আমি কীভাবে প্রমাণ করতে পারি যে ক্রমবর্ধমান বিতরণ কার্য সঠিকভাবে অবিচ্ছিন্ন?

Question

আমি আমার সম্ভাব্যতা কোর্সগুলিতে শিখেছি যে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এর ক্রমবর্ধমান ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন সঠিকভাবে অবিচ্ছিন্ন। এটা কি প্রমাণ করা সম্ভব?$F$$X$

Answer 1

বিতরণ ফাংশনের সঠিক ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে আপনাকে উপরে থেকে ধারাবাহিকতাটি ব্যবহার করতে হবে যা আপনি সম্ভবত আপনার সম্ভাব্য কোর্সের একটিতে প্রমাণ করেছেন।$P$

থিম। যদি ইভেন্টগুলির ক্রম হ্রাস , এমন অর্থে যে প্রতিটি জন্য ,, তবে , এতে ।$\{A_n\}_{n\geq 1}$$A_n\supset A_{n+1}$$n\geq 1$$P(A_n)\downarrow P(A)$$A=\cap_{n=1}^\infty A_n$

লেমন ব্যবহার করা যাক। বিতরণ ফাংশন ঠিক পর্যায়ে অবিরত থাকে এবং যদি প্রতিটি সংখ্যার আসল সংখ্যার জন্য ক্রমানুসারে যেমন আমাদের ।$F$$a$$\{x_n\}_{n\geq 1}$$x_n\downarrow a$$F(x_n)\downarrow F(a)$

ইভেন্টগুলি সংজ্ঞায়িত করুন , । আমরা প্রমাণ করব যে$A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$$n\geq 1$

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$

এক দিকে, প্রতিটি জন্য যদি , যেহেতু , আমাদের ।$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$$x_n\downarrow a$$X(\omega)\leq a$

অন্যান্য দিক, যদি , যেহেতু প্রত্যেকের জন্য , আমরা , যে জন্য ।$X(\omega)\leq a$$a\leq x_n$$n\geq 1$$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$

লেমা ব্যবহার করে, ফলাফলটি অনুসরণ করে:

$$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$$