প্যারামেট্রাইজেবল কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স সহ ধনাত্মক কে-মাত্রিক কোয়াড্রেন্টে বিতরণগুলি কী কী?

অনুসরণ করছেন zzk এর প্রশ্ন নেতিবাচক সিমিউলেশন সঙ্গে তার সমস্যা উপর, আমি অবাক হচ্ছি কি ইতিবাচক K-মাত্রিক পাদ, উপর ডিস্ট্রিবিউশন এর parametrized পরিবারগোষ্ঠীর অন্তর্ভুক্ত যার জন্য সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স নির্ধারণ করা যাবে। $\mathbb{R}_+^k$ $\Sigma$

Zzk এর সাথে আলোচিত হিসাবে , বিতরণ থেকে শুরু করে এবং লিনিয়ার ট্রান্সফর্ম কাজ করে না। $\mathbb{R}_+^k$ $X \longrightarrow\Sigma^{1/2} (X-\mu) + \mu$

distributions multivariate-analysis covariance

— সিয়ান
সূত্র

উত্তর:

ধরুন যে আমরা একটি বহুচলকীয় স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেক্টর আছে সঙ্গে এবং প্রতিসম ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স ।

(\log X_{1}, \dots, \log X_{k}) \sim N (μ, Σ),

$(\log X_1,\dots,\log X_k) \sim N(\mu,\Sigma) \, ,$

μ \in R^{k}

$\mu\in\mathbb{R}^k$

k \times k

$k\times k$

Σ = (σ_{i j})

$\Sigma=(\sigma_{ij})$

লগইনরমাল জন্য $(X_1,\dots,X_k)$

m_{i} := E [X_{i}] = e^{μ_{i} + σ_{i i} / 2}, i = 1, \dots, k,

$m_i := \textrm{E}[X_i] = e^{\mu_i + \sigma_{ii}/2} \, , \quad i=1,\dots,k\, ,$

c_{i j} := Cov [X_{i}, X_{j}] = m_{i} m_{j} (e^{σ_{i j}} - 1), i, j = 1, \dots, k,

$c_{ij} := \textrm{Cov}[X_i,X_j] = m_i \,m_j \,(e^{\sigma_{ij}} - 1) \, , \quad i,j=1,\dots,k\, ,$

এবং এটি অনুসরণ করে যে । $c_{ij}>-m_im_j$

অতএব, আমরা কথোপকথন প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করতে পারি: প্রদত্ত এবং সমমিত ধনাত্মক নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স , সন্তোষজনক , যদি আমরা নির্ধারিত উপায় এবং সমবায়িকাগুলি সহ আমাদের লগনরমাল ভেক্টর থাকবে। $m=(m_1,\dots,m_k)\in\mathbb{R}^k_+$ $k\times k$ $C=(c_{ij})$ $c_{ij}>-m_im_j$

μ_{i} = \log m_{i} - \frac{1}{2} \log (\frac{c_{i i}}{m_{i}^{2}} + 1), i = 1, \dots, k,

$\mu_i = \log m_i - \frac{1}{2} \log\left(\frac{c_{ii}}{m_i^2} + 1 \right) \, , \quad i=1,\dots,k \, ,$

σ_{i j} = \log (\frac{c_{i j}}{m_{i} m_{j}} + 1), i, j = 1, \dots, k,

$\sigma_{ij} = \log\left(\frac{c_{ij}}{m_i m_j} + 1 \right) \, , \quad i,j=1,\dots,k \, ,$

এবং এর সীমাবদ্ধতা প্রাকৃতিক শর্ত । $C$ $m$ $\textrm{E}[X_i X_j]>0$

— জেন
সূত্র

ভয়ঙ্কর, পাওলো! আপনি সমবায় ম্যাট্রিক্সের একটি কার্যক্ষম সমাধান এবং যথাযথ অবস্থা উভয়ই পেয়েছেন, যা এই প্রশ্নেরও উত্তর দেয় । লগ-নরমালগুলি শেষ পর্যন্ত গামাসের চেয়ে বেশি কার্যকর প্রমাণিত হয়।

— শি'আন

আসলে, আমার কাছে অবশ্যই একটি পথচারী সমাধান রয়েছে।

সঙ্গে স্টার্ট এবং মান মাপসই দুটি প্যারামিটার বাছাই , । $X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{11},\beta_{1})$ $\mathbb{E}[X_1]$ $\text{var}(X_1)$
নিন এবং মান মাপসই তিনটি পরামিতি বাছাই , , এবং । $X_2|X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{21}X_1+\alpha_{22},\beta_{2})$ $\mathbb{E}[X_2]$ $\text{var}(X_2)$ $\text{cov}(X_1,X_2)$
নিন এবং মান মাপসই চার পরামিতি বাছাই , , এবং । $X_3|X_1,X_2\sim \text{Ga}(\alpha_{31}X_1+\alpha_{32}X_2+\alpha_{33},\beta_{3})$ $\mathbb{E}[X_3]$ $\text{var}(X_3)$ $\text{cov}(X_1,X_3)$ $\text{cov}(X_2,X_3)$

এবং এইভাবেই ... তবে, প্যারামিটারগুলির প্রতিবন্ধকতা এবং মুহুর্তের সমীকরণগুলির অ-রৈখিক প্রকৃতির কারণে, এমন হতে পারে যে কিছু মুহুর্তগুলি পরামিতিগুলির কোনও গ্রহণযোগ্য সেটের সাথে মিল নয়।

উদাহরণস্বরূপ, যখন , আমি সমীকরণের সিস্টেমটি শেষ করি $k=2$

β_{1} = μ_{1} / σ_{1}^{2}, α_{11} - μ_{1} β_{1} = 0

$\beta_1 =\mu_1/\sigma_1^2\,,\quad \alpha_{11}-\mu_1\beta_1 =0$

α_{22} = μ_{2} β_{2} - α_{21} μ_{1}, α_{21} = \frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})}{σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1}} β_{2}

$\alpha_{22} = \mu_2\beta_2 - \alpha_{21}\mu_1\,,\quad \alpha_{21} = \dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)}{\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1}\beta_2$

\frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})^{2}}{(σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1})^{2}} σ_{1}^{2} + \frac{μ_{2}}{β_{2}} = σ_{2}^{2} .

$\dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)^2}{(\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1)^2} \sigma_1^2 + \dfrac{\mu_2}{\beta_2} = \sigma^2_2\,.$ এবং জন্য নির্বিচারে (এবং একটি অগ্রাধিকারযোগ্য গ্রহণযোগ্য) মান সহ একটি আর কোড চালানো অনেক মামলা সমাধান করেছে যার সমাধান নেই। আবার এর অর্থ খুব বেশি নয় কারণ বিতরণের জন্য পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিকেসের আরও শক্তিশালী বিধিনিষেধ থাকতে পারে যা নিছক ইতিবাচক নির্ধারক।

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{2}

$\mathbb{R}_+^2$

আপডেট (04/04): এই প্রশ্নটি গণিত ফোরামে নতুন প্রশ্ন হিসাবে পুনরায় প্রকাশ করেছেন in

— সিয়ান
সূত্র

এইটিকে দীর্ঘায়িত করার একটি উপায় হ'ল প্রাকৃতিক ঘাতক পরিবার th তারপর গড় এবং সহভেদাংক গ্রেডিয়েন্ট এবং চট হয় । যদি বহুপদী হয় (আসল এক্সপোশনগুলির সাথে> -১) তবে হ'ল বহুপদী (আসল এক্সপোস্টর সহ) এর লগ, এবং প্রকরণ এবং হেসিয়ান যুক্তিযুক্ত কার্য। আমি মনে করি এটি কোনও গড় এবং সমবায় ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনের জন্য যথেষ্ট স্বাধীনতা দেয়।

f (X | θ) = h (x) e^{θ^{T} X - A (θ)} .

$f(\mathbf{X}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{\mathbf\theta^T\mathbf{X}-A(\mathbf\theta)}.$

A

$A$

h

$h$

A

$A$

— deinst

@ ডিসাইনস্ট: (+1) আপনার কী এমন উদাহরণ রয়েছে যেখানে এই ঘৃণ্য পরিবারের প্রতিনিধিত্ব সোজাভাবে শোষণ করা যায়?

— শিয়ান

সমস্যা আমি বেশ বুঝতে পারি না। কিন্তু, একটি bivariate র্যান্ডম ভেক্টর বিবেচনা একই প্রান্তিক সঙ্গে পূর্ণ সমর্থন গড় থাকার এবং । উদাহরণস্বরূপ, এই জাতীয় দ্বিখণ্ডিত বিতরণের কীভাবে পারস্পরিক সম্পর্ক থাকতে পারে? ? তাত্ত্বিকভাবে, যদিও আমি এটি সম্পাদন করি নি, মনে হয় যদি , তবে সমর্থন সম্পর্কে একটি দ্বন্দ্ব অবশ্যই উত্থাপিত হবে। কোন?

(X, Y)

$(X,Y)$

F

$F$

R_{+}

$\mathbb R_{+}$

0 < μ < \infty

$0 < \mu < \infty$

ρ

$\rho$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

— কার্ডিনাল

কোয়েলরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স সিগমাতে অবশ্যই সীমাবদ্ধতা রয়েছে যখন সমর্থনটি , মুহুর্তের অবস্থার মধ্যে দিয়ে covered । যাইহোক, আমি দেখতে পাচ্ছি না কেন -1 এর কাছাকাছি একটি সম্পর্কটিকে অগ্রাধিকার বাদ দেওয়া হয় ।

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{k}

$\mathbb{R}^k_+$

— শি'আন

ঠিক আছে, এটি আমি যা পেয়েছিলাম তার সাথে সম্পর্কিত। পারস্পরিক সম্পর্ক সম্পর্কে, আমার উদাহরণ বিবেচনা করুন। যদি এবং এর সমান প্রান্তিক যার গড় এবং ঠিক -1 এবং এর একটি তবে সমস্ত উপলব্ধির জন্য এর মান কত হওয়া উচিত ? (এই মত উভয় প্রশ্ন ও উত্তর +1 আমি।।)

X

$X$

Y

$Y$

F

$F$

μ

$\mu$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

Y

$Y$

X

$X$

— অঙ্কবাচক

ঠিক আছে, এটি শি'র মন্তব্যের প্রতিক্রিয়া। এটি খুব দীর্ঘ এবং একটি আরামদায়ক মন্তব্য হতে অনেক বেশি টেক্সকে দরকার। ক্যাভেট লেকচারার: এটি কার্যত নিশ্চিত যে আমি বীজগণিত ভুল করেছি। এটি প্রথম হিসাবে ভেবেছিলাম তেমন নমনীয় বলে মনে হচ্ছে না।

আসুন ফর্মের বিতরণের একটি পরিবার তৈরি করা যাক আসুন এবং । আসুন একটি দ্বি-মেয়াদী বহুবচন হতে পারে যেখানে সমস্ত সংখ্যা চেয়ে 0 এর চেয়ে বেশি হয় । তারপরে আমরা এটি খুঁজে পাই $\mathbb{R}_+^3$

f (x | θ) = h (x) e^{- θ^{T} x - A (θ)}

$f(\mathbf{x}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{-\mathbf\theta^T\mathbf{x}-A(\mathbf\theta)}$

x = (x, y, z)

$\mathbf{x}=(x,y,z)$

θ = (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})

$\mathbf\theta=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$

h (x) = c x_{1}^{e_{1} - 1} x_{2}^{e_{2} - 1} x_{3}^{e_{3} - 1} + d x_{1}^{f_{1} - 1} x_{2}^{f_{2} - 1} x_{3}^{f_{3} - 1}

$h(\mathbf{x})=c x_1^{e_1-1}x_2^{e_2-1}x_3^{e_3-1}+d x_1^{f_1-1}x_2^{f_2-1}x_3^{f_3-1}$

e_{i}, f_{i}

$e_i, f_i$

i

$i$

A (θ) = \log (c \frac{Γ (e_{1})}{θ_{1}^{e_{1}}} \frac{Γ (e_{2})}{θ_{2}^{e_{2}}} \frac{Γ (e_{3})}{θ_{3}^{e_{3}}} + d \frac{Γ (f_{1})}{θ_{1}^{f_{1}}} \frac{Γ (f_{2})}{θ_{2}^{f_{2}}} \frac{Γ (f_{3})}{θ_{3}^{f_{3}}}) .

$A(\mathbf\theta)=\log\left(c\frac{\Gamma(e_1)}{\theta_1^{e_1}}\frac{\Gamma(e_2)}{\theta_2^{e_2}}\frac{\Gamma(e_3)}{\theta_3^{e_3}}+d\frac{\Gamma(f_1)}{\theta_1^{f_1}}\frac{\Gamma(f_2)}{\theta_2^{f_2}}\frac{\Gamma(f_3)}{\theta_3^{f_3}}\right).$

এখন, সুবিধার্থে আসুন আমরা এবং

c^{'} = c Γ (e_{1}) Γ (e_{2}) Γ (e_{2}) θ_{1}^{f_{1}} θ_{2}^{f_{2}} θ_{3}^{f_{3}}

$c'=c\Gamma(e_1)\Gamma(e_2)\Gamma(e_2)\theta_1^{f_1}\theta_2^{f_2}\theta_3^{f_3}$

d^{'} = d Γ (f_{1}) Γ (f_{2}) Γ (f_{2}) θ_{1}^{e_{1}} θ_{2}^{e_{2}} θ_{3}^{e_{3}}

$d'=d\Gamma(f_1)\Gamma(f_2)\Gamma(f_2)\theta_1^{e_1}\theta_2^{e_2}\theta_3^{e_3}$

এখন, আমাদের বিতরণের গড় হিসাবে এর গ্রেডিয়েন্ট , আমাদের কাছে , , এবং । এবং হিসাবে সহভেদাংক এর চট হয় , আমরা এবং (সুস্পষ্ট উপায়ে সাবস্ক্রিপ্টগুলি পরিবর্তন করে কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের অন্যান্য শর্তাদি)। $A$ $\mu_X=\frac{e_1c'+f_1d'}{\theta_1(c'+d')}$ $\mu_Y=\frac{e_2c'+f_2d'}{\theta_2(c'+d')}$ $\mu_Z=\frac{e_3c'+f_3d'}{\theta_3(c'+d')}$ $A$

σ_{X}^{2} = \frac{(e_{1} c^{'} + f_{1} d^{'}) (c^{'} + d^{'}) + (e_{1} - f_{1})^{2} c^{'} d^{'}}{θ_{1}^{2} (c^{'} + d^{'})^{2}}

$\sigma_X^2=\frac{(e_1c'+f_1d')(c'+d')+(e_1-f_1)^2c'd'}{\theta_1^2(c'+d')^2}$

Cov (X, Y) = \frac{(e_{1} - f_{1}) (e_{2} - f_{2}) c^{'} d^{'}}{θ_{1} θ_{2} (c^{'} + d^{'})}

$\text{Cov}(X,Y)=\frac{(e_1-f_1)(e_2-f_2)c'd'}{\theta_1\theta_2(c'+d')}$

এটি কোনও সমবায় ম্যাট্রিক্স পেতে যথেষ্ট নমনীয়তা বলে মনে হয় না। বহুবর্ষে আমার আরও একটি পদ চেষ্টা করতে হবে (তবে আমার সন্দেহ হয় যে এটিও কার্যকর না হতে পারে (স্পষ্টতই এ সম্পর্কে আরও চিন্তা করা দরকার))।

— deinst
সূত্র

পাঁচটি প্রতিবন্ধকতার জন্য চারটি পরামিতি ...?

(θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}, c)

$(\theta_1,\theta_2,\theta_3,c)$

— শি'আন

@xian 6 বহিঃপ্রকাশ আছে এবং হিসাবে ভাল।

e_{i}

$e_i$

f_{i}

$f_i$

— deinst

আমি সামান্য (?) বিভ্রান্ত: আপনি ক্ষতিকারক পরিবারের পরামিতি হিসাবে ক্ষয়কারীদের প্রক্রিয়া করেন নি। 9 মূহুর্তের সমীকরণ সঠিক হওয়ার দিকে আপনি যেমন ইচ্ছা তেমন শক্তি পরিবর্তন করতে পারেন।

— শি'য়ান

@ শি'আন আপনি সঠিক, আমি তাদের ঘনিষ্ট পরিবারের পরামিতি হিসাবে প্রক্রিয়া করি নি। এটি করার ফলে পরিবারটি আর কোনও প্রাকৃতিক পরিবারে পরিণত হত না এবং এগুলি অন্তর্ভুক্ত করে মুহুর্তের সমীকরণগুলি (যা শুরু করার পক্ষে যথেষ্ট পরিমাণে গণ্ডগোল হয়েছিল) তৈরি করার জন্য বীজগণিতকে গলা ছড়িয়ে দিয়েছিল।

— 16-10