স্বজ্ঞা (জ্যামিতিক বা অন্যান্য) এর

19

বৈকল্পিকের প্রাথমিক পরিচয় বিবেচনা করুন:

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & E [(X - E [X])^{2}] \\ = & . . . \\ = & E [X^{2}] - (E [X])^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& E[(X - E[X])^2]\\ &=& ...\\ &=& E[X^2] - (E[X])^2 \end{eqnarray}$

এটি একটি কেন্দ্রীয় মুহুর্তকে অ-কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলিতে সংজ্ঞায়নের একটি সাধারণ বীজগণিত কারসাজি।

এটি অন্যান্য প্রসঙ্গে সুবিধাজনক ম্যানিপুলেশনকে অনুমতি দেয় । এটি প্রথমে গড় গণনা করতে এবং তারপরে ভেরিয়েন্স গণনা করার জন্য দুটি পাসের পরিবর্তে ডেটা ওভার একক পাসের মাধ্যমে বৈকল্পিক গণনার অনুমতি দেয়। $Var(X)$

তবে এর অর্থ কী ? আমার কাছে কোন তাৎক্ষণিক জ্যামিতিক স্বজ্ঞা যে সম্পর্কে 0. হিসাবে বিস্তারে গড় সম্পর্কে বিস্তার সম্পর্কিত এর একটি একক মাত্রা উপর একটি সেট, আপনি কিভাবে উৎপত্তি চারপাশে ছড়িয়ে মধ্যে পার্থক্য এবং বর্গ হিসাবে একটি গড় চারপাশে ছড়িয়ে দেখেন করা হয় এর অর্থ কি? $X$

কোনও ভাল লিনিয়ার বীজগণিত ব্যাখ্যা বা শারীরিক ব্যাখ্যা বা অন্য যে এই পরিচয় অন্তর্দৃষ্টি দিতে পারে?

variance descriptive-statistics intuition

— মিচ
সূত্র

7

ইঙ্গিত: এটি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য।

— হোবল

1

@ ম্যাথু আমি ভাবছি " " এর অর্থ কী? আমি সন্দেহ হয় না একটি প্রত্যাশা, কিন্তু সাধারণভাবে সংক্ষেপে গাণিতিক গড় জন্য। অন্যথায় সমীকরণগুলি ভুল হবে (এবং প্রায় অর্থহীন, যেহেতু তারা তখন সংখ্যার সাথে এলোমেলো ভেরিয়েবলকে সমান করবে)।

E

$E$

— whuber

2

@ যেহেতু অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলি দূরত্ব এবং কোণগুলির ধারণা প্রবর্তন করে এবং প্রকৃত মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ পণ্যটিকে

E [X Y]

$\mathbb E[XY]$ (?) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় , তাই আমি ভাবছি যে কিছু জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি দেওয়া যেতে পারে কিনা? ত্রিভুজ বৈষম্য। কীভাবে এগিয়ে যেতে হবে আমার কোনও ধারণা নেই তবে আমি ভাবছিলাম যে এটি কোনও অর্থবোধ করে কিনা।

— আন্তনি পরল্লদা

1

@ আন্টনি ত্রিভুজ বৈষম্য খুব সাধারণ। একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য হ'ল আরও একটি বিশেষ বিষয়। ভাগ্যক্রমে, উপযুক্ত জ্যামিতিক অন্তর্নিহিতা হুবহু ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির। তদুপরি, এলোমেলো ভেরিয়েবল

X

$X$ এবং

ক্ষেত্রেও

Y

$Y$ প্রয়োজনীয় জ্যামিতিটি

X

$X$ এবং

দ্বারা উত্পাদিত দ্বি-মাত্রিক আসল ভেক্টর স্পেসের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকতে পারে

Y

$Y$ : এটি ইউক্লিডিয়ান বিমানের মধ্যেই to বর্তমান দৃষ্টান্তে

X

$X$ একটি আরভি হিসাবে উপস্থিত হবে না: এটি কেবলমাত্র একটি

n

$n$ ভেক্টর। এখানে,

দ্বারা বিস্তৃত স্থান

X

$X$ এবং

(1, 1, \dots, 1)

$(1,1,\ldots, 1)$ ইউক্লিডিয়ান বিমানটি যেখানে সমস্ত জ্যামিতি ঘটে।

— শুক্র

3

সেট

উত্তর আমি লিঙ্ক, এবং সকল পদ বিভাজক

(যদি আপনি চান) আপনি ভ্যারিয়েন্স জন্য পূর্ণ বীজগাণিতিক সমাধান দিতে হবে: সেখানে সব আবার কপি কোনো কারণ নেই। কারণ যে

এর গাণিতিক গড় হল

, কোথা

ঠিক

বার ভ্যারিয়েন্স হিসাবে আপনি তা এখানে সংজ্ঞায়িত করেছেন,

হয়

বার স্কোয়ারড গাণিতিক গড়, এবং

{\hat{β}}_{1} = 0

$\hat\beta_1=0$

n

$n$

{\hat{β}}_{0}

$\hat\beta_0$

y

$y$

| | y - \hat{y} | |^{2}

$||y-\hat y||^2$

n

$n$

| | \hat{y} | |^{2}

$||\hat y||^2$

n

$n$

স্কোয়ারের মানগুলির গাণিতিক গড়ের

গুণ

| | y | |^{2}

$||y||^2$ is

n

$n$

— whuber

21

মন্তব্যে @ হোবারের বক্তব্যটি প্রসারিত করে, যদি $Y$ এবং $Z$ অরথোগোনাল হয় তবে আপনার কাছে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য রয়েছে :

‖ Y ‖^{2} + ‖ Z ‖^{2} = ‖ Y + Z ‖^{2}

$\|Y\|^2 + \|Z\|^2 = \|Y + Z\|^2$

মান্য যে $\langle Y, Z \rangle \equiv \mathrm{E}[YZ]$ একটি বৈধ ভেতরের পণ্য এবং যে $\|Y\| = \sqrt{\mathrm{E}[Y^2]}$ হ'লঅভ্যন্তরীণ পণ্য দ্বারা উত্সাহিত আদর্শ।

$X$ কিছু এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন । যাক $Y = \mathrm{E}[X]$ , যাক $Z = X - \mathrm{E}[X]$ । যদি $Y$ এবং $Z$ অরথোগোনাল হয়:

\begin{aligned} ‖ Y ‖^{2} + ‖ Z ‖^{2} = ‖ Y + Z ‖^{2} \\ \Leftrightarrow & E [E [X]^{2}] + E [(X - E [X])^{2}] = E [X^{2}] \\ \Leftrightarrow & {E [X]}^{2} + V a r [X] = E [X^{2}] \end{aligned}

$\begin{align*} & \|Y\|^2 + \|Z\|^2 = \|Y + Z\|^2 \\ \Leftrightarrow \quad&\mathrm{E}[\mathrm{E}[X]^2] + \mathrm{E}[(X - \mathrm{E}[X])^2] = \mathrm{E}[X^2] \\ \Leftrightarrow \quad & \mathrm{E[X]}^2 + \mathrm{Var}[X]= \mathrm{E}[X^2] \end{align*}$

এবং এটা দেখাতে হবে যে সহজ এবং হয় লম্ব এই ভেতরের পণ্যের অধীনে: $Y = \mathrm{E}[X]$ $Z = X - \mathrm{E}[X]$

⟨ Y, Z ⟩ = E [E [X] (X - E [X])] = E [X]^{2} - E [X]^{2} = 0

$\langle Y, Z \rangle = \mathrm{E}[\mathrm{E}[X]\left(X - \mathrm{E}[X] \right)] = \mathrm{E}[X]^2 - \mathrm{E}[X]^2 = 0$

ত্রিভুজ পায়ে এক , অন্যান্য পা , এবং অতিভুজ হয় । এবং পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করা যেতে পারে কারণ একটি অনুমিত র্যান্ডম ভেরিয়েবল তার অর্থের সাথে অর্থেগোনাল। $X - \mathrm{E}[X]$ $\mathrm{E}[X]$ $X$

প্রযুক্তিগত মন্তব্য:

এই উদাহরণে সত্যিই ভেক্টর হওয়া উচিত , যে, স্কালে বার ধ্রুবক ভেক্টর (যেমন বিযুক্ত মধ্যে সীমাবদ্ধ ফলাফল কেস)। হয়ভেক্টর অভিক্ষেপএর ধ্রুবক ভেক্টর সম্মুখের । $Y$ $Y = \mathrm{E}[X] \mathbf{1}$ $\mathrm{E}[X]$ $\mathbf{1}$ $\mathbf{1} = [1, 1, 1, \ldots, 1]'$ $Y$ $X$ $\mathbf{1}$

সাধারণ উদাহরণ

যেখানে একটি বার্নোল্লি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেখানে । আমাদের আছে: $X$ $p = .2$

X = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] P = [\begin{matrix} .2 \\ .8 \end{matrix}] E [X] = \sum_{i} P_{i} X_{i} = .2

$X = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad P = \begin{bmatrix} .2 \\ .8 \end{bmatrix} \quad \mathrm{E}[X] = \sum_i P_iX_i = .2$

Y = E [X] 1 = [\begin{matrix} .2 \\ .2 \end{matrix}] Z = X - E [X] = [\begin{matrix} .8 \\ - .2 \end{matrix}]

$Y = \mathrm{E}[X]\mathbf{1} = \begin{bmatrix} .2 \\ .2 \end{bmatrix} \quad Z = X - \mathrm{E}[X] = \begin{bmatrix} .8 \\ -.2 \end{bmatrix}$

এবং ছবিটি হ'ল:

লাল ভেক্টরের বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এর বৈচিত্র , নীল ভেক্টরের বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য , এবং হলুদ ভেক্টরের বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য । $X$ $\mathrm{E}[X]^2$ $\mathrm{E}[X^2]$

মনে রাখবেন যে যদিও এই মাত্রার, orthogonality ইত্যাদি ... চলিত ডট পণ্য থেকে সম্মান সঙ্গে নয় কিন্তু ভেতরের পণ্য । হলুদ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য 1 নয়, এটি 2। $\sum_i Y_iZ_i$ $\sum_i P_iY_iZ_i$

লাল ভেক্টর এবং নীল ভেক্টর ভেতরের পণ্যের অধীনে পরস্পর সমকোণে থাকে কিন্তু তারা নয় ইন্ট্রো, হাই স্কুল জ্যামিতি অর্থে ঋজু। মনে রাখবেন আমরা সাধারণ ডট পণ্য ব্যবহার করছি না অভ্যন্তরীণ পণ্য হিসাবে! $Y = \mathrm{E}[X]$ $Z = X - \mathrm{E}[X]$ $\sum_i P_i Y_i Z_i$ $\sum_i Y_i Z_i$

— ম্যাথু গন
সূত্র

এটা সত্যিই ভাল!

— আন্তনি পরল্লদা

1

উত্তম উত্তর (+১), তবে এটির একটি চিত্রের অভাব রয়েছে, এবং ওপি-র জন্য এটি কিছুটা বিভ্রান্তিকর হতে পারে কারণ আপনার জেড তাদের এক্স ...

— অ্যামিবা বলেছেন রিনস্টেট মনিকা

@ ম্যাথেজগান, দুর্দান্ত উত্তর। ইউক্লিডিয়ান অর্থে অর্থেগোনালিটি যেখানে রয়েছে তার উপস্থাপনের জন্য নীচে আমার উত্তরটি পরীক্ষা করতে পারেন।

— YBE

আমি ভোঁতা হতে ঘৃণা, কিন্তু আমি কষ্ট পালন হচ্ছে

,

, এবং সোজা যুক্তি দিক ( 'কারণ' স্থানে দায়িত্ব যে আমার কাছে মানে হয় না আসে)। এটি অনেকগুলি (ভাল প্রমাণিত) ঘটনা এলোমেলোভাবে বর্ণিত বলে মনে হয়। অভ্যন্তরীণ পণ্যটি কোন স্থানের মধ্যে রয়েছে? কেন 1 ?

Z

$Z$

V a r (X)

$Var(X)$

— মিচ

@ মিচ লজিকাল অর্ডারটি হ'ল: (1) লক্ষ্য করুন যে কোনও সম্ভাব্য স্থান একটি ভেক্টর স্পেসকে সংজ্ঞায়িত করে; আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। (২) এলোমেলো ভেরিয়েবলের

এবং

এর অভ্যন্তরীণ পণ্যকে

হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন । কোনও অভ্যন্তরীণ পণ্যের স্থানে, ভেক্টর

এবং

তাদের অভ্যন্তরীণ পণ্যটি শূন্য হলে অर्थোগোনাল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। (3 এ)

কিছু এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন । (3 খ) যাক

এবং

। (4) লক্ষ্য করুন যে

এবং

Y

$Y$

Z

$Z$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Y

$Y$

Z

$Z$

X

$X$

Y = E [X]

$Y = E[X]$

Z = X - E [X]

$Z = X - E[X]$

Y

$Y$

Z

$Z$ এইভাবে সংজ্ঞায়িত অরথোগোনাল। (৫) যেহেতু

এবং

অরথোগোনাল, তাই পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ হয় ()) সাধারণ বীজগণিতের দ্বারা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি পরিচয়ের সমতুল্য।

Y

$Y$

Z

$Z$

— ম্যাথু গুন

8

আমি খুব নির্দিষ্ট দৃশ্যের জন্য বিশুদ্ধ জ্যামিতিক পদ্ধতির জন্য যাব। আমাদের একটি বিযুক্ত মূল্যবান দৈব চলক বিবেচনা করা যাক গ্রহণ মান সম্ভাব্যতা সঙ্গে । আমরা আরও ধরে নেব যে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি ভেক্টর হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে , $X$ $\{x_1,x_2\}$ $(p_1,p_2)$ $\mathbb{R}^2$ । $\mathbf{X} = \left(x_1\sqrt{p_1},x_2\sqrt{p_2} \right)$

লক্ষ করুন যে, এর দৈর্ঘ্য-বর্গক্ষেত্র হয় যা সমান । সুতরাং, $\mathbf{X}$ $x_1^2p_1+x_2^2p_2$ $E[X^2]$ । $\left\| \mathbf{X} \right\| = \sqrt{E[X^2]}$

যেহেতু ভেক্টর টিপটি আসলে একটি উপবৃত্তকে চিহ্নিত করে। এই যদি এক reparametrizes দেখতে সহজ হয়ে এবং যেমন এবং । অতএব, আমাদের আছে $p_1+p_2=1$ $\mathbf{X}$ $p_1$ $p_2$ $\cos^2(\theta)$ $\sin^2(\theta)$ এবং $\sqrt{p_1} =\cos(\theta)$ । $\sqrt{p_2} = \sin(\theta)$

উপবৃত্তাকার অঙ্কন করার একটি উপায় হ'ল ট্র্যামেল অফ আর্কিমিডিজ নামে একটি প্রক্রিয়া । উইকিতে বর্ণিত হিসাবে: এটি দুটি শাটল নিয়ে গঠিত যা লম্বালম্বী চ্যানেল বা রেলগুলিতে আবদ্ধ ("ট্রামেলড") এবং একটি রড যা ডান্ডের সাথে নির্দিষ্ট স্থানে পিভট দ্বারা শটলগুলির সাথে সংযুক্ত থাকে। শাটলগুলি যখন তার চ্যানেল বরাবর পিছন পিছন সরানো থাকে, রডের প্রান্তটি উপবৃত্তাকার পথে চলে যায় moves এই নীতিটি নীচের চিত্রটিতে চিত্রিত হয়েছে।

এখন জ্যামিতিক এই মাছ ধরা জাল এক উদাহরণ হিসেবে বলা যায় বিশ্লেষণ যখন উল্লম্ব শাটল এ দিন এবং অনুভূমিক শাটল এ এর একটি কোণের বিরচন । নির্মাণের কারণে, এবং , (এখানে অনুমানিত ব্লগ)। $A$ $B$ $\theta$ $\left|BX\right| = x_2$ $\left| AB \right| = x_1-x_2$ $\forall \theta$ $x_1\geq x_2$

আমাদের মূল থেকে একটি লাইন, আঁকা যাক , যে ছিপ ঋজু হয়। এক যে দেখাতে পারেন । এই নির্দিষ্ট এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য $OC$ $\left| OC \right|=(x_1-x_2) \sin(\theta) \cos(\theta)$ অতএব, লম্ব দূরত্বউৎপত্তি থেকে রডটি আসলে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির সমান,।

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & (x_{1}^{2} p_{1} + x_{2}^{2} p_{2}) - (x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2})^{2} \\ = & x_{1}^{2} p_{1} + x_{2}^{2} p_{2} - x_{1}^{2} p_{1}^{2} - x_{2}^{2} p_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} p_{1} p_{2} \\ = & x_{1}^{2} (p_{1} - p_{1}^{2}) + x_{2}^{2} (p_{2} - p_{2}^{2}) - 2 x_{1} x_{2} p_{1} p_{2} \\ = & p_{1} p_{2} (x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) \\ = & {[(x_{1} - x_{2}) \sqrt{p_{1}} \sqrt{p_{2}}]}^{2} = {| O C |}^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& (x_1^2p_1 +x_2^2p_2) - (x_1p_1+x_2p_2)^2 \\ &=& x_1^2p_1 +x_2^2p_2 - x_1^2p_1^2 - x_2^2p_2^2 - 2x_1x_2p_1p_2 \\ &=& x_1^2(p_1-p_1^2) + x_2^2(p_2-p_2^2) - 2x_1x_2p_1p_2 \\ &=& p_1p_2(x_1^2- 2x_1x_2 + x_2^2) \\ &=& \left[(x_1-x_2)\sqrt{p_1}\sqrt{p_2}\right]^2 = \left|OC \right|^2 \end{eqnarray}$

| O C |

$\left|OC \right|$

σ

$\sigma$

আমরা যদি থেকে রেখাংশের দৈর্ঘ্যের গনা থেকে : $C$ $X$

\begin{array}{rcl} | C X | & = & x_{2} + (x_{1} - x_{2}) \cos^{2} (θ) \\ = & x_{1} \cos^{2} (θ) + x_{2} \sin^{2} (θ) \\ = & x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} = E [X] \end{array}

$\begin{eqnarray} \left|CX\right| &=& x_2 + (x_1-x_2)\cos^2(\theta) \\ &=& x_1\cos^2(\theta) +x_2\sin^2(\theta) \\ &=& x_1p_1 + x_2p_2 = E[X] \end{eqnarray}$

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ ত্রিভুজ ওসিএক্সে প্রয়োগ করে আমরা

E [X^{2}] = V a r (X) + E [X]^{2} .

$\begin{equation} E[X^2] = Var(X) + E[X]^2. \end{equation}$

সারসংক্ষেপে একটি প্রতিবন্ধ যে সব সম্ভব বিযুক্ত মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবল মান গ্রহণ বর্ণনা জন্য, , $\{x_1,x_2\}$ প্রক্রিয়া ডগা এবং মানক চ্যুতির ORIGIN থেকে দূরত্বযষ্টি ঋজু দূরত্ব। $\sqrt{E[X^2]}$ $\sigma$

নোট : লক্ষ করুন যে, যখন হল বা , সম্পূর্ণরূপে নির্ণায়ক হয়। যখন হয় আমরা সর্বাধিক বৈকল্পিকের সাথে শেষ করি। $\theta$ $0$ $\pi/2$ $X$ $\theta$ $\pi/4$

— YBE
সূত্র

1

+1 সুন্দর উত্তর। এবং সম্ভাব্যতার বর্গক্ষেত্র দ্বারা ভেক্টরগুলিকে গুন করা অर्थোগোনালটির স্বাভাবিক সম্ভাবনা ধারণাটি অরথোগোনালটিকে চেহারা হিসাবে দেখানোর জন্য একটি দুর্দান্ত / কার্যকর কৌশল!

— ম্যাথু গন

দুর্দান্ত গ্রাফিক্স। প্রতীক সব জানার (প্রতিবন্ধ একটি উপবৃত্ত এবং তারপর পিথাগোরাস Thm প্রযোজ্য বর্ণনা) কিন্তু একরকম আমি হচ্ছিনা , intuitively কিভাবে এটি কিভাবে 'জাদুর এটা মুহূর্ত (বিস্তার এবং কেন্দ্র সম্পর্কিত একটি ধারণা দেয়।

— মিচ

ট্রামেলটিকে এমন একটি প্রক্রিয়া হিসাবে বিবেচনা করুন যা সমস্ত সম্ভাব্য

মূল্যবান এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি সংজ্ঞায়িত করে । রডটি যখন অনুভূমিক বা উল্লম্ব হয় তখন আপনার একটি ডিটারিমেন্টিক আরভি থাকে। মাঝখানে এলোমেলোতা রয়েছে এবং এটি প্রমাণিত হয়েছে যে আমার প্রস্তাবিত জ্যামিতিক কাঠামোতে র্যান্ডম কোনও আরভি (এর স্টাডি) হুবহু রডের উত্স থেকে দূরত্ব দ্বারা পরিমাপ করা হয়। উপবৃত্তাকার কার্ভগুলি গণিতের বিভিন্ন বস্তুকে সংযুক্ত করার কারণে এখানে আরও গভীর সম্পর্ক থাকতে পারে তবে আমি গণিতবিদ নই তাই আমি সত্যিই সেই সংযোগটি দেখতে পাচ্ছি না।

(x_{1}, x_{2})

$(x_1,x_2)$

— YBE

3

আপনি নীচে পুনঃব্যবস্থা করতে পারেন:

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & E [X^{2}] - (E [X])^{2} \\ E [X^{2}] & = & (E [X])^{2} + V a r (X) \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& E[X^2] - (E[X])^2\\ E[X^2] &=& (E[X])^2 + Var(X) \end{eqnarray}$

তারপরে, নিম্নলিখিতটি ব্যাখ্যা করুন: একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত বর্গটি তার গড়ের বর্গের সমতুল্য এবং এর গড় থেকে প্রত্যাশিত স্কোয়ার বিচ্যুতি।

— প্রহার করা
সূত্র

উহু. হাহ। সহজ। তবে স্কোয়ারগুলি এখনও নিখরচায় মনে হচ্ছে না। আমি বলতে চাইছি এটি বর্গক্ষেত্রগুলি ছাড়াই বোঝায় (ধরণের, অত্যন্ত আলগাভাবে)।

— মিচ

3

আমি এই বিক্রি হয় না।

— মাইকেল আর চেরনিক

1

যদি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ হয় তবে কোন দিকের ত্রিভুজটি কী এবং কীভাবে দুটি পা লম্ব হয়?

— মিচ

1

সঠিকভাবে উত্তর দেওয়ার এবং সরবরাহ করার দক্ষতা না থাকার জন্য দুঃখিত, তবে আমি মনে করি উত্তরটি মুহুর্তের শারীরিক শাস্ত্রীয় যান্ত্রিক ধারণার মধ্যে রয়েছে, বিশেষত ০ কেন্দ্রিক "কাঁচা" মুহুর্তগুলির মধ্যে রূপান্তর এবং মধ্যকেন্দ্রিক কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলির মধ্যে রূপান্তর। মনে রাখবেন যে ভেরিয়েন্সটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের দ্বিতীয় ক্রমের কেন্দ্রীয় মুহূর্ত।

— এস ডায়াক্সো
সূত্র

1

সাধারণ অন্তর্নিহিততা হ'ল আপনি যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত ভেক্টর জায়গাতে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য (পিটি) ব্যবহার করে এই মুহুর্তগুলি সম্পর্কিত করতে পারেন, এটি দেখিয়ে যে দুটি মুহুর্ত দুটি লম্ব এবং তৃতীয়টি হ'ল হাইপোপেনজাস। কেবলমাত্র বীজগণিতটি দেখাতে হবে যে দুটি পা সত্যই অর্থেগোনাল।

নিম্নলিখিতগুলির খাতিরে আমি ধরে নেব যে আপনি সম্পূর্ণ বিতরণের জন্য মুহুর্তের চেয়ে গণনার উদ্দেশ্যে নমুনার অর্থ এবং রূপগুলি বোঝাতে চাইছেন। এটাই:

\begin{array}{rcll} E [X] & = & \frac{1}{n} \sum x_{i}, & m e a n, f i r s t c e n t r a l s a m p l e m o m e n t \\ E [X^{2}] & = & \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2}, & s e c o n d s a m p l e m o m e n t (n o n - c e n t r a l) \\ V a r (X) & = & \frac{1}{n} \sum (x_{i} - E [X])^{2}, & v a r i a n c e, s e c o n d c e n t r a l s a m p l e m o m e n t \end{array}

$\begin{array}{rcll} E[X] &=& \frac{1}{n}\sum x_i,& \rm{mean, first\ central\ sample\ moment}\\ E[X^2] &=& \frac{1}{n}\sum x^2_i,& \rm{second\ sample\ moment\ (non-central)}\\ Var(X) &=& \frac{1}{n}\sum (x_i - E[X])^2,& \rm{variance, second\ central\ sample\ moment} \end{array}$

(যেখানে সমস্ত পরিমাণ আইটেমের ওপরে )। $n$

অবগতির জন্য, এর প্রাথমিক প্রমাণ ঠিক প্রতীক ঠেলাঠেলি: $Var(X) = E[X^2] - E[X]^2$

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & \frac{1}{n} \sum (x_{i} - E [X])^{2} \\ = & \frac{1}{n} \sum (x_{i}^{2} - 2 E [X] x_{i} + E [X]^{2}) \\ = & \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \frac{2}{n} E [X] \sum x_{i} + \frac{1}{n} \sum E [X]^{2} \\ = & E [X^{2}] - 2 E [X]^{2} + \frac{1}{n} n E [X]^{2} \\ = & E [X^{2}] - E [X]^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& \frac{1}{n}\sum (x_i - E[X])^2\\ &=& \frac{1}{n}\sum (x^2_i - 2 E[X]x_i + E[X]^2)\\ &=& \frac{1}{n}\sum x^2_i - \frac{2}{n} E[X] \sum x_i + \frac{1}{n}\sum E[X]^2\\ &=& E[X^2] - 2 E[X]^2 + \frac{1}{n} n E[X]^2\\ &=& E[X^2] - E[X]^2\\ \end{eqnarray}$

এখানে খুব সামান্য অর্থ আছে, বীজগণিতের কেবল প্রাথমিক ম্যানিপুলেশন। কেউ লক্ষ্য করতে পারেন যে মধ্যে একটি ধ্রুবক, তবে এটি প্রায়। $E[X]$

এখন ভেক্টর স্পেস / জ্যামিতিক ব্যাখ্যা / অন্তর্দৃষ্টি, আমরা যা দেখাব তা হল সামান্য পুনরায় সাজানো সমীকরণ যা পিটি এর সাথে মিলে যায়,

\begin{array}{rcl} V a r (X) + E [X]^{2} & = & E [X^{2}] \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) + E[X]^2 &=& E[X^2] \end{eqnarray}$

সুতরাং , আইটেমের নমুনা, ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করুন । এবং আসুন এবং দুটি ভেক্টর তৈরি করি । $X$ $n$ $\mathbb{R}^n$ $E[X]{\bf 1}$ $X-E[X]{\bf 1}$

ভেক্টর এর প্রতিটি স্থানাঙ্ক হিসাবে নমুনার গড় রয়েছে। $E[X]{\bf 1}$

ভেক্টর হয় । $X-E[X]{\bf 1}$ $\langle x_1-E[X], \dots, x_n-E[X]\rangle$

এই দুটি ভেক্টর লম্ব হয় কারণ দুটি ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট 0:

\begin{array}{rcl} E [X] 1 \cdot (X - E [X] 1) & = & \sum E [X] (x_{i} - E [X]) \\ = & \sum (E [X] x_{i} - E [X]^{2}) \\ = & E [X] \sum x_{i} - \sum E [X]^{2} \\ = & n E [X] E [X] - n E [X]^{2} \\ = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} E[X]{\bf 1}\cdot(X-E[X]{\bf 1}) &=& \sum E[X](x_i-E[X])\\ &=& \sum (E[X]x_i-E[X]^2)\\ &=& E[X]\sum x_i - \sum E[X]^2\\ &=& n E[X]E[X] - n E[X]^2\\ &=& 0\\ \end{eqnarray}$

সুতরাং দুটি ভেক্টর লম্ব হয় যার অর্থ তারা ডান ত্রিভুজের দুটি পা।

তারপরে পিটি দ্বারা (যা ধরে রেখেছে ), দুটি পায়ে দৈর্ঘ্যের বর্গাকার যোগফলটি হাইপেনটেনজের বর্গের সমান হয়। $\mathbb{R}^n$

একই উপরের বিরক্তিকর বীজগাণিতিক প্রমাণ ব্যবহৃত বীজগণিত মাধ্যমে আমরা দেখিয়েছেন আমরা পেতে যে অতিভুজ ভেক্টরের বর্গ হল: $E[X^2]$

যেখানে বর্গ ডট পণ্য (এবং সত্যিই এবং হয় । $(X-E[X])^2 + E[X]^2 = ... = E[X^2]$ $E[x]{\bf 1}$ $(X-E[X])^2$ $Var(X)$

এই ব্যাখ্যার আকর্ষণীয় অংশটি হ'ল আইটেমের নমুনা থেকে অবিচ্ছিন্ন বিতরণ থেকে মাত্রার ভেক্টর স্পেসে রূপান্তর । এটি বিভিয়েট নমুনার অনুরূপ ভেরিয়েবলের দুটি নমুনা হিসাবে ব্যাখ্যা করা হচ্ছে । $n$ $n$ $n$ $n$

এক অর্থে এটি যথেষ্ট, ভেক্টর এবং থেকে ডান ত্রিভুজটি অনুমানক হিসাবে পপ আপ হয় pop আমরা এই মানগুলির জন্য একটি ব্যাখ্যা (ভেক্টর) দিয়েছি এবং দেখায় যে তারা মিলছে। এটি যথেষ্ট দুর্দান্ত, তবে পরিসংখ্যানগতভাবে বা জ্যামিতিকভাবে আলোকিত করা। এটি সত্যিই কেন বলবে না এবং শেষ পর্যন্ত বেশিরভাগ অতিরিক্ত ধারণাগত যন্ত্রপাতি কেন হবে, বেশিরভাগাংশে, ইতিমধ্যে আমরা ইতিমধ্যে শুরুতে থাকা খাঁটি বীজগণিতের প্রমাণ পুনরুত্পাদন করি। $E[X^2]$

আর একটি আকর্ষণীয় অংশ হ'ল গড় এবং বৈকল্পিকতা, যদিও তারা স্বজ্ঞাতভাবে কেন্দ্রকে পরিমাপ করে এবং একটি মাত্রায় ছড়িয়ে পড়ে, মাত্রায় অরথোগোনাল । এর অর্থ কী, তারা অরথগোনাল? আমি জানি না! আরও কিছু মুহুর্ত কি অরথোগোনাল? সম্পর্কের আরও বৃহত্তর ব্যবস্থা আছে যা এই অরথোগোনালিটিকে অন্তর্ভুক্ত করে? কেন্দ্রীয় মুহুর্ত বনাম অ-কেন্দ্রীয় মুহূর্তগুলি? আমি জানি না! $n$

— মিচ
সূত্র

আমি পর্যাপ্তরূপে অনুরূপ পক্ষপাত বৈকল্পিক ট্রেড অফ সমীকরণের পিছনে একটি ব্যাখ্যা / স্বজ্ঞাতে আগ্রহী। সেখানে কি কারও ইঙ্গিত রয়েছে?

— মিচ

p_{i}

$p_i$

i

$i$

p_{i} = \frac{1}{n}

$p_i = \frac{1}{n}$

\sum_{i} p_{i} X_{i} Y_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i} X_{i} Y_{i}

$\sum_i p_i X_i Y_i = \frac{1}{n} \sum_i X_i Y_i$

E [X Y]

$E[XY]$

X

$X$

Y

$Y$

n

$n$

\forall_{i} p_{i} = \frac{1}{n}

$\forall_i p_i = \frac{1}{n}$

E [X Y] = \sum_{i} p_{i} X_{i} Y_{i}

$E[XY] = \sum_i p_i X_i Y_i$

n

$n$

E [X Y]

$E[XY]$

P

$P$

\forall_{i} p_{i} = \frac{1}{n}

$\forall_i p_i = \frac{1}{n}$

\hat{x}

$\hat{x}$

\hat{y}

$\hat{y}$

{\hat{x}}_{i} = x_{i} \sqrt{p_{i}}

$\hat{x}_i = x_i \sqrt{p_i}$

{\hat{y}}_{i} = x_{i} \sqrt{p_{i}}

$\hat{y}_i = x_i \sqrt{p_i}$

\hat{x} \cdot \hat{y} = \sum_{i} x_{i} \sqrt{p_{i}} y_{i} \sqrt{p_{i}} = \sum_{i} p_{i} x_{i} y_{i} = E [x y]

$\hat{x} \cdot \hat{y} = \sum_i x_i \sqrt{p_i} y_i \sqrt{p_i} = \sum_i p_i x_i y_i = E[xy]$ .The dot product of

\hat{x}

$\hat{x}$ and

\hat{y}

$\hat{y}$ corresponds to

E [x y]

$E[xy]$ (which is what I used as an inner product).

— Matthew Gunn