বিপরীত জন্মদিনের সমস্যা: 1 মিলিয়ন এলিয়েনের মধ্যে কোনও জুটি জন্মদিনে ভাগ করে না; তাদের বছরের দৈর্ঘ্য কত?

Question

দিনগুলির খুব দীর্ঘ বছর সহ একটি গ্রহ ধরে। একটি ঘরে একটি পার্টিতে 1 মিলিয়ন এলিয়েন থাকে এবং জন্মদিনে কেউই ভাগ করে না। এর আকার সম্পর্কে অনুমান করা যায় কি ?$N$$N$

(এই আরও কমপ্যাক্ট প্রশ্নটি খারাপভাবে বর্ণিত এটিকে ছাড়িয়ে যায় es )

Comments

জন্মদিনের সমস্যা আপনাকে এন এর মান জানায় যেখানে কমপক্ষে একটি ম্যাচের সম্ভাবনা নির্দিষ্ট মানের থেকে বেশি হয়। যখন পি = 1/2 এটি স্বীকৃতি দিয়ে অবাক হয় যে এটি n = 23 দেয় .. এটি ধরে নেওয়া হয় যে প্রতিটি জন্মদিনের একই অভিন্ন সম্ভাবনা থাকে (1/365)। অচিরাচরতা কেবল n ছোট করে তোলে। এখন আপনার সমস্যাটিতে মনে হচ্ছে এন 365 প্রতিস্থাপন করেছে এবং আমি ধরে নিচ্ছি যে অভিন্নতা অনুমান বজায় রাখা হয়েছে।

— মাইকেল আর চেরনিক

যদি এন <= 1,000,000 হয় তবে কমপক্ষে 1 টি ম্যাচের সম্ভাব্যতা = 1 থাকে এবং তাই 0 টি ম্যাচের সম্ভাব্যতা = 0 থাকে।

— মাইকেল আর চেরনিক

সুতরাং যখন এন> ১,০০,০০০ কমপক্ষে ১ টি ম্যাচের সম্ভাবনা থাকে <1 এবং সুতরাং শূন্য ম্যাচের সম্ভাবনা বাড়তে শুরু করে।

— মাইকেল আর। চেরনিক

@ মিশেল অনুগ্রহ করে স্পষ্টতা এবং অন্যান্য ঘটনামূলক আলোচনার জন্য অনুরোধগুলির জন্য মন্তব্যগুলি সংরক্ষণ করুন এবং একবারে কেবল একটি পোস্ট করার চেষ্টা করুন: চরিত্রের সীমাবদ্ধতার জন্য উপযুক্ত কারণ রয়েছে। যদি আপনি নিজেকে উল্লেখযোগ্যভাবে এমন কিছু নিয়ে আলোচনা করতে দেখেন যার একাধিক মন্তব্যের প্রয়োজন হয়, আপনি সম্ভবত প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করছেন, যাতে আপনি উত্তরও পোস্ট করতে পারেন।

— whuber

Answer 1

ধরে নিই যে সমস্ত জন্মদিন সমানভাবে সম্ভব এবং জন্মদিনগুলি স্বাধীন, এলিয়েন জন্মদিন ভাগ না করার সুযোগটি হ'ল$k+1$

$$p(k;N) = 1\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{N}\right).$$

এর লগারিদমকে সংক্ষিপ্ত আকারে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে প্রদত্ত এন এর চেয়ে অনেক ছোট :$k$$N$

$$\log(p(k;N)) = -\frac{k(k+1)}{2N} - \frac{k + 3k^2 + 2k^3}{12N^2} - O(k^4 N^{-3}).\tag{1}$$

হতে নিশ্চিত যে এন কিছু মান চেয়ে কম হয় এন * , আমরা প্রয়োজন ( 1 ) তার চেয়ে অনেক বেশী হতে লগ ( 1 - α ) । ছোট α নিশ্চিত করা হয় যে কে এর চেয়ে এন অনেক বড় , সেহেতু আমরা প্রায় ( 1 ) - কে 2 / ( 2 এন ) হিসাবে সঠিকভাবে অনুমান করতে পারি । এই ফলন$100-100\alpha\%$$N$$N^{*}$$(1)$$\log(1-\alpha)$$\alpha$$N$$k$$(1)$$-k^2/(2N)$

$$-\frac{k^2}{2N} \gt \log(1-\alpha),$$

ইঙ্গিত

$$N \gt\frac{-k^2}{2\log(1-\alpha)} \approx \frac{k^2}{2\alpha}=N^{*}\tag{2}$$

ছোট $\alpha$ ।

উদাহরণস্বরূপ, প্রশ্নের হিসাবে এবং α = 0.05 ( 95 % আত্মবিশ্বাসের সাথে একটি প্রচলিত মান ), ( 2 ) এন > 10 13 দেয়$k=10^6-1$$\alpha=0.05$$95\%$$(2)$$N \gt 10^{13}$ ।

এই ফলাফলটির আরও বিস্তৃত ব্যাখ্যা এখানে। সূত্রে approximating ছাড়া , আমরা প্রাপ্ত এন = 9,74786 × 10 12 । এই এন এর জন্য মিলিয়ন জন্মদিনে কোনও সংঘর্ষের সম্ভাবনা পি ( 10 6 - 1 , 9.74786 × 10 12 ) = 95.0000 … % (আনুমানিক ছাড়াই গণনা করা), মূলত আমাদের 95 % এর প্রান্তিকের সমান । সুতরাং যে কোনও এন এর পক্ষে এটি বৃহত বা বৃহত্তর এটি 95 $(2)$$N=9.74786\times 10^{12}$$N$$p(10^6-1, 9.74786\times 10^{12})=95.0000\ldots\%$$95\%$$N$$95\%$বা সম্ভবত আরও কোনও সংঘর্ষ হবে না, যা আমরা যা জানি তার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তবে যে কোনও ছোট এর জন্য একটি সংঘর্ষের সম্ভাবনা 100 - 95 = 5 % এর উপরে চলে যায় , যা আমাদের আশঙ্কা করতে শুরু করে যে আমরা কম মূল্যবান এন থাকতে পারি ।$N$$100 - 95= 5\%$$N$

অন্য একটি উদাহরণ হিসাবে, প্রথাগত জন্মদিনের সমস্যা আছে হয় কোন সংঘর্ষের সম্ভাবনা ট = 6 মানুষ এবং 5.6 % কোন সংঘর্ষের সম্ভাবনা ট = 7 জন। এই নম্বর সুপারিশ এন অতিক্রম কর্তব্য 360 এবং 490 অধিকার সঠিক মান সীমার মধ্যে যথাক্রমে, 366 । এটি দেখায় যে এই আনুমানিক, অ্যাসিম্পটোটিক ফলাফলগুলি খুব ছোট কে-এর জন্যও হতে পারে (যদি আমরা ছোট to তে লেগে থাকি )।$4\%$$k=6$$5.6\%$$k=7$$N$$360$$490$$366$$k$$\alpha$

Comments

আমি এর মতো উত্তর দেওয়ার জন্য প্রস্তুত ছিলাম না। সংখ্যার সাথে এই বৃহত অনুমানগুলি গণনা করা সহজ হতে পারে। উইকিপিডিয়া সাধারণ মানুষের জন্মদিনের সমস্যাটি কে এর সাথে (এলিয়েন) এন এর কাছাকাছি এবং সীমা দেখায় showing আপনার প্রথম সমীকরণের মতো আমারও একই সূত্র ছিল।

— মাইকেল আর চেরনিক

আমার প্রশ্নটি হবে 100% আত্মবিশ্বাসে পৌঁছানোর জন্য এন কত বড় হতে হবে? আমি মনে করি এটি 10 ​​^ 18 এর মতো কিছু।

— মাইকেল আর। চেরনিক

@ মিশেল চের্নিক 100% আত্মবিশ্বাসের জন্য এন অসীমের দিকে যায়। যে কোনও সীমাবদ্ধ বছর এবং ২ বা ততোধিক এলিয়েনের সাথে যে কোনও দলের জন্য, একই জন্মদিনের সাথে দুটি এলিয়েনের সম্ভাবনা সর্বদা 0 এর চেয়ে বেশি থাকে

— পেরে

@ পেয়ার হ্যাঁ, এটি দেখার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি এখনই এটি ঠিক করব। এটি পোস্টের বাকী অংশে কোনও পার্থক্য তৈরি করে নি।

— whuber

@ পল উসযাক আমি মনে করি পেরের উত্তর সম্পর্কে আপনার মন্তব্য (এখন মুছে ফেলা হয়েছে) অনেক বেশি কঠোর ছিল। আমি মনে করি তার উত্তরটি সৎ বিশ্বাসে দেওয়া হয়েছিল। তিনি দরকারী অনুমানের মাধ্যমে আপনার জন্য সহায়ক হওয়ার চেষ্টা করছিলেন। পরে তিনি whuber এর উত্তর দেখেছেন এবং সিদ্ধান্ত নিয়েছেন যে এটি আরও সম্পূর্ণ এবং তার উত্তর মুছতে সম্মত হয়েছে। বিস্তারিত উত্তর আশা না করা সম্পর্কে তাঁর মন্তব্য আপনি যেভাবে ব্যাখ্যা করেছেন তা বোঝানো হয়নি। এটি একটি কঠিন সমস্যা। এমনকি আপনার এটিকে বোধগম্য করার জন্য পোস্টটি আবারও লিখতে হয়েছিল। আমি নিশ্চিত যে তিনি এই জাতীয় সমস্যাটিকে একটি রসিকতা হিসাবে গ্রহণ করবেন না।

— মাইকেল আর চেরনিক