি ধারাবাহিকভাবে পরিবর্তনের হারের মিশ্রণ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে । (এই ব্যাখ্যাটিও আকসকলের উত্তরের মাধ্যমে ন্যায়সঙ্গত হয়েছে , তবে বর্তমানের কাজটি আপনাকে এটি দেখার আরও একটি উপায় দেয়)) $r = \ln I(\infty)$

— মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র