মার্কভ প্রক্রিয়াটি কেবলমাত্র পূর্ববর্তী অবস্থার উপর নির্ভর করে

Question

আমি কেবল চাই যে কেউ আমার বোঝার বিষয়টি নিশ্চিত করুন বা যদি আমি কিছু মিস করছি।

একটি মার্কভ প্রক্রিয়াটির সংজ্ঞা বলে যে পরবর্তী পদক্ষেপটি কেবলমাত্র বর্তমান রাষ্ট্রের উপর নির্ভর করে এবং অতীতের কোনও রাজ্য নয়। সুতরাং, আসুন আমরা বলি যে আমাদের a, b, c, d এর একটি স্পেস স্পেস ছিল এবং আমরা a-> b-> c-> d থেকে চলে যাই। এর অর্থ হ'ল ডিতে স্থানান্তর কেবলমাত্র আমরা সি-তে ছিল তার উপর নির্ভর করতে পারে।

তবে এটি কি সত্য যে আপনি এই সীমাবদ্ধতাটিকে মডেলটিকে আরও জটিল এবং ধরণের "প্রায় কাছাকাছি" তৈরি করতে পেরেছিলেন? অন্য কথায়, যদি আপনার রাজ্যের স্থানটি এখন আ, আব, এসি, বিজ্ঞাপন, বা, বিবি, বিসি, বিডি, সিএ, সিবি, সিসি, সিডি, দা, ডিবি, ডিসি, ডিডি হত তবে আপনার নতুন রাষ্ট্রের স্থানটি হয়ে যায় পূর্ববর্তী রাষ্ট্র বর্তমান রাষ্ট্রের সাথে মিলিত, তারপরে উপরের রূপান্তরটি হবে * a-> ab-> বিসি-> সিডি এবং সুতরাং সিডিতে (পূর্ববর্তী মডেলের সমতুল্য) রূপান্তর এখন একটি রাষ্ট্রের উপর "নির্ভরশীল" যা, যদি অন্যভাবে মডেল করা হয় তবে এটি পূর্বের রাজ্য (আমি নীচে এটি একটি উপ-রাষ্ট্র হিসাবে উল্লেখ করি)।

আমি কি ঠিক এটিকেই "পূর্ববর্তী রাজ্যের (উপ-রাজ্য) এর উপর নির্ভরশীল" করতে পারি (আমি প্রযুক্তিগতভাবে জানি যে এটি নতুন মডেলটিতে নেই কারণ উপ-রাজ্যটি এখন সত্যিকারের রাষ্ট্র নয়) সম্প্রসারণের মাধ্যমে মার্কভ সম্পত্তি বজায় রাখতে পারে আমার মতো রাষ্ট্রের স্থান? সুতরাং, কেউ কার্যকরভাবে একটি মার্কভ প্রক্রিয়া তৈরি করতে পারে যা পূর্বের উপ-রাজ্যের যে কোনও সংখ্যার উপর নির্ভর করতে পারে।

Answer 1

প্রযুক্তিগতভাবে, আপনি যে দুটি প্রক্রিয়া বর্ণনা করেছেন তা হ'ল মার্কভ চেইন। পার্থক্যটি হ'ল প্রথমটি হ'ল প্রথম অর্ডার মার্কভ চেইন এবং দ্বিতীয়টি দ্বিতীয় আদেশের মার্কভ চেইন। এবং হ্যাঁ, আপনি রাষ্ট্রের স্থান সংজ্ঞায় উপযুক্ত পরিবর্তন করে দ্বিতীয় অর্ডার মার্কভ চেইনকে প্রথম অর্ডার মার্কভ চেইনে রূপান্তর করতে পারেন। আমাকে একটি উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করুন।

মনে করুন যে আমরা আবহাওয়াটিকে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হিসাবে মডেল করতে চাই এবং ধরুন যে কোনও দিন আবহাওয়া বৃষ্টি, রোদ বা মেঘলা হতে পারে। যাক কোন বিশেষ দিনে আবহাওয়া হতে হবে এবং আমাদের প্রতীক সম্ভব রাজ্যের বোঝাতে দিন আর (বৃষ্টির জন্য) S (হাসিখুশি) এবং জন্য সি (মেঘলা জন্য)।$W_t$$R$$S$$C$

প্রথম আদেশ মার্কভ চেইন

$P(W_t = w | W_{t-1}, W_{t-2},W_{t-3} ..) = P(W_t = w | W_{t-1})$

দ্বিতীয় আদেশ মার্কভ চেইন

$P(W_t = w | W_{t-1}, W_{t-2},W_{t-3} ..) = P(W_t = w | W_{t-1},W_{t-2})$

দ্বিতীয় অর্ডার মার্কভ চেইনটিকে প্রথম অর্ডার মার্কভ চেইনে রূপান্তরিত করা যেতে পারে রাষ্ট্রের স্থানটিকে নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা। নির্ধারণ:

টানা দুই দিন আবহাওয়ার হিসাবে।$Z_{t-1,t}$

অন্য কথায়, রাষ্ট্রের স্থানটি নিম্নলিখিত মানগুলির মধ্যে একটি নিতে পারে: , আর সি , আর এস , সি আর , সি সি , সি এস , এস আর , এস সি এবং এস $RR$$RC$$RS$$CR$$CC$$CS$$SR$$SC$$SS$ । এই পুনরায় সংজ্ঞায়িত রাষ্ট্র স্থানের সাথে আমাদের নিম্নলিখিত রয়েছে:

$P(Z_{t-1,t} = z_{t-1,t} | Z_{t-2,t-1}, Z_{t-3,t-2}, ..) = P(Z_{t-1,t} = z_{t-1,t} | Z_{t-2,t-1})$

উপরেরটি পুনরায় সংজ্ঞায়িত রাষ্ট্র স্পেসে স্পষ্টভাবে প্রথম অর্ডার মার্কভ চেইন। দ্বিতীয় অর্ডার মার্কভ চেইনের থেকে একটি পার্থক্য হ'ল আপনার পুনরায় সংজ্ঞায়িত মার্কভ চেইনটি দুটি প্রাথমিক শুরুর অবস্থার সাথে নির্দিষ্ট করা দরকার যেমন, প্রথম দিন এবং ২ তারিখ আবহাওয়া সম্পর্কে কিছুটা অনুমানের সাথে চেইনটি শুরু করা উচিত।

Comments

দুর্দান্ত: বিশদগুলির জন্য +1

— ব্যবহারকারীর 603

Answer 2

একটি মার্কভ প্রক্রিয়াটির সংজ্ঞা বলে যে পরবর্তী পদক্ষেপটি কেবলমাত্র বর্তমান রাষ্ট্রের উপর নির্ভর করে এবং অতীতের কোনও রাজ্য নয়।

$n^{th}$$n-1$

$n^{th}$ অর্ডার এমসিগুলি স্থিতিশীল রাজ্যের বন্টনের জন্য সুস্পষ্ট সূত্র ধরে রাখুন, তবে আপনি যেমন উল্লেখ করেছেন, রাজ্যের ম্যাট্রিক্সের আকারটি এর সাথে বৃদ্ধি পায় $n$ যেমন একটি সীমাহীন $n^{th}$ সাথে এমসির অর্ডার দিন $k$ রাষ্ট্র আছে $O(k^{2n})$ তার রাজ্য ম্যাট্রিক্স এন্ট্রি।

আপনি সম্ভবত সাম্প্রতিক কাগজগুলি যেমন উচ্চ-অর্ডার মাল্টিভারিয়েট মার্কোভ চেইন এবং তাদের অ্যাপ্লিকেশনগুলি একবার দেখতে চান কারণ এই ক্ষেত্রটি নিখরচায় দ্রুত এগিয়ে চলেছে।